中考数学 第一讲圆的有关性质课件.ppt

第六章圆 第1讲圆的有关性质 一 圆的有关概念1 平面上 到 的距离等于 的所有点组成的图形叫做圆 圆的位置由 确定 圆的大小由 确定 2 连接 的线段叫做弦 经过 的弦叫做直径 定点 定长 圆心 半径 圆上任意两点 圆心 3 圆上 的部分叫做圆弧 圆的任意一条直径的两个端点分圆成 每条 都叫做半圆 大于半圆的弧叫 小于半圆的弧叫 由 及其所对的 组成的图形叫做弓形 4 能够 的两个圆叫等圆 在同圆或等圆中 能够 的弧叫等弧 圆心 半径 的两个圆叫同心圆 5 顶点是 的角是圆心角 顶点在 并且两边都和圆 的角叫圆周角 任意两点间 两条弧 弧 优弧 劣弧 弦 弧 重合 重合 相同 不相等 圆心 圆上 相交 6 经过三角形各 的圆叫做三角形的外接圆 外接圆的圆心叫做三角形的 和三角形三边都相切的圆可以作出 个 这个圆叫做三角形的 圆 内切圆的圆心是三角形 的交点 叫做三角形的内心 友情提示 1 确定圆要有两个要素 圆心和半径 2 等弧必须是同圆或等圆中的弧 弧长相等的弧不一定是等弧 顶点 外心 内切 三条角平分线 1 二 圆的对称性1 圆是轴对称图形 其对称轴是 2 圆是一个 图形 对称中心是 友情提示 圆有无数条对称轴 经过圆心的任意直线 中心对称 圆心 三 垂径定理及推论1 垂直于弦的直径 并且平分弦所对的 2 平分弦 非直径 的直径 于弦 并且平分弦所对的 平分弧的直径垂直平分这条弧所对的 3 圆的两条平行弦所夹的弧 平分这条弦 弧 垂直 弧 弦 相等 友情提示 1 根据圆的轴对称性 在以下五条结论中 直径 平分弦 垂直弦 平分优弧 平分劣弧 只要满足其中的两条 另外三条结论一定成立 即 知二推三 2 使用垂径定理时 常需要作出弦心距 利用 半径 半弦 弦心距 构成的直角三角形达到求解的目的 3 在较复杂的图形中注意准确识别垂径定理的基本图形 四 圆周角定理和推论1 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 2 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆心角 圆周角 直径所对的圆周角是 90 的圆周角所对的弦是 友情提示 相等的圆周角对的弧不一定相等 所对的弦不一定相等 因为这些弧 弦不一定在同圆或等圆中 一半 相等 相等 直角 90 直径 五 确定圆的条件 的三个点确定一个圆 不在同一条直线上 1 过圆内一点p的最长弦为4cm 最短的弦长为2cm 则p到圆心o的距离为 a 2 如图6 1 1 已知圆心角 boc 78 则圆周角 bac的度数是 a 156 b 78 c 39 d 12 c 3 下列说法 弦是直径 半径相等的圆是等圆 长度相等的弧是等弧 半圆是弧 但弧不一定是半圆 半径相等的两个半圆是等弧 其中正确的个数是 a 1b 2c 3d 4 c 4 如图6 1 2所示 已知cd是 o的直径 过点d的弦de平行于半径oa 若 d 50 则 a 度 25 5 三角形的外心是 的交点 三角形的内心是 的交点 6 如图6 1 3所示 o的直径cd与弦ab相交于点m 添加条件 写出一个适合的条件 可得到m点是ab的中点 三边垂直平分线 三个内角平分线 本考点包括圆的定义 确定圆的条件 对弧 弦 圆心角 圆周角的认识和判断 等弧的判定 等圆的判定 要正确认识这些基本概念 抓住各个概念的前提条件 尤其是对等弧的认识 前提是 同圆或等圆中 其次明确各图形的关键的顶点 边 虽然对这些基本概念在中考中很少单独考查 但它们是与圆相关的其它知识的基础 不可忽视 例1 下列命题中 正确的是 顶点在圆周上的角是圆周角 圆周角的度数等于圆心角度数的一半 90 的圆周角所对的弦是直径 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 同弧所对的圆周角相等a b c d 思路分析 直接考查对圆基本概念的认识 要准确判断应紧扣圆周角定义 圆周角与圆心角的关系定理等 圆周角应满足 顶点在圆上 两边与圆相交两个条件 二者缺一不可 圆周角与圆心角的关系应强调 