2019届高考数学复习立体几何与空间向量8.4平行关系课件理北师大版.pptx

8 4平行关系 第八章立体几何与空间向量 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 直线与平面平行的判定与性质 知识梳理 a a a b a b a a a b a b 2 面面平行的判定与性质 a b a b P a b a b 重要结论 1 垂直于同一条直线的两个平面平行 即若a a 则 2 垂直于同一个平面的两条直线平行 即若a b 则a b 3 平行于同一个平面的两个平面平行 即若 则 知识拓展 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 若一条直线平行于一个平面内的一条直线 则这条直线平行于这个平面 2 若一条直线平行于一个平面 则这条直线平行于这个平面内的任一条直线 3 如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面 那么这两个平面平行 4 如果两个平面平行 那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面 5 若直线a与平面 内无数条直线平行 则a 6 若 直线a 则a 基础自测 1 2 4 5 6 3 题组二教材改编2 下列命题中正确的是A 若a b是两条直线 且a b 那么a平行于经过b的任何平面B 若直线a和平面 满足a 那么a与 内的任何直线平行C 平行于同一条直线的两个平面平行D 若直线a b和平面 满足a b a b 则b 1 2 4 5 6 解析 3 答案 解析A中 a可以在过b的平面内 B中 a与 内的直线也可能异面 C中 两平面可相交 D中 由直线与平面平行的判定定理知b 正确 1 2 4 5 6 答案 3 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E为DD1的中点 则BD1与平面AEC的位置关系为 3 平行 解析连接BD 设BD AC O 连接EO 在 BDD1中 E为DD1的中点 O为BD的中点 所以EO为 BDD1的中位线 则BD1 EO 而BD1 平面ACE EO 平面ACE 所以BD1 平面ACE 解析 题组三易错自纠4 若平面 平面 直线a 平面 点B 则在平面 内且过B点的所有直线中A 不一定存在与a平行的直线B 只有两条与a平行的直线C 存在无数条与a平行的直线D 存在唯一与a平行的直线 解析 1 2 4 5 6 答案 3 解析当直线a在平面 内且过B点时 不存在与a平行的直线 故选A 解析在条件 或条件 中 或 与 相交 由 条件 满足 在 中 a a b b 又b 从而 满足 5 设 为三个不同的平面 a b为直线 给出下列条件 a b a b a b a b 其中能推出 的条件是 填上所有正确的序号 1 2 4 5 6 答案 3 解析 6 如图是长方体被一平面所截得的几何体 四边形EFGH为截面 则四边形EFGH的形状为 解析 1 2 4 5 6 3 解析 平面ABFE 平面DCGH 又平面EFGH 平面ABFE EF 平面EFGH 平面DCGH HG EF HG 同理EH FG 四边形EFGH是平行四边形 答案 平行四边形 题型分类深度剖析 四边形ABCE是平行四边形 O为AC的中点 又F是PC的中点 FO AP 又FO 平面BEF AP 平面BEF AP 平面BEF 命题点1直线与平面平行的判定典例如图 在四棱锥P ABCD中 AD BC AB BC AD E F H分别为线段AD PC CD的中点 AC与BE交于O点 G是线段OF上一点 1 求证 AP 平面BEF 题型一直线与平面平行的判定与性质 多维探究 证明 2 求证 GH 平面PAD 证明 证明连接FH OH F H分别是PC CD的中点 FH PD 又PD 平面PAD FH 平面PAD FH 平面PAD 又O是BE的中点 H是CD的中点 OH AD 又AD 平面PAD OH 平面PAD OH 平面PAD 又FH OH H 平面OHF 平面PAD 又GH 平面OHF GH 平面PAD 命题点2直线与平面平行的性质典例 2017 长沙调研 如图 四棱锥P ABCD的底面是边长为8的正方形 四条侧棱长均为2 点G E F H分别是棱PB AB CD PC上共面的四点 平面GEFH 平面ABCD BC 平面GEFH 1 证明 GH EF 证明 证明因为BC 平面GEFH BC 平面PBC 且平面PBC 平面GEFH GH 所以GH BC 同理可证EF BC 因此GH EF 2 若EB 2 求四边形GEFH的面积 解答 解如图 连接AC BD交于点O BD交EF于点K 连接OP GK 因为PA PC O是AC的中点 所以PO AC 同理可得PO BD 又BD AC O 且AC BD 底面ABCD 所以PO 底面ABCD 又因为平面GEFH 平面ABCD 且PO 平面GEFH 所以PO 平面GEFH 因为平面PBD 平面GEFH GK 所以PO GK 且GK 底面ABCD 从而GK EF 所以GK是梯形GEFH的高 由AB 8 EB 2得EB AB KB DB 1 4 判断或证明线面平行的常用方法 1 利用线面平行的定义 