高三数学一轮复习 数学归纳法课件 理 新人教B版.ppt

重点难点重点 数学归纳法 难点 数学归纳法的证明思路 初始值n0的确定 知识归纳1 归纳法归纳法有不完全归纳法和完全归纳法 如果我们考察了某类对象中的一部分 由这一部分具有某种特征而得出该类对象中的全体都具有这种特征的结论 为不完全归纳 由不完全归纳法得出的结论不一定都是正确的 其正确性还需进一步证明 如果我们考察了某类对象中的每一个对象 而得出该类对象的某种特征的结论为完全归纳 由完全归纳法得出的结论一定是正确的 数学归纳法是一种完全归纳法 2 数学归纳法一般地 证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 1 归纳奠基 验证当n取第一个值n0时结论成立 2 归纳递推 假设当n k k n 且k n0 时结论成立 推出n k 1时结论也成立 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有自然数n n n0 都成立 这种证明方法叫做数学归纳法 3 归纳 猜想与证明从观察一些特殊的简单的问题入手 根据它们所体现的共同性质 运用不完全归纳法作出一般命题的猜想 然后从理论上证明 或否定 这种猜想 这个过程叫做 归纳 猜想 证明 它是一个完整的思维过程 是人们从事科学研究 认识发现规律的有效途径 也是用来培养创新思维能力的有效办法 因此 它就成了高考命题的热点之一 误区警示在应用数学归纳法的过程中 第 步 验证n n0时结论成立的n0不一定为1 根据题目要求 有时可为2 3等 第 步 证明n k 1时命题也成立的过程中 一定要用到归纳假设 否则就不是数学归纳法 这两个步骤缺一不可 前一步是递推的基础 后一步是递推的依据 缺了哪一步得出的结论也是错误的 另外 归纳假设中要保证n从第一个数n0开始 即假设n k k n0 时结论成立 括号内限制条件改为k n0就错了 添减项法和放缩法1 用数学归纳法证明命题时 根据需要有时应添项或减项 这是数学归纳法证题的常用技巧 2 在用数学归纳法证明不等式时 常根据题目的需要进行恰当的放缩 要注意既不能放缩的不到位 也不能放缩过了头 例1 用数学归纳法证明1 2 22 2n 1 2n 1 n n 的过程中 第二步假设当n k时等式成立 则当n k 1时应得到 a 1 2 22 2k 2 2k 1 2k 1 1b 1 2 22 2k 2k 1 2k 1 1 2k 1c 1 2 22 2k 1 2k 1 2k 1 1d 1 2 22 2k 1 2k 2k 1 2k 解析 原等式左边是20 21 22 2n 1 从20到2n 1 右边是2n 1 故当n k时 等式为20 21 2k 1 2k 1 当n k 1时 等式为20 21 2k 1 2k 2k 1 1 2k 1 2k 答案 d点评 用数学归纳法证明命题时 从n k到n k 1的过渡是证题的关键环节 实际证明时 要据不同问题用不同方法讨论 证明恒等式或不等式时 关键要抓住项数和项的增减变化 证明整除性命题时 凑出归纳假设的形式是关键 证明图形类问题时 要注意从n k到n k 1 究竟图形中发生了哪些变化等等 用数学归纳法证明命题 n为正奇数时 xn yn能被x y整除 时 假设n k k为正奇数 时 命题为真 则进而需证当 时命题为真 a n k 1b n k 1 k为正奇数 c n k 2 k为正奇数 d n 2k 1 k为正奇数 答案 c 点评 用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题关键在于 先看项 弄清等式两边项的构成规律 等式的两边各有多少项 项的多少与n的取值是否有关 当n k到n k 1时 等式的两边会增加多少项 增加怎样的项 用数学归纳法证明 n 1 n 2 n 3 n n 2n 1 3 5 2n 1 n n 分析 从n k到n k 1的过渡 左边增加了因式 2k 1 2k 2 减少了因式k 1 右边2k变成2k 1增加了因式 2k 1 证明 1 当n 1时 左边 2 右边 等式成立 2 假设n k k n 时 等式成立 