高考数学一轮复习 等差数列、等比数列专题训练(1).doc

等差数列、等比数列一、基础知识要记牢等差数列等比数列通项公式ana1(n1)dana1qn1(q0)前n项和snna1d(1)q1，sn(2)q1，snna1二、经典例题领悟好例1(1)(2013新课标全国)设等差数列an的前n项和为sn，若sm12，sm0，sm13，则m()a3 b4c5 d6(2)(2013北京高考)若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q_；前n项和sn_.解析(1)an是等差数列，sm12，sm0，amsmsm12.sm13，am1sm1sm3，dam1am1.又sm0，a12，am2(m1)12，m5.(2)设等比数列an的首项为a1，公比为q，则：由a2a420得a1q(1q2)20，由a3a540得a1q2(1q2)40.由解得q2，a12.故sn2n12.答案(1)c(2)22n12关于等差(等比)数列的基本运算，一般通过其通项公式及前n项和公式构造关于a1和d(或q)的方程或方程组解决，如果在求解过程中能够灵活运用等差(等比)数列的性质，不仅可以快速获解，而且有助于加深对等差(等比)数列问题的认识.注意利用等比数列前n项和公式求和时，不可忽视对公比q是否为1的讨论.三、预测押题不能少1已知an是递增的等差数列，a12，aa48.(1)求数列an的通项公式；(2)若bnan2an，求数列bn的前n项和sn.解：(1)设等差数列的公差为d，d0.由题意得，(2d)223d8，d2d6(d3)(d2)0，得d2.故ana1(n1)d2(n1)22n，得an2n.(2)bnan2an2n22n.snb1b2bn(222)(424)(2n22n)(2462n)(222422n)n2n.等差、等比数列的判定与证明一、基础知识要记牢数列an是等差或等比数列的证明方法：(1)证明数列an是等差数列的两种基本方法：利用定义，证明an1an(nn*)为一常数；利用中项性质，即证明2anan1an1(n2)(2)证明an是等比数列的两种基本方法：利用定义，证明(nn*)为一常数；利用等比中项，即证明aan1an1(n2)二、经典例题领悟好例2设an是公比不为1的等比数列，其前n项和为sn，且a5，a3，a4成等差数列(1)求数列an的公比；(2)证明：对任意kn*，sk2，sk，sk1成等差数列解(1)设数列an的公比为q(q0，q1)，由a5，a3，a4成等差数列，得2a3a5a4，即2a1q2a1q4a1q3.由a10，q0得q2q20，解得q12，q21(舍去)，所以q2.(2)证明：法一：对任意kn*，sk2sk12sk(sk2sk)(sk1sk)ak1ak2ak12ak1ak1(2)0，所以，对任意kn*，sk2，sk，sk1成等差数列法二：对任意kn*,2sk，sk2sk1.2sk(sk2sk1)2(1qk)(2qk2qk1)(q2q2)0，因此，对任意kn*，sk2，sk，sk1成等差数列(1)判断一个数列是等差(等比)数列，还有通项公式法及前n项和公式法，但不作为证明方法；(2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列，只需判断存在连续三项不成等差(等比)数列即可；(3)aan1an1(n2，nn*)是an为等比数列的必要而不充分条件，也就是要注意判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.三、预测押题不能少2已知数列an满足：a11，a2a(a0)，an2p(其中p为非零常数，nn*)(1)判断数列是不是等比数列；(2)求an.解：(1)由an2p，得p.令cn，则c1a，cn1pcn.a0，c10，p(非零常数)，数列是等比数列(2)数列cn是首项为a，公比为p的等比数列，cnc1pn1apn1，即apn1.当n2时，ana1(apn2)(apn3)(ap0)1an1p.a1满足上式，anan1p，nn*.等差、等比数列的性质一、基础知识要记牢等差数列等比数列性质(1)若m，n，p，qn*，且mnpq，则amanapaq(2)anam(nm)d(3)sm，s2msm，s3ms2m，仍成等差数列(1)若m，n，p，qn*，且mnpq，则amanapaq(2)anamqnm(3)sm，s2msm，s3ms2m，仍成等比数列(sn0)二、经典例题领悟好例3(1)(2013长春市调研)在正项等比数列an中，已知a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，则n()a11 b12c14 d16(2)(2013辽宁高考)下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题：p1：数列an是递增数列；p2：数列nan是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列an3nd是递增数列其中的真命题为()ap1，p2 bp3，p4cp2，p3 dp1，p4解析(1)设数列an的公比为q，由a1a2a34aq3与a4a5a612aq12可得q93，an1anan1aq3n3324，因此q3n68134q36，所以n14.