无公共点 2 利用线面平行的判定定理 a b a b a 3 利用面面平行的性质 a a 4 利用面面平行的性质 a a a a 跟踪训练 2016 全国 如图 四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD AD BC AB AD AC 3 PA BC 4 M为线段AD上一点 AM 2MD N为PC的中点 1 证明 MN 平面PAB 证明 如图 取BP的中点T 连接AT TN 所以四边形AMNT为平行四边形 于是MN AT 因为AT 平面PAB MN 平面PAB 所以MN 平面PAB 2 求四面体N BCM的体积 解答 解因为PA 平面ABCD N为PC的中点 取BC的中点E 连接AE 典例如图所示 在三棱柱ABC A1B1C1中 E F G H分别是AB AC A1B1 A1C1的中点 求证 1 B C H G四点共面 题型二平面与平面平行的判定与性质 师生共研 证明 证明 G H分别是A1B1 A1C1的中点 GH是 A1B1C1的中位线 GH B1C1 又 B1C1 BC GH BC B C H G四点共面 2 平面EFA1 平面BCHG 证明 证明 E F分别是AB AC的中点 EF BC EF 平面BCHG BC 平面BCHG EF 平面BCHG 四边形A1EBG是平行四边形 A1E GB 又 A1E 平面BCHG GB 平面BCHG A1E 平面BCHG 又 A1E EF E A1E EF 平面EFA 平面EFA1 平面BCHG 在本例条件下 若D1 D分别为B1C1 BC的中点 求证 平面A1BD1 平面AC1D 证明 证明如图所示 连接A1C交AC1于点M 四边形A1ACC1是平行四边形 M是A1C的中点 连接MD D为BC的中点 A1B DM A1B 平面A1BD1 DM 平面A1BD1 DM 平面A1BD1 四边形BDC1D1为平行四边形 DC1 BD1 又DC1 平面A1BD1 BD1 平面A1BD1 DC1 平面A1BD1 又 DC1 DM D DC1 DM 平面AC1D 平面A1BD1 平面AC1D 证明面面平行的方法 1 面面平行的定义 2 面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面 那么这两个平面平行 3 利用垂直于同一条直线的两个平面平行 4 两个平面同时平行于第三个平面 那么这两个平面平行 5 利用 线线平行 线面平行 面面平行 的相互转化 跟踪训练 2018 唐山质检 如图所示 四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形 M N G分别是AB AD EF的中点 求证 1 BE 平面DMF 证明 证明如图所示 设DF与GN交于点O 连接AE 则AE必过点O 连接MO 则MO为 ABE的中位线 所以BE MO 因为BE 平面DMF MO 平面DMF 所以BE 平面DMF 证明因为N G分别为平行四边形ADEF的边AD EF的中点 所以DE GN 因为DE 平面MNG GN 平面MNG 所以DE 平面MNG 因为M为AB的中点 所以MN为 ABD的中位线 所以BD MN 因为BD 平面MNG MN 平面MNG 所以BD 平面MNG 因为DE BD D BD DE 平面BDE 所以平面BDE 平面MNG 2 平面BDE 平面MNG 证明 题型三平行关系的综合应用 师生共研 典例如图所示 平面 平面 点A 点C 点B 点D 点E F分别在线段AB CD上 且AE EB CF FD 1 求证 EF 平面 证明 证明 当AB CD在同一平面内时 由平面 平面 平面 平面ABDC AC 平面 平面ABDC BD知 AC BD AE EB CF FD EF BD 又EF BD EF 平面 当AB与CD异面时 如图所示 设平面ACD 平面 DH 且DH AC 平面 平面 平面 平面ACDH AC AC DH 四边形ACDH是平行四边形 在AH上取一点G 使AG GH CF FD 连接EG FG BH 又 AE EB CF FD AG GH GF HD EG BH 又EG GF G BH HD H 平面EFG 平面 又EF 平面EFG EF 平面 综合 可知 EF 平面 2 若E F分别是AB CD的中点 AC 4 BD 6 且AC BD所成的角为60 求EF的长 解答 解如图所示 连接AD 取AD的中点M 连接ME MF E F分别为AB CD的中点 ME BD MF AC EMF为AC与BD所成的角或其补角 EMF 60 或120 在 EFM中 由余弦定理得 利用线面平行的性质 可以实现与线线平行的转化 尤其在截面图的画法中 常用来确定交线的位置 对于最值问题 常用函数思想来解决 证明 四边形EFGH为平行四边形 EF HG HG 平面ABD EF 平面ABD EF 平面ABD 又 EF 平面ABC 平面ABD 平面ABC AB EF AB 又 AB 平面EFGH EF 平面EFGH AB 平面EFGH 同理可证 CD 平面EFGH 证明 跟踪训练如图所示 四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面 若截面为平行四边形 1 求证 AB 