高考数学总复习 第6单元 第4节 数列求和课件 文 新人教A版.ppt

第四节数列求和 基础梳理 n2 等差 等比 5 分组求和法有一类数列 既不是等差数列 也不是等比数列 若将这类数列适当拆开 可分为几个等差 等比或其他常见数列 即先分别求和 然后再合并 形如 an bn 其中 an 是等差数列 bn 是等比数列 基础达标 1 2011 威海模拟 设f n 2 24 27 23n 1 n n 则f n 等于 a 8n 1 b 8n 1 1 c 8n 2 1 d 8n 3 1 解析 由题意发现 f n 是一个以2为首项 公比q 23 8 项数为n 1的等比数列的和 由公式可得f n sn 1 8n 1 1 2 教材改编题 数列 an 的前n项和为sn 若an 则s5等于 a 1b c d 解析 an s5 1 1 3 数列 an 的通项公式是an n n 若前n项的和为10 则项数n为 a 11b 99c 120d 121 解析 an a1 1 a2 an sn 1 10 n 120 解 该数列的前n项和sn a1 a2 an 而an 1 2 22 2n 1 sn 21 1 22 1 23 1 2n 1 2 22 2n n 题型一利用错位相减法求和 例1 在数列 an 中 a1 1 an 1 2an 2n 1 设bn 证明 数列 bn 是等差数列 2 求数列 an 的前n项和sn 分析 1 求bn 1 观察bn与bn 1的关系 2 由an n 2n 1的特点可知 运用错位相减法求sn 1 证明 由已知an 1 2an 2n 得bn 1 又 b1 a1 1 bn 是首项为1 公差为1的等差数列 2 由 1 知 n 即an n 2n 1 sn 1 2 21 3 22 n 2n 1 两边乘以2得 2sn 2 2 22 n 2n 两式相减得sn 1 21 22 2n 1 n 2n 2n 1 n 2n n 1 2n 1 变式1 1 已知数列 an 是首项a1 1的等比数列 且an 0 bn 是首项为1的等差数列 又a5 b3 21 a3 b5 13 1 求数列 an 和 bn 的通项公式 2 求数列的前n项和sn 解 1 设 an 的公比为q bn 的公差为d 则由已知条件得 解得d 2 q 2或q 2 舍去 an 2n 1 bn 1 2 n 1 2n 1 题型二利用裂项相消法求和 例2 2011 重庆南开中学月考 已知公差不为零的等差数列 an 的前6项和为60 且a6是a1和a21的等比中项 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 bn 满足 bn 1 bn an n n 且b1 3 求数列的前n项和为tn 分析 设出基本量 利用累加法求出bn 然后写出tn 解 1 设 an 的公差为d 则 an 2n 3 n n 2 bn 1 bn 2n 3 b2 b1 2 1 3 b3 b2 2 2 3 bn bn 1 2 n 1 3 叠加得bn n n 2 变式2 1 已知等比数列 an 中 a1 2 公比q 2 又等差数列 bn 中 b2 a1 b8 a3 1 求数列 bn 的通项公式bn及前n项和sn 2 若cn 求数列 cn 的前n项和tn 解 1 由已知a3 a1 q2 8 则设 bn 的首项为b1 公差为d 则解得b1 1 d 1 故bn 1 n 1 1 n sn n 1 1 2 由 1 知cn tn c1 c2 cn 题型三利用倒序相加法求和 例3 设函数f x 图象上有两点p1 x1 y1 p2 x2 y2 若p为p1p2的中点 且p点的横坐标为 1 求证 p点的纵坐标为定值 并求出这个值 2 求f f f 分析 1 由已知函数图象上两点p1 p2可得设p x y 根据中点坐标公式去求y 2 根据 1 的结论 若x1 x2 1 则由f x1 f x2 1可以得到f f 1 利用倒序相加法进行求解 解 1 证明 p为p1p2的中点 x1 x2 1 yp 又 yp 题型四利用分组法求和 2 由x1 x2 1 得y1 y2 f x1 f x2 1 f 1 设又 即 例4 已知数列 an 的首项a1 an 1 n 1 2 1 求证 数列是等比数列 2 求数列的前n项和sn 分析 1 由已知条件利用等比数列的定义证明 即从an 1 得到与的等式关系 2 充分利用 1 的结论得出欲求数列的前n项和sn可先求出的值 变式4 1 2011 海淀区期中考试 已知在等比数列 an 中 a1 1 且a2是a1和a3 1的等差中项 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 bn 满足bn 2n 1 an n n 求 bn 的前n项和sn 易错警示 1 设等比数列 an 的公比为q a2是a1和a3 1的等差中项 2a2 a1 a3 1 a3 q 2 an a1qn 1 2n 1 n n 2 bn 2n 1 an sn 1 1 3 2 5 22 2n 1 2n 1 1 3 5 2n 1 1 2 22 2n 1 例 求和 错解sn 错解分析等比数列的求和公式应分q 1和q 1两种情况讨论 上述解答只求了x 1且y 1的一种情况 链接高考 正解 1 当x 1且y 1时 2 当x 1且y 1时 3 当x 1且y 1时 4 当x 1且y 1时 sn 2n 2010