2008年高考对导数的题型考查小结.doc

2008年高考对导数的题型考查小结山东省高密市凤城中学薛振峰邮编：261500导数在近几年高考中每年必考，小题和解答题都有不少的题目，并且导数作为工具，与函数、不等式、三角函数、数列、平面解析几何、实际问题等都有联系，现对08高考题总结题型如下：一、利用导数讨论函数的单调性、极值、最值例1.（全国一19）已知函数，（）讨论函数的单调区间；（）设函数在区间内是减函数，求的取值范围解：（1）求导：当时，在上递增当，求得两根为即在，递增，递减，（2）若函数在区间内是减函数，则说明两根在区间外，因此，由此可以解得法二：，且解得：例2.（北京卷18）已知函数，求导函数，并确定的单调区间解：令，得当，即时，的变化情况如下表：0当，即时，的变化情况如下表：0所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减当，即时，所以函数在上单调递减，在上单调递减例3.（陕西卷21）已知函数（且，）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是（）求函数的另一个极值点；（）求函数的极大值和极小值，并求时的取值范围解：（），由题意知，即得，（*），由得，由韦达定理知另一个极值点为（或）（）由（*）式得，即当时，；当时，（i）当时，在和内是减函数，在内是增函数，由及，解得（ii）当时，在和内是增函数，在内是减函数，恒成立综上可知，所求的取值范围为练习1.（湖北卷7）若上是减函数，则的取值范围是（C ）A. B. C. D. 2.（广东卷7）设，若函数，有大于零的极值点，则（ B ）ABCD对于利用导数划分函数的单调区间，除应注意在定义域划分外，还主要用到一元二次不等式、高次不等式、分式不等式的解法；反之，告诉了函数在特定区间的单调性，讨论参数的范围也是常见题型。关于极值的题目经常转化为方程在某范围有根进行求解。二、利用导数作函数的图象、综合研究函数的其它性质例4.（四川卷22）已知是函数的一个极值点。（）求；（）求函数的单调区间；（）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。解：（）因为，所以. 因此（）由（）知，当时，当时，所以的单调增区间是，单调减区间是（）由（）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，所以的极大值为，极小值为因此 所以在的三个单调区间直线有的图象各有一个交点，当且仅当，因此，的取值范围为。19.（辽宁卷22）设函数（）求f(x)的单调区间和极值；（）是否存在实数a，使得关于x的不等式的解集为（0，+），若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由解：（）故当时，时，所以在单调递增，在单调递减由此知在的极大值为，没有极小值（）（）当时，由于，故关于的不等式的解集为（）当时，由知，其中为正整数，且有又时，且取整数满足，且，则，即当时，关于的不等式的解集不是综合（）（）知，存在，使得关于的不等式的解集为，且的取值范围为18.（山东卷3）函数ylncosx(-x的图象是A32.（福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是D三、利用导数证明不等式、恒成立问题5.（天津卷21）已知函数（），其中（）当时，讨论函数的单调性；（）若函数仅在处有极值，求的取值范围；（）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围解：（）当时，令，解得，当变化时，的变化情况如下表：02000极小值极大值极小值所以在，内是增函数，在，内是减函数（），显然不是方程的根为使仅在处有极值，必须成立，即有解些不等式，得这时，是唯一极值因此满足条件的的取值范围是（）由条件，可知，从而恒成立当时，；当时，因此函数在上的最大值是与两者中的较大者为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，在上恒成立所以，因此满足条件的的取值范围是6.（安徽卷20）设函数（）求函数的单调区间； （）已知对任意成立，求实数的取值范围。解 (1) 若 则 列表如下 +0-单调增极大值单调减单调减 (2) 在 两边取对数, 得 ,由于所以 (1)由(1)的结果可知,当时, , 为使(1)式对所有成立,当且仅当,即7.（山东卷21）已知函数其中nN*,a为常数.（）当n=2时，求函数f(x)的极值；（）当a=1时，证明：对任意的正整数n,当x2时，有f(x)x-1.（）解：由已知得函数f(x)的定义域为x|x1， 当n=2时， 所以 （1）当a0时，由f(x)=0得1，1，此时 f（x）=.当x（1，x1）时，f（x）0,f(x)单调递减；当x（x1+）时，f（x）0, f(x)单调递增.（2）当a0时，f（x）0恒成立，所以f(x)无极值.综上所述，n=2时，当a0时，f(x)在处取得极小值，极小值为当a0时，f(x)无极值.（）证法一：因为a=1,所以 当n为偶数时，令则 g（x）=1+0（x2）.所以当x2,+时，g(x)单调递增，又 g(2)=0因此g(2)=0恒成立， 所以f(x)x-1成立.当n为奇数时， 要证x-1,由于0，所以只需证ln(x-1) x-1, 令 h(x)=x-1-ln(x-1), 则 h（x）=1-0（x2）, 所以 当x2，+时，单调递增，又h(2)=10， 所以当x2时，恒有h(x) 0,即ln（x-1）x-1命题成立.综上所述，结论成立.证法二：当a=1时，当x2，时，对任意的正整数n，恒有1，故只需证明1+ln(x-1) x-1.令则当x2时，0，故h(x)在上单调递增，因此当x2时，h(x)h(2)=0，即1+ln(x-1) x-1成立.故当x2时，有x-1.即f（x）x-1.12.（湖南卷21）已知函数f(x)=ln2(1+x)-.(I) 求函数的单调区间;（）若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数）.求的最大值.解: （）函数的定义域是，设则令则当时， 在（-1，0）上为增函数，当x0时，在上为减函数.所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以，函数g(x)在上为减函数.于是当时，当x0时，所以，当时，在（-1，0）上为增函数.当x0时，在上为减函数.故函数的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为.（）不等式等价于不等式由知， 设则由（）知，即所以于是G(x)在上为减函数.故函数G（x）在上的最小值为所以a的最大值为四、利用导数讨论三角函数的性质2.