平面EFGH CD 平面EFGH 2 若AB 4 CD 6 求四边形EFGH周长的取值范围 解设EF x 0 x 4 EF AB FG CD 解答 四边形EFGH为平行四边形 又 0 x 4 8 l 12 即四边形EFGH周长的取值范围是 8 12 课时作业 1 若直线l不平行于平面 且l 则A 内的所有直线与l异面B 内不存在与l平行的直线C 与直线l至少有两个公共点D 内的直线与l都相交 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析因为l 直线l不平行于平面 所以直线l只能与平面 相交 于是直线l与平面 只有一个公共点 所以平面 内不存在与l平行的直线 解析 答案 2 已知直线a和平面 那么a 的一个充分条件是A 存在一条直线b a b且b B 存在一条直线b a b且b C 存在一个平面 a 且 D 存在一个平面 a 且 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析在A B D中 均有可能a 错误 在C中 两平面平行 则其中一个平面内的任一条直线都平行于另一平面 故C正确 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 2018 攀枝花质检 平面 平面 点A C 点B D 则直线AC 直线BD的充要条件是A AB CDB AD CBC AB与CD相交D A B C D四点共面 答案 解析充分性 A B C D四点共面 由平面与平面平行的性质知AC BD 必要性显然成立 解析 4 一条直线l上有相异的三个点A B C到平面 的距离相等 那么直线l与平面 的位置关系是A l B l C l与 相交但不垂直D l 或l 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析当l 时 直线l上任意点到 的距离都相等 当l 时 直线l上所有的点到 的距离都是0 当l 时 直线l上有两个点到 的距离相等 当l与 斜交时 也只能有两个点到 的距离相等 故选D 5 对于空间中的两条直线m n和一个平面 下列命题中的真命题是A 若m n 则m nB 若m n 则m nC 若m n 则m nD 若m n 则m n 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析对A 直线m n可能平行 异面或相交 故A错误 对B 直线m与n可能平行 也可能异面 故B错误 对C m与n垂直而非平行 故C错误 对D 垂直于同一平面的两直线平行 故D正确 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 如图 L M N分别为正方体对应棱的中点 则平面LMN与平面PQR的位置关系是A 垂直B 相交不垂直C 平行D 重合 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析如图 分别取另三条棱的中点A B C 将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL 因为PQ AL PR AM 且PQ与PR相交 AL与AM相交 所以平面PQR 平面AMBNCL 即平面LMN 平面PQR 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 2018 重庆模拟 在四面体A BCD中 M N分别是 ACD BCD的重心 则四面体的四个面中与MN平行的是 答案 平面ABD与平面ABC 解析如图 取CD的中点E 连接AE BE 则EM MA 1 2 EN BN 1 2 所以MN AB 所以MN 平面ABD MN 平面ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 设 是三个不同的平面 m n是两条不同的直线 在命题 m n 且 则m n 中的横线处填入下列三组条件中的一组 使该命题为真命题 n m n n m 可以填入的条件有 解析 解析由面面平行的性质定理可知 正确 当n m 时 n和m在同一平面内 且没有公共点 所以平行 正确 答案 或 9 2017 承德模拟 如图所示 在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中 E F G H分别是棱CC1 C1D1 D1D DC的中点 N是BC的中点 点M在四边形EFGH及其内部运动 则M只需满足条件 时 就有MN 平面B1BDD1 注 请填上你认为正确的一个条件即可 不必考虑全部可能情况 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 点M在线段FH上 或点M与点H重合 解析连接HN FH FN 则FH DD1 HN BD 平面FHN 平面B1BDD1 只需M FH 则MN 平面FHN MN 平面B1BDD1 10 2018 海口调研 将一个真命题中的 平面 换成 直线 直线 换成 平面 后仍是真命题 则该命题称为 可换命题 给出下列四个命题 垂直于同一平面的两直线平行 垂直于同一平面的两平面平行 平行于同一直线的两直线平行 