第1讲 质点运动的描述.doc

力学基础篇牛顿(经典)力学概述力学研究物体机械运动的规律。宏观物体间(物体内部各个部分间)相对位置的改变就是机械运动。力学可分为运动学、动力学和静力学。运动学从几何的观点描述物体的运动，研究物体的空间位置随着时间的变化关系，不涉及引起物体运动或者改变物体运动状态的原因。动力学主要研究作用于物体的力与物体运动的关系。动力学的研究对象是运动速度远小于光速的宏观物体。动力学是物理学和天文学的基础，也是许多工程学科的基础。动力学的研究以牛顿运动定律为基础；牛顿运动定律的建立则以实验为依据。动力学是牛顿力学或经典力学的一部分，但自20世纪以来，动力学又常被人们理解为侧重于工程技术应用方面的一个力学分支。静力学主要研究物体在力的作用下处于平衡的规律，研究如何建立各种力系的平衡条件。阿基米德是使静力学成为一门真正科学的奠基者。他在关于平面图形的平衡和重心的著作中，创立了杠杆理论，并且奠定了静力学的主要原理。静力学的基本物理量有三个：力、力偶、力矩。静力学的研究方法主要有两种：一种是几何的方法，称为几何静力学或初等静力学；另一种是分析方法，称为分析静力学。静力学在工程技术中有着广泛的应用。例如，对房屋、桥梁的受力分析，有效载荷的分析计算等。本课程主要介绍运动学和动力学方面的知识，至于静力学问题，这里不作介绍，学生在学习具体的工程课程时将对此类问题进行深入的研究，如桥梁的受力分析、有效载荷的分析计算等。更多关于力学的介绍参阅：/牛顿力学的基本知识系统见下图：质 点 组质 点牛顿第一定律：惯性参考系牛顿第二定律：力的瞬时效应 Fma力的时间积累效应dIFdtdppmv力的空间积累效应dAFdrdEkEk1/2mv2力的转动效应Lrp牛顿第一定律：Fij+Fji=0，riFijrjFji0力的时间积累效应F外dtdpF外maC质心：pmvC质心参考系中：p0保守力势能AABEpEpAEpBEkEkCEk,intEkC 1/2mvC2EEkCEp力的转动效应LLi刚体定轴转动：MJdL/dtM外0角动量守恒普遍的角动量守恒空间各项同性A外A内非保E保守系统在质心系中：A外E内A外A内非保0机械能守恒普遍的能量守恒时间均匀性普遍的动量守恒空间均匀性F外0动量守恒Corbel字体中，符号 为一直撇：， 符号为反直撇，即：第一章 运动的描述第一节 参照物 坐标系和物理模型为了描述物体的运动，必须做好3点准备：选择参照物，建立坐标系和建立物体的物理模型。1 参照系1.1 参照物物体的机械运动是指它的位置随着时间的变化。物体的位置总是相对的，即任何物体的位置总是相对于其它物体来确定的。这里所说的其它物体就是确定此物体位置所使用的参照物。经验告诉我们，对于同一个物体，当选择不同的参照物时，其运动会表现出不同的形式。比如，在运动的汽车上，使手中的物体自由地落下。当以汽车为参照物时，物体是竖直落下的；如果选择地面为参照物，则此物体在做平抛运动。因而物体的运动形式是与参照物的选择有关的，参照物不同，则物体的运动形式往往不同，这就是物体运动的相对性。因此，要描述一个物体的运动，就必须首先指明所用的参照物。确定了参照物后，就可以定性地描述物体的运动。参照物的选择是任意的。1.2 坐标系要定量地描述物体的运动，除了要选择适当的参照物，还要在此参照物上建立一个固定的坐标系。有了坐标系后就能够确切地描述物体的位置和运动。最常用的坐标系是笛卡尔直角坐标系。建立这种坐标系，需要首先在参照物上选择某一个固定点O作为原点，然后由此点开始在3个相互垂直的方向上引出3条固定在参照物上的直线作为坐标轴，一般分别将其标为x，y，z轴。在这个坐标系中，一个物体P的位置就用三个坐标值(x1，y1，z1)表示。OzxyP(x1,y1,z1)其它常用坐标系还有球坐标系(r,q, j )，柱坐标系(r, j,z )。 P(r, q，j)zOjrxyq zjR参考方向球坐标系 柱坐标系1.3 参照系当物体运动时，物体的位置将随着时间不断地发生变化。要描述物体的运动，就必须指明物体在各个位置的时刻t。因而，可以考虑在物体运动的各个位置安装一些同步的时钟，用以获取物体在此位置时的时刻t。这样物体的位置随着时间的变化，即物体的运动就能够完全确定地描述出来了。OyzxP(x1,y1,z1)P(x2,y2,z2)P(x3,y3,z3).固定在参照物上的坐标系连同这些同步的时钟就构成一个参照系。参照系一般以其所在的参照物命名，如地面参照系(坐标轴固定在地面上)、地心参照系、太阳参照系等。后二者一般都是以恒星为基准，坐标轴指向空间中的某些固定方向。2 物理模型2.1 什么是物理模型？真实的物理运动过程总是很复杂的。为了找出物体运动过程的最基本、最本质的运动规律，可以根据问题研究的需要，舍弃一些与所研究问题无关紧要的因素，对研究对象进行理想化的简化处理，从而得到可以使用数学描述的模型，这种模型就是物理模型。