同一条弧所对的 直径所对的圆周角是90 反之亦然 答案 b 圆既是轴对称图形又是中心对称图形 由此推出了垂径定理以及它的推论 根据垂径定理中非直径的弦 直径 弧三者的位置和数量关系可以证明线段相等 弧相等 垂直关系等 解决方法一般通过作出半径 由半径 半弦 弦心距三者构成直角三角形结合勾股定理 三角形全等进行计算 证明 例2 如图6 1 4所示 ab cd是 o的两条弦 且ab cd 垂足为e ae 5cm be 13cm 求圆心o到弦cd的距离 思路分析 求一点到一条线的距离 需要由这一点向该线段作垂线段 即作of cd于点f 求of的长即可 但已知线段ae be的长 所以应用弦ab与of建立联系方可 在圆中出现了弦 通常要作出弦心距这条辅助线 可作om ab于m 再由垂径定理可求得am 因为of em am ae 所以可求出of的长度 即点o到cd的距离 根据 半圆或直径所对的圆周角都相等 都是直角 90 的圆周角所对的弦是直径 可以在圆中构造出直角三角形 用于角度数的计算 弦长度 圆半径等的计算问题 由 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 同弧或等弧所对的圆周角相等 以及它的逆命题可由已知圆周角计算圆心角 已知圆心角求圆周角 注意这都是在同圆或等圆中由弧相等转化为角相等 反之 由角相等又得到弧相等 例3 如图6 1 5所示 a b c是 o上的三点 已知 o 60 则 c a 20 b 25c 30 d 45 答案 c 例4 如图6 1 6所示 已知bd是 o的直径 o的弦ac bd于点e 若 aod 60 则 dbc的度数为 a 30 b 40 c 50 d 60 答案 a 任何一个三角形都有一个外接圆和一个内切圆 外接圆经过三角形的三个顶点 内切圆与三角形的三边相切 外心到三角形三个顶点的距离相等 内心到三角形三边的距离相等 以上性质在解决有关三角形与圆结合的问题中可用于求圆的半径 求点到线的距离等计算型问题 此类问题通常要通过连接圆心与三角形的顶点 由圆心向三角形的边作垂线段构造出三角形解决 例5 如图6 1 7所示 o与 abc的三边都相切 切点分别为d e f 如果 fde 70 那么 a的大小是多少 思路分析 因为 o是 abc的内切圆 所以应用三角形内切圆的性质 连接oe of 可得oe ac of ab 再结合圆周角与圆心角的关系可求得 eof的度数 再利用四边形afoe的内角和为360 便可求出 a的度数 解 连接oe of 则oe ac of ab aeo afo 90 又由 eof 2 fde 140 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 a 360 aeo afo eof 360 90 90 140 40 1 如图6 1 8所示 o的直径ab 4 点c在 o上 abc 30 则ac的长是 图6 1 8 d 2 如图6 1 9所示 abc是 o的内接三角形 若 abc 70 则 aoc的度数是 a 110 b 120 c 130 d 140 图6 1 9 d 3 2010 绍兴 已知 o的半径为5 弦ab的弦心距为3 则ab的长是 a 3b 4c 6d 8 d 4 2010 河北 如图6 1 10所示 在5 5正方形网格中 一条圆弧经过a b c三点 那么这条圆弧所在的圆的圆心是 a 点pb 点qc 点rd 点m解析 圆心为弦ab bc的垂直平分线的交点 b 5 如图6 1 11所示 ab是 o的直径 点c d在 o上 boc 110 且ad oc 那么 aod 40 6 如图6 1 12所示 ab是 o的直径 cd是弦 ab cd于点e 则点c和点d之间的位置关系是 图中相等的线段有 相等的弧有 关于直线ab 对称 oc od ce de 7 如图6 1 13所示 圆弧形桥拱的跨度ab 12米 拱高cd 4米 那么该拱桥的半径为 米 6 5 8 如图6 1 14所示 已知ab是 o的直径 弦cd ab 若 abd 65 则 adc 解析 ab是直径 adb 90 a 90 65 25 又 cd