平行于同一平面的两直线平行 其中是 可换命题 的是 填序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由线面垂直的性质定理可知 是真命题 且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题 故 是 可换命题 因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交 所以 是假命题 不是 可换命题 由公理4可知 是真命题 且平行于同一平面的两平面平行也是真命题 故 是 可换命题 因为平行于同一平面的两条直线可能平行 相交或异面 故 是假命题 故 不是 可换命题 11 2017 南昌模拟 如图 在四棱锥P ABCD中 平面PAD 平面ABCD 底面ABCD为梯形 AB CD AB 2DC 2 且 PAD与 ABD均为正三角形 E为AD的中点 G为 PAD的重心 1 求证 GF 平面PDC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 证明方法一连接AG并延长交PD于点H 连接CH 又HC 平面PCD GF 平面PCD GF 平面PDC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又由所作GN AD FM AD 得GN FM 四边形GNMF为平行四边形 GF MN 又 GF 平面PCD MN 平面PCD GF 平面PDC 方法二过G作GN AD交PD于N 过F作FM AD交CD于M 连接MN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法三过G作GK PD交AD于K 连接KF GK 由 PAD为正三角形 E为AD的中点 G为 PAD的重心 又由梯形ABCD中AB CD 且AB 2DC 在 ADC中 KF CD 又 GK KF K PD CD D 平面GKF 平面PDC 又GF 平面GKF GF 平面PDC 2 求三棱锥G PCD的体积 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解方法一由平面PAD 平面ABCD PAD与 ABD均为正三角形 E为AD的中点 知PE AD BE AD 又 平面PAD 平面ABCD AD PE 平面PAD PE 平面ABCD 且PE 3 由 1 知GF 平面PDC 又 ABD为正三角形 得 CDF ABD 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二由平面PAD 平面ABCD PAD与 ABD均为正三角形 E为AD的中点 知PE AD BE AD 又 平面PAD 平面ABCD AD PE 平面PAD PE 平面ABCD 且PE 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又 ABD为正三角形 得 EDC 120 12 如图 在四棱锥P ABCD中 PD 平面ABCD 底面ABCD为正方形 BC PD 2 E为PC的中点 CB 3CG 1 求证 PC BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 证明 证明因为PD 平面ABCD BC 平面ABCD 所以PD BC 因为四边形ABCD是正方形 所以BC CD 又PD CD D PD CD 平面PCD 所以BC 平面PCD 因为PC 平面PDC 所以PC BC 2 AD边上是否存在一点M 使得PA 平面MEG 若存在 求出AM的长 若不存在 请说明理由 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解连接AC BD交于点O 连接EO GO 延长GO交AD于点M 连接EM 则PA 平面MEG 证明如下 因为E为PC的中点 O是AC的中点 所以EO PA 因为EO 平面MEG PA 平面MEG 所以PA 平面MEG 因为 OCG OAM 13 2018 南昌质检 在四面体ABCD中 截面PQMN是正方形 则在下列结论中 错误的是A AC BDB AC 截面PQMNC AC BDD 异面直线PM与BD所成的角为45 技能提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析因为截面PQMN是正方形 所以MN QP 又PQ 平面ABC MN 平面ABC 则MN 平面ABC 由线面平行的性质知MN AC 又MN 平面PQMN AC 平面PQMN 则AC 截面PQMN 同理可得MQ BD 又MN QM 则AC BD 故A B正确 又因为BD MQ 所以异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角 即为45 故D正确 14 2017 山西太原五中月考 过三棱柱ABC A1B1C1的任意两条棱的中点作直线 其中与平面ABB1A1平行的直线共有 条 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 6 解析过三棱柱ABC A1B1C1的