即 k 1 k 2 k k 2k 1 3 5 2k 1 则当n k 1时 k 2 k 3 k k 2k 1 2k 2 k 1 k 2 k k 2 2k 1 2k 2 2k 1 2k 1 2 k 1 1 等式也成立 由 1 2 可知 等式对任何n n 都成立 点评 用数学归纳法证明不等式常常要用到放缩法 即在归纳假设的基础上 通过放大或缩小技巧变换出要证明的目标不等式 点评 用数学归纳法证明与自然数n有关的命题时 不是不能结合其它证明方法 而是证明n k 1时结论成立时 必须用上归纳假设 即n k时命题的结论 本题中证明 式成立 不能丢开 式另用其它方法 只要把 式作为条件用上了 再结合其它方法 如放缩法 分析法 综合法等 是合理的 分析 关键弄清凸k边形到k 1边形对角线增加的条数 可以设想将k边形的一条边变为两条边增加一个顶点 该顶点与原来的k个顶点有k 2条对角线 原来的这条边也成了一条对角线 故对角线共增加了k 1条 平面上有n个圆 其中任何两圆都相交 任何三圆不相交于同一点 求证 这n个圆把平面分成的区域数为f n n2 n 2 分析 关键是n k到n k 1的过渡 要想搞清f k 1 比f k 多出平面区域的块数 就要先弄清第k 1个圆被原来的k个圆分成了多少段 每一段把它所在的原平面区域一分为二 为此先求出第k 1个圆与原来的k个圆的交点个数即可 证明 1 当n 1时 一个圆把平面分成两个部分 又f 1 12 1 2 2 所以n 1时 命题成立 2 假设n k时命题成立 即平面内满足条件的k个圆把平面分成f k k2 k 2个部分 则n k 1时 第k 1个圆与前k个圆中的每一个各有两个交点 又无三圆相交于同一点 故共得2k个交点 这2k个交点把第k 1个圆分成2k条圆弧 每条圆弧把原来所在的区域一分为二 所以平面的区域增加2k个 即f k 1 f k 2k k2 k 2 2k k 1 2 k 1 2 所以当n k 1时命题也成立 由 1 2 可知 对一切正整数n 命题都成立 解析 1 当n 1时 d1为rt oab1的内部包括斜边 这时a1 3 当n 2时 d2为rt oab2的内部包括斜边 这时a2 6 当n 3时 d3为rt oab3的内部包括斜边 这时a3 9 由此可猜想an 3n 下面用数学归纳法证明 当n 1时 猜想显然成立 假设当n k时 猜想成立 即ak 3k k n 将不等式y k x 3 k n 化为 3 x k n 可知取整点时x 1或2 平面区域dk为rt oabk的内部包括斜边 平面区域dk 1为rt oabk 1内部包括斜边 平面区域dk 1比平面区域dk多3个整点 即当n k 1时 ak 1 3k 3 3 k 1 这就是说当n k 1时 猜想也成立 由 知an 3n对一切n n 都成立 点评 还可以证明平面区域dn内的整点有 1 bk 1 ck 2 dk 其中bk 2k 1 ck 2k dk k 1 k n 答案 b点评 归纳猜想的结论是否正确有待证明 但这里不需要证明 只要符合归纳推理的规则就行 1 09 山东卷 等比数列 an 的前n项和为sn 已知对任意的n n 点 n sn 均在函数y bx r b 0且b 1 b r均为常数 的图象上 1 求r的值 2 当b 2时 记bn 2 log2an 1 n n 解析 1 因为对任意的n n 点 n sn 均在函数y bx r b 0且b 1 b r均为常数 的图象上 所以sn bn r 当n 1时 a1 s1 b r 当n 2时 an sn sn 1 bn r bn 1 r bn bn 1 b 1 bn 1 又因为 an 为等比数列 所以r 1 2 当b 2时 an b 1 bn 1 2n 1 bn 2 log22n 1 1 2n 请同学们认真完成课后强化作业 1 求证 32n 2 8n 9能被64整除 n n 证明 32n 2 8n 9 9n 1 8n 9 8 1 n 1 8n 9 cn 108n 1 cn 118n cn 1n 182 cn 1n8 cn 1n 1 8 n 1 1 64 cn 108n 1 cn 118n 2 cn 1n 1 8 n 1 1 8 n 1