(2)因为d0，所以an1an，所以p1是真命题因为n1n，但是an的符号不知道，所以p2是假命题同理p3是假命题由an13(n1)dan3nd4d0，所以p4是真命题答案(1)c(2)d(1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解；(2)应牢固掌握等差、等比数列的性质，特别是等差数列中若“mnpq，则amanapaq”这一性质与求和公式sn的综合应用.三、预测押题不能少3(1)设数列an是公差d0，因此s2030，s20s1020，s30s2040，则s40s3070150.数列与函数的交汇数列在中学教材中既有相对独立性，又有较强的综合性，很多数列问题一般转化为特殊数列求解，一些题目常与函数、向量、三角函数、解析几何等知识交汇结合，考查数列的基本运算与应用一、经典例题领悟好例1(2013湖南五市十校联合检测)已知函数f(x)是定义在(0，)上的单调函数，且对任意的正数x，y都有f(xy )f(x)f(y)，若正数列an的前n项和为sn，且满足f(sn2)f(an)f(3)(nn*)，则an为()a2n1 bnc2n1 d.n1解析由题意知f(sn2)f(an)f(3)(nn*)，sn23an，sn123an1(n2)，两式相减得，2an3an1(n2)又n1时，s123a1a12，a11，数列an是首项为1，公比为的等比数列，ann1.答案d本题考查了抽象函数的一些性质，利用其性质把函数问题转化为数列问题，即sn23an，利用关系式判断an为等比数列，问题得以解决.二、预测押题不能少1设数列an满足a12a23，且对任意的nn*，点列pn(n，an)恒满足pnpn1,(1,2)，则数列an的前n项和sn为()an bncn dn解析：选a设pn1(n1，an1)，则pnpn1,(1，an1an)(1,2)，即an1an2，所以数列an是以2为公差的等差数列又因为a12a23，所以a1，所以snn.新定义下数列的创新问题探究“隐藏”函数后的数列问题数列是一类特殊函数，可以利用函数性质定义一些新数列，推断这个新数列的一些性质或者判断一个数列是否属于这类数列的问题是近年来新兴起的一类问题一、经典例题领悟好例2(2012湖北高考)定义在(，0)(0，)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列an，f(an)仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”，现有定义在(，0)(0，)上的如下函数：f(x)x2；f(x)2x；f(x)；f(x)ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为()abc d保等比数列函数指：定义在(，0)(0，)上的函数；an是等比数列，则f(an)仍是等比数列解析法一：设an的公比为q.f(an)a，2q2，f(an)是等比数列排除b、d.f(an)，f(an)是等比数列排除a.法二：不妨令an2n.因为f(x)x2，所以f(an)4n.显然f(2n)是首项为4，公比为4的等比数列因为f(x)2x，所以f(a1)f(2)22，f(a2)f(4)24，f(a3)f(8)28，所以416，所以f(an)不是等比数列因为f(x)，所以f(an)()n.显然f(an)是首项为，公比为的等比数列因为f(x)ln|x|，所以f(an)ln 2nnln 2.显然f(an)是首项为ln 2，公差为ln 2的等差数列答案c本题没有直接指明判断等比数列的有关性质，而是通过新定义将指数函数、对数函数及幂函数、二次函数与数列有机结合，解答本题应迅速脱掉“新定义”的外衣，认清本题的实质是：已知数列an为正项等比数列，判断数列a，2an，及ln|an|是否为等比数列问题二、预测押题不能少2在本例条件下，其中(1)正比例函数，(2)二次函数，(3)幂函数，(4)指数函数是“保等比数列函数”的是_解析：(1)若正比例函数f(x)kx(k0)，则q，故函数f(x)kx(k0)是“保等比数列函数”(2)若二次函数f(x)kx2bxc(k0且b，c不全为0)，则，不是常数，故函数f(x)kx2bxc(k0且b，c不全为0)不是“保等比数列函数”(3)若幂函数f(x)xm(m0)，则mqm，故函数f(x)xm(m0)是“保等比数列函数”(4)若指数函数f(x)mx(m0，且m1)，则man1an，不是常数，故函数f(x)mx(m0，且m1)不是“保等比数列函数”答案：(1)(3)1(2013安徽高考)设sn为等差数列an的前n项和，s84a3，a72，则a9()a6b4 c2 d2解析：选a根据等差数列的定义和性质可得，s84(a3a6)，又s84a3，所以a60.