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文档简介
第四节数列的通项 基础梳理 数列的通项公式 如果数列 an 的 之间的关系可以用一个公式来表示 那么这个公式叫做这个数列的通项公式 第n项与它的序号n 2 数列的递推公式 如果已知数列 an 的首项 或者前几项 且任意一项an与an 1 或其前面的项 之间的关系可以 那么这个公式就叫做数列的递推公式 它是数列的一种表示法 用一个公式来表示 3 求通项公式的常用方法 1 观察法 2 定义法 3 迭加法 又称累加法 逐差相加法 4 迭乘法 又称累乘法 逐商相乘法 5 其他方法 如观察 猜想 证明法等 基础达标 1 数列 an 满足an 1 an n 且a1 1 则a5 解析 a5 a4 4 a3 3 4 a2 2 3 4 a1 1 2 3 4 11 解析 因为3 即为数列中的 n 13 所以3是数列中的第26项 故推测f n 经典例题 题型一定义法求通项公式 例1 已知在数列 an 中 a1 0 an 1 2an 2n n n 求数列 an 的通项公式 分析两边同除以2n 1 然后变形化简 得通项 变式1 1 题型二累加法 累乘法求通项公式 例2 根据下列条件 写出数列的通项公式 1 a1 2 an 1 an n 2 a1 1 2n 1an an 1 分析 1 将递推关系写成n 1个等式累加 2 将递推关系写成n 1个等式累乘 或逐项迭代也可 解 1 当n 1 2 3 n 1时 可得n 1个等式 an an 1 n 1 an 1 an 2 n 2 a2 a1 1 将其相加 得an a1 1 2 3 n 1 an a1 2 2 方法一 an 变式2 1 2 an an 1 n 2 an 1 an 2 an 2 an 3 a2 a1 以上n 1个式子相乘 得an a1 又当n 1时 a1 1也适合上式 an 题型三一阶递推公式求通项 例3 设数列 an 中 a1 4 an 3an 1 2n 1 n 2 求an 分析对于一阶递推式an 1 pan f n 求通项 可考虑变形为an 1 g n 1 p an g n 构造等比数列 bn bn an g n 来求解 变式3 1 已知在数列 an 中 a1 5 an 1 2an 3 n n 求数列 an 的通项公式 解析 不妨设an 1 2 an 展开得an 1 2an 与an 1 2an 3比较 得 3 an 1 3 2 an 3 又 a1 5 an 3
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