高考数学一轮复习 三角恒等变换与解三角形专题训练(1).doc

三角恒等变换与解三角形一、基础知识要记牢三角恒等变换主要形式是三角函数式的求值包括：(1)“给角求值”，即通过三角恒等变换求三角函数式的值；(2)“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值；(3)“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角二、经典例题领悟好例1(2013广东高考)已知函数f(x)cos，xr.(1)求f的值；(2)若cos ，求f.解(1)因为f(x)cos，所以fcoscoscos1.(2)因为，cos ，所以sin ，cos 22cos21221，sin 22sin cos 2.所以fcoscoscos 2sin 2.三角函数恒等变换“六策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1sin2cos2tan 45等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin22cos2(sin2cos2)cos2，()等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦；(5)公式的变形应用：如sin cos tan ，tan tan tan()(1tan tan )等；(6)角的合成及三角函数名的统一：运用辅助角公式合成角及统一三角函数名称三、预测押题不能少1.函数f(x)6cos2sin x3(0)在一个周期内的图像如图所示，a为图像的最高点，b，c为图像与x轴的交点，且abc为正三角形(1)求的值及函数f(x)的值域；(2)若f(x0)，且x0， 求f(x01)的值解：(1)由已知可得f(x)3cos xsin x2sin.所以函数f(x)的值域为2，2又由于正三角形abc的高为2，则bc4，所以函数f(x)的周期t428，即8，解得.(2)因为f(x0)，由(1)得f(x0)2sin，即sin.由x0得.所以cos ，故f(x01)2sin2sin22.正(余)弦定理一、基础知识要记牢(1)正弦定理：在abc中，2r(r为abc的外接圆半径)变形：a2rsin a，sin a，abcsin asin bsin c等(2)余弦定理：在abc中，a2b2c22bccos a；变形：b2c2a22bccos a，cos a.二、经典例题领悟好例2(2013全国新课标)如图，在abc中，abc90，ab，bc1，p为abc内一点，bpc90.(1)若pb，求pa；(2)若apb150，求tanpba.解(1)由已知得，pbc60，所以pba30.在pba中，由余弦定理得pa232cos30.故pa.(2)设pba，由已知得pbsin .在pba中，由正弦定理得，化简得cos 4sin .所以tan ，即tanpba.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.三、预测押题不能少2已知a，b，c分别为abc三个内角a，b，c的对边，2bcos c2ac.(1)求b；(2)若abc的面积为，求b的取值范围解：(1)由正弦定理得2sin bcos c2sin asin c.在abc中，sin asin(bc)sin bcos csin ccos b，sin c(2cos b1)0.又0c0，cos b，注意到0b，b.(2)sabcacsin b，ac4，由余弦定理得b2a2c22accos ba2c2acac4，当且仅当ac2时，等号成立，b的取值范围为2，)解三角形问题是高考命题的重点内容之一，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与三角函数、不等式、平面向量、数列、导数、立体几何和解析几何等知识交汇，成为高考考查的重点和热点三角函数与解三角形的交汇一、经典例题领悟好例1(2013辽宁省五校模拟)设函数f(x)cos2cos2x.(1)求f(x)的最大值，并写出使f(x)取最大值时x的集合；(2)已知abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，若f(bc)，bc2，求a的最小值解(1)f(x)cos2cos2xcos1，f(x)的最大值为2.f(x)取最大值时，cos1,2x2k(kz)，故x的集合为.(2)由f(bc)cos1，可得cos，由a(0，)，可得a.在abc中，由余弦定理，得a2b2c22bccos(bc)23bc，由bc2知bc21，当bc1时bc取最大值，此时a取最小值1.本题考查了三角恒等变换、三角函数的性质，解三角形和基本不等式等问题.已知f(bc)的值，从而把三角形的问题与解三角形问题结合，而求解本题的关键：一是正确化简出f(x)cos1；二是利用余弦定理列出a2(bc)23bc，利用基本不等式求出bc1.二、预测押题不能少1在abc中，内角a，b，c所对的边长分别为a，b，c，8，bac，a4.(1)求bc的最大值及的取值范围；(2)求函数f()sin 2cos 21的最大值和最小值解：(1)由已知得bccos 8，b2c22bccos 42，故b2c232.又b2c22bc，所以bc16(当且仅当bc4时等号成立)，即bc的最大值为16.即16，所以cos .又0，所以0，即的取值范围是.(2)f()sin 2cos 212sin1.因为0，所以2，sin1.当2，即时，f()min212；当2，即时，f()max2113.解三角形与平面几何一、经典例题领悟好例2如图，游客从某旅游景区的景点a处下山至c处有两种路径一种是从a沿直线步行到c，另一种是先从a沿索道乘缆车到b，然后从b沿直线步行到c.现有甲、乙两位游客从a处下山，甲沿ac匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙开始从a乘缆车，在b处停留1 min后，再从b匀速步行到c.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路ac长为1 260 m经测量，cos a，cos c.(1)求索道ab的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在c处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？