《高考调研》高三数学第一轮复习 第十章《直线、平面、简单几何体A》课件10A5.ppt

1 直线与平面所成的角 1 定义 直线与平面所成的角是直线和它在平面内的所成的角 当直线和平面平行时 称直线和平面成 当直线和平面垂直时 称直线和平面成 2 范围 射影 0 角 90 角 0 90 2 二面角 1 定义 从一条直线出发的叫做二面角 这条直线叫做二面角的 这两个半平面叫做二面角的 2 二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为顶点 在两个面内分别作的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 两个半平面所组成的图形 棱 面 垂 直于棱 3 求作二面角的方法二面角的大小是用它的平面角来度量的 找 或作 出二面角的平面角 并且求出其大小 主要有以下几种方法 定义法 直接在二面角的棱上取一点 特殊点 分别在两个半平面中作棱的垂线 得出平面角 用定义法时 要认真观察图形的特性 三垂线法 已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线 用三垂线定理或其逆定理作出平面角 垂面法 已知二面角内一点到两个面的垂线时 过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角 由此可知 二面角的平面角所在的平面与棱垂直 4 范围 0 180 1 在正方体abcd a1b1c1d1中 e为aa1中点 则二面角e bd c1的大小为 2 在正三棱柱abc a1b1c1中 所有棱长都相等 则直线bc1与平面角abb1a1所成的角为 3 在正四棱锥s abcd中 底面边长为2 侧棱长为2 则侧面与底面所成的角为 相邻两侧面所成的角为 答案c 答案c 题型一直线与平面所成的角 解析 1 证明设ac bd h 连结eh 在 adc中 因为ad cd 且db平分 adc 所以h为ac的中点 又由题设 知e为pc的中点 故eh pa 又eh 平面bde 且pa 平面bde 所以pa 平面bde 探究1 1 确定点在平面内的射影的位置 是解题的关键 因为只有确定了射影的位置 才能找到直线与平面所成的角 才能将空间的问题转化为平面的问题求解 2 求斜线与平面所成的角的步骤 寻找过直线上一点与平面垂直的直线 连接垂足和斜足得出射影 确定出所求角 把该角放入三角形计算 思考题1 09 浙江 如图 dc 平面abc eb dc ac bc eb 2dc 2 acb 120 p q分别为ae ab的中点 证明 pq 平面acd 求ad与平面abe所成角的正弦值 解析 证明因为p q分别为ae ab的中点 所以pq eb 又dc eb 因此pq dc 从而pq 平面acd 如图 连结cq dp 因为q为ab的中点 且ac bc 所以cq ab 因为dc 平面abc eb dc 所以eb 平面abc 因此cq eb 故cq 平面abe 探究2本题中求垂线段oh的长度用的是等体积法这样减少了作垂线的步骤 思考题2 09 浙江 在三棱柱abc a1b1c1中 各棱长相等 侧棱垂直于底面 点d是侧面bb1c1c的中心 则ad与平面bb1c1c所成角的大小是 a 30 b 45 c 60 d 90 答案 c 题型二二面角 探究3方法一是定义法方法二是三垂线定理法 思考题3p为120 的二面角 a 外一点 p到到 和 的距离分别为5和8 求点p到棱a的距离 思路点拨 本题已知二面角大小求点到直线的距离 须使用垂面法 作出二面角的平面角 即过p点作pa pb a b为垂足 设pa pb确定的平面pab与棱a交于o点 连结ao bo 得 aob即二面角的平面角 再配合其他条件解题 例4如图 设e为正方体abcd a1b1c1d1的棱cc1的中点 求平面ab1e和底面a1b1c1d1所成的角的余弦值 解析 如图 延长ae与a1c1的延长线交于点p 连结pb1 则pb1即为二面角的棱 过c1作c1q b1p交pb1于点q 连结eq ec1 面a1b1c1d 由三垂线定理可得eq pb1 故 eqc1即为二面角的平面角 探究4此题属无棱二面角问题 已知图形中没有二面角的棱 对于此类问题 一般有两种方法可以解决 1 首先作出二面角的棱 然后作出二面角的平面角 再求之 2 不作出二面角的棱 而是直接用面积射影定理解之 本题就分别采用了这两种方法 思考题4 2010 全国卷 如图 四棱锥s abcd中 sd 底面abcd ab dc ad dc ab ad 1 dc sd 2 e为棱sb上的一点 平面edc 平面sbc 1 证明 se 2eb 2 求二面角a de c的大小 1 空间角问题的关键是作其平面角 2 计算角时 一般用解三角形 但求点到平面的垂线段时 可用等体积法 解析 1 如图 由pa 底面abcd 得pa ab 又pa ab 故 pab为等腰直角三角形 而点e是棱pb的中点 所以ae pb 由题意知bc ab 又ab是pb在平面abcd内的射影 由三垂线定理得bc pb 从而bc 平面pab 故bc ae 因为ae pb ae bc 所以ae 平面pbc 课时作业 五十一 1 如图 sa 平面abc abc 90 de垂直平分sc sa ab sb bc 那么二面角c bd e的平面角的大小为 a 30 b 45 c 60 d 90 答案c 2 07 浙江 已知点o在二面角 ab 的棱上 点p在 内 且 pob 45 若对于 内异于o的任意一点q 都有 poq 45 则二面角 ab 的大小是 答案90 解析由已知 pob是po和平面 所成角中的最小角 由最小角定理 pob是po和面 所成的角 即bo是po在 内的射影 故 即二面角 ab b的大小为90 3 09 全国 如图 直三棱柱abc a1b1c1中 ab ac d e分别为aa1 b1c的中点 de 平面bcc1 证明 ab ac 设二面角a bd c为60 求b1c与平面bcd所成的角的大小 4 09 北京 如图 在三棱锥p abc