（全国二22）设函数（）求的单调区间；（）如果对任何，都有，求的取值范围解：（）当（）时，即；当（）时，即因此在每一个区间（）是增函数，在每一个区间（）是减函数（）令，则故当时，又，所以当时，即当时，令，则故当时，因此在上单调增加故当时，即于是，当时，当时，有因此，的取值范围是五、利用导数讨数列问题15.（福建卷19）已知函数.（）设an是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3.若点(nN*)在函数y=f(x)的图象上，求证：点（n,Sn）也在y=f(x)的图象上；（）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值. ()证明：因为所以(x)=x2+2x, 由点在函数y=f(x)的图象上, 又所以 所以,又因为(n)=n2+2n,所以, 故点也在函数y=f(x)的图象上.()解:,由得.当x变化时,的变化情况如下表:x(-,-2)-2(-2,0)0(0,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值注意到,从而当,此时无极小值；当的极小值为,此时无极大值；当既无极大值又无极小值.本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.满分12分.六、利用导数讨论平面解析几何4.（全国一7）设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ D ）A2BCD34.（辽宁卷6）设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为（ A ）ABCD4.（全国二14）设曲线在点处的切线与直线垂直，则 29.（江苏卷8）直线是曲线的一条切线，则实数b ln21七、利用导数解决实际问题8.（江苏卷17）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为km（）按下列要求写出函数关系式：设BAO=(rad)，将表示成的函数关系式；设OP(km) ，将表示成x的函数关系式（）请你选用（）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短解：（）由条件知PQ 垂直平分AB，若BAO=(rad) ，则, 故，又OP1010ta，所以， 所求函数关系式为若OP=(km) ，则OQ10，所以OA =OB=所求函数关系式为（）选择函数模型，令0 得sin ，因为，所以=，当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数，所以当=时，。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边km处。本小题主要考查函数最值的应用11.（湖北卷20）水库的蓄水量随时间而变化，现用表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于的近似函数关系式为（）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以表示第1月份（）,同一年内哪几个月份是枯水期？（）求一年内该水库的最大蓄水量（取计算）.解：水库的蓄水量随时间而变化，现用表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于的近似函数关系式为（）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以表示第1月份（）,同一年内哪几个月份是枯水期？（）求一年内该水库的最大蓄水量（取计算）.10.（江西卷22）（本小题满分14分）已知函数，当时，求的单调区间；对任意正数，证明：解：、当时，求得 ，于是当时，；而当 时，即在中单调递增，而在中单调递减 （2）.对任意给定的，由 ，若令 ，则 ，而 （一）、先证；因为，又由 ，得 所以（二）、再证；由、式中关于的对称性，不妨设则（）、当，则，所以，因为 ，此时 （）、当 ，由得 ,，因为 所以 同理得 ，于是 今证明 , 因为 ，只要证 ，即 ，也即 ，据，此为显然 因此得证故由得 综上所述，对任何正数，皆有14.（重庆卷20）（本小题满分13分.（）小问5分.（）小问8分.）设函数曲线y=f(x)通过点（0，2a+3），且在点（-1，f（-1）处的切线垂直于y轴.（）用a分别表示b和c；（）当bc取得最小值时，求函数g(x)=-f(x)e-x的单调区间.解：()因为 又因为曲线通过点（0，2a+3）, 故 又曲线在（-1，f(-1)）处的切线垂直于y轴，故 即-2a+b=0,因此b=2a. ()由()得 故当时，取得最小值-. 此时有 从而 所以 令，解得 当 当 当 由此可见，函数的单调递减区间为（-，-2）和（2，+）；单调递增区间为（-2，2）.16.（福建卷22）（本小题满分14分）已知函数f(x)=ln(1+x)-x1（）求f(x)的单调区间；（）记f(x)在区间（nN*）上的最小值为bx令an=ln(1+n)-bx. （）如果对一切n，不等式恒成立，求实数c的取值范围；（）求证： 本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式、数列等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分析问题和解决问题的能力，满分14分.解法一：（I）因为f(x)=ln(1+x)-x，所以函数定义域为（-1,+）,且f(x)=-1=.由f(x)0得-1x0，f(x)的单调递增区间为（-1，0）；由f(x)0，f(x)的单调递增区间为（0，+）.(II)因为f(x)在0,n上是减函数，所以bn=f(n)=ln(1+n)-n,则an=ln(1+n)-bn=ln(1+n)-ln(1+n)+n=n.(i) 又lim,因此c1，即实数c的取值范围是（-，1）.（II）由（i）知因为2=所以(nN*),则N*）解法二：（）同解法一.（）因为f(x)在上是减函数，所以则（i）因为对nN*恒成立.所以对nN*恒成立.则对nN*恒成立.设 nN*，则cg(n)对nN*恒成立.考虑因为0，所以内是减函数；则当nN*时，g(n)随n的增大而减小，又因为1.所以对一切因此c1,即实数c的取值范围是(-，1.() 由()知 下面用数学归纳法证明不等式 当n=1时，左边，右边，左边右边.不等式成立. 假设当n=k时,不等式成立.即当n=k+1时，=即nk1时，不等式成立综合、得，不等式成立.所以即.17.（广东卷19）（本小题满分14分）设，函数，试讨论函数的单调性【解析】 对于，当时，函数在上是增函数；当时，函数在上是减函数，在上是增函数；对于，当时，函数在上是减函数；当时，函数在上