(1)cos a、cos c的值sin b的值ab的长(2)用t表示乙出发的时间距离d关于时间t的函数 t的值(3)正弦定理bc的长计算乙从b出发时甲走的距离列出关于v的不等关系求出v的范围(1)在abc中，因为cos a，cos c，所以sin a，sin c.从而sin bsin(ac)sin(ac)sin acos ccos asin c.由正弦定理，得absin c1 040(m)所以索道ab的长为1 040 m.(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离a处130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50)，因0t，即0t8，故当t(min)时，甲、乙两游客距离最短(3)由正弦定理，得bcsin a500(m)乙从b出发时，甲已走了50(281)550(m)，还需走710 m才能到达c.设乙步行的速度为v m/min，由题意得33，解得v，所以为使两位游客在c处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在 (单位：m/min)范围内(1)本题属于三角函数建模问题，其求解的关键是运用所学的解三角形的知识和方法对该问题进行分析，然后检验所得的解，并写出实际问题的结论便可.(2)三角形问题求解中函数建模思想的常见类型：利用余弦定理转化为长度关于某一未知数的函数.由面积公式转化为面积s关于角的三角函数的函数.由正弦定理转化为边的长度关于某一三角形内角的函数.二、预测押题不能少2.如图所示，角的始边oa落在x轴的非负半轴上，其始边、终边分别与单位圆交于点a，c，aob为正三角形(1)若点c的坐标为，求cos boc；(2)记f()|bc|2，求函数f()的解析式和值域解：(1)因为点c的坐标为，根据三角函数的定义，得sin coa，cos coa.因为aob为正三角形，所以aob60.所以cos boccos(coa60)cos coacos 60sin coasin 60.(2)因为aoc，所以boc.在boc中，|ob|oc|1，由余弦定理，可得f()|bc|2|oc|2|ob|22|oc|ob|cos cob1212211cos22cos.因为0，所以.所以cos.所以122cos2.所以函数f()的值域为(1,2)1(2013全国新课标)已知sin 2，则cos2()a.b.c. d.解析：选a法一：cos2(1sin 2).法二：coscos sin ，所以cos2(cos sin )2(12sin cos )(1sin 2).2(2013山东济宁质检)在abc中，若0tan atan b1，那么abc一定是()a锐角三角形 b钝角三角形c直角三角形 d形状不确定解析：选b由0tan atan b0，tan b0，即a，b为锐角tan(ab)0，即tan(c)tan c0，所以tan cb，则b()a. b.c. d.解析：选a边换角后约去sin b，得sin(ac)，所以sin b，但b非最大角，所以b.4(2013湖南省五市十校联合检测)在斜三角形abc中，sin acos bcos c，且tan btan c1，则角a的值为()a. b.c. d.解析：选a由题意知，sin acos bcos csin(bc)sin bcos ccos bsin c，在等式cos bcos csin bcos ccos bsin c两边除以cos bcos c得tan btan c，tan(bc)1tan a，所以角a.5在abc中，a，b，c分别是a，b，c的对边，已知b2c(b2c)，若a，cos a，则abc的面积等于()a. b.c. d3解析：选cb2c(b2c)，b2bc2c20，即(bc)(b2c)0，b2c.又a，cos a，解得c2，b4.sabcbcsin a42 .6(2013山东潍坊模拟)已知向量a，b(4,4cos )，若ab，则sin等于()a bc. d.解析：选b由ab得ab0，即4sin4cos 0，2sin 6cos .sin，sinsin.7若点p(cos ，sin )在直线y2x上，则tan_.解析：由题意得tan 2，所以tan.答案：8(2013安徽高考)设abc的内角a，b，c所对边的长分别为a，b，c.若bc2a，3sin a5sin b，则角c_.解析：由3sin a5sin b可得3a5b，又bc2a，所以可令a5t(t0)，则b3t，c7t，可得cos c，故c.答案：9(2013昆明质检)已知abc中，bc1，ab，ac，点p是abc的外接圆上一个动点，则的最大值是_解析：由余弦定理得cos a，则sin a，结合正弦定理可得abc的外接圆直径2r3.如图，建立平面直角坐标系，设b，c，p，则，(1,0)，所以cos ，易知的最大值是2.答案：210已知函数f(x)2sin xcos xcos 2x(xr)(1)当x取什么值时，函数f(x)取得最大值，并求其最大值；(2)若为锐角，且f，求tan 的值解：(1)f(x)2sin xcos xcos 2xsin 2xcos 2xsin.当2x2k(kz)，即xk(kz)时，函数f(x)取得最大值，其最大值为.(2)f，sin，cos 2.为锐角，即0，02，sin 2，tan 22，2，tan2tan 0，(tan 1)(tan )0，tan 或tan (不合题意，舍去)，tan .11(2013昆明市调研)在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，若acos2ccos2b.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若b60，b4，求abc的面积解：(1)证明：acos2ccos2acb，即a(1cos c)c(1cos a)3b.由正弦定理得：sin asin acos csin ccos asin c3sin b，即sin asin csin(ac)3sin b，sin asin c2sin b.由正弦定理得，ac2b，故a，b，c成等差数列(2)由b60，b4及余弦定理得：42a2c22accos 60，(ac)23ac16，又由(1)知ac2b，代入上式得4b23ac16，解得ac16，abc的面积sacsin bacsin 604.12(2013福建高考)如图，在等腰直角opq中，poq90，o