又a72，所以a84，a96.2(2013新课标全国)设首项为1，公比为的等比数列an的前n项和为sn，则()asn2an1 bsn3an2csn43an dsn32an解析：选d由等比数列前n项和公式sn，代入数据可得sn32an.3(2013石家庄市质量检测)已知等差数列an满足a23，snsn351(n3)，sn100，则n的值为()a8 b9c10 d11解析：选c由snsn351得，an2an1an51，所以an117.又a23，sn100，解得n10.4已知函数yanx2(an0，nn*)的图像在x1处的切线斜率为2an11(n2，nn*)，且当n1时其图像过点(2,8)，则a7的值为()a. b7c5 d6解析：选c由题知y2anx，2an2an11(n2，nn*)，anan1.又n1时其图像过点(2,8)，a1228，得a12，an是首项为2，公差为的等差数列，an，得a75.5(2013山东莱芜模拟)已知数列an，bn满足a1b13，an1an3，nn*，若数列cn满足cnban，则c2 013()a92 012 b272 012c92 013 d272 013解析：选d由已知条件知an是首项为3，公差为3的等差数列，数列bn是首项为3，公比为3的等比数列，an3n，bn3n，又cnban33n，c2 013332 013272 013.6(2013福建高考)已知等比数列an的公比为q，记bnam(n1)1am(n1)2am(n1)m，cnam(n1)1am(n1)2am(n1)m(m，nn*)，则以下结论一定正确的是()a数列bn为等差数列，公差为qmb数列bn为等比数列，公比为q2mc数列cn为等比数列，公比为qm2d数列cn为等比数列，公比为qmm解析：选c等比数列an的通项公式ana1qn1，所以cnam(n1)1am(n1)2am(n1)ma1qm(n1)a1qm(n1)1a1qm(n1)m1aqm(n1)m(n1)1m(n1)m1aqaq.因为qm2，所以数列cn为等比数列，公比为qm2.7已知等比数列an的各项均为正数，若a13，前三项的和为21，则a4a5a6_.解析：由已知a4a5a6a1q3a1q4a1q5(a1a1qa1q2)q3(a1a2a3)q3，即a4a5a621q3.由前三项的和为21，且a13解得q2，故a4a5a621q3218168.答案：1688(2013银川模拟)已知数列an满足anan1an2an324，且a11，a22，a33，则a1a2a3a2 013_.解析：由anan1an2an324，可知an1an2an3an424，得an4an，所以数列an是周期为4的数列，再令n1，求得a44，每四个一组可得(a1a2a3a4)(a2 009a2 010a2 011a2 012)a2 0131050315 031.答案：5 0319.(2013荆州质量检查)如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2,3出现在第2行；数字6,5,4(从左至右)出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行，依次类推，则(1)按网络运作顺序第n行第1个数字(如第2行第1个数字为2，第3行第1个数字为4，)是_；(2)第63行从左至右的第4个数字应是_解析：设第n行的第1个数字构成数列an，则an1ann，且a11，an.而偶数行的顺序从左到右，奇数行的顺序从右到左，第63行的第1个数字为1 954，从左至右的第4个数字是从右至左的第60个数字，从而所求数字为1 954592 013.答案：2 01310(2013全国新课标)已知等差数列an的公差不为零，a125，且a1，a11，a13成等比数列(1)求an的通项公式；(2)求a1a4a7a3n2.解：(1)设an的公差为d.由题意，aa1a13，即(a110d)2a1(a112d)，于是d(2a125d)0.又a125，所以d0(舍去)，或d2.故an2n27.(2)令sna1a4a7a3n2.由(1)知a3n26n31，故a3n2是首项为25，公差为6的等差数列从而sn(a1a3n2)(6n56)3n228n.11已知数列an的前n项和为sn，且sn4an3(nn*)(1)证明：数列an是等比数列；(2)若数列bn满足bn1anbn(nn*)，且b12，求数列bn的通项公式解：(1)证明：由sn4an3可知，当n1时，a14a13，解得a11.因为sn4a