常用的物理模型有质点、刚体、理想气体(流体)、谐振子以及理想弹性介质等。2.2 质点质点是一种物理模型。当一个物体的大小(线度)、形状对所研究的问题可以忽略时，我们可将此物体简化为一个有质量的点，此模型即所谓的质点。如，研究一个物体在水平面上的平动。由于物体是平动的，不管物体有多大，物体上各个点的运动状况是相同的，因此可以忽略物体的大小，而将其视为质点来处理。又如绕着太阳公转的地球，由于地球到太阳的距离远远大于地球本身的大小，因而对于公转这一问题的研究，就可将地球视为一个质点。3 本节小结参照物的作用是定性描述物体的运动(确定物体的运动性质)；坐标系的作用是用于定量描述物体的运动；物理模型的作用是去除不相干因素，研究最基本和最本质的运动规律。第二节 描述质点运动的四个物理量：位置、位移、速度和加速度本节研究如何描述物体的运动。具体的讲述形式为：对于每个物理量总是先给出其矢量表示形式，然后给出其在直角坐标系中的表示形式。学习本课程需要有极限的概念，并建立物理元量的概念，如元位移dr，元速度dv等。所谓元量就是量值很小的量，小的程度可以任意想象。1 位置1.1 位置的表示方法选定了参照物，建立了坐标系后就可以描述物体的位置了。在直角坐标系中物体的位置P用3个坐标值(x，y，z)来表示。也可以用从O点向P点引出的矢量OPr来表示，r的大小表示物体离开原点的距离，r的方向表示物体与各个坐标轴的方位。矢量r称为位置矢量，简称位矢(或径矢)。这样坐标值x，y，z就是矢量r在三个坐标轴上的分量。三个坐标轴上的单位矢量分别为i，j，k，则位置矢量r可表示为：rxiyjzk其大小其方向由下列方向余弦确定：由于物体的位置是随时间变化的，因而表示物体位置的3个坐标值是时间的函数，即x=x(t), y=y(t), z=z(t) (1.1)同样位矢r也是时间的函数，即：rr(t)x(t)iy(t)jz(t)k (1.2)这些的函数也称为物体的运动函数，或称为运动方程。式(1.1)称为物体运动函数的分量(标量)表示形式。式(1.2)称为物体运动函数的矢量表示形式。知道了物体的运动方程就可以求取物体在任意时刻的位置。力学的一个重要任务就是根据具体的问题及条件求取物体的运动方程。OzxyPr图 1.11.2 运动轨道及轨道方程物体总是沿着一定的路径运动的，这个路径称为物体的运动轨迹(轨道)。如果物体的运动轨道是直线，则成物体做直线运动，若是曲线，则称曲线运动。物体运动的轨道可以用一个数学函数表示，称为轨道方程。物体运动的轨道方程可以通过运动方程求出。在式(1.1)中将时间变量t消去后就得到物体运动的轨道方程。如已知某质点的运动方程为： (1.3)消去时间t后得到轨道方程为：x2+y2=9, z=0 (1.4)由此轨道方程知物体的运动路径为半径为3的圆周，且位于z0的平面上。在后面的学习中我们会讲到，这种运动称为圆周运动。由(1.3)和(1.4)可以看到，物体运动的轨迹方程并不是时间的显函数。这正是运动方程与轨道方程的重要区别。2 位移2.1 位移的定义如图1.2所示，物体沿着某一轨道运动，t1时刻物体的位矢为r1，t2时刻物体的位矢为r2，那么在t时间内，物体的位置增量为rr2r1 (1.5)这个增量称为质点的位移，位移描述了物体位置改变的大小和方向。其大小表示为|r |。 2.2 在直角坐标系中的表示根据(1.2)和(1.5)式，可以很容易在直角坐标系中将位移表示出来：位移的大小为注意：1) 位移是一个矢量，对应于图1.2中的从A点指向B点的矢量。因而位移满足矢量代数中的平行四边形法则(三角形法则)。2) 位移的大小只能表示成|r |，而不能写成r。这是由于r|r2|r1|，如图1.3所示。一般情况下，|r |r。即使是时间t趋于0，即t0，|dr|dr。3) 要把位移和路程区分开。位移r是矢量，表示物体位置的改变，而路程(用s)则是标量，是物体经过的轨道的长度。位移对应与图1.2中的有向线段AB，大小|r |对应于割线AB的长度；路程对应与图1.2中的曲线AB的长度。时间t趋于0时，即t0时，|r |s ( |dr|ds )。除此以外，位移的大小一般不等于路程的大小，即|r |s。3 速度与速率3.1 平均速度与瞬时速度位移描述了物体位置的变化量，本节研究物体位置变化的快慢程度。如图1.2所示，物体在t到tt时间内的位移为r，那么位移r与时间t的比值就称为物体在t时间内的平均速度，即由此看到平均速度也是一个矢量，其方向与位移的方向相同，其大小则是在t时间内每单位时间物体发生的位移大小。平均速度告诉我们在t时间内物体运动的快慢程度，但并不能清楚地告诉我们在某一时刻物体运动的快慢，因而它仅能粗糙地描述物体运动的快慢程度。要描述物体在某一时刻的运动快慢，需要引入一个新的物理量即时(瞬时)速度(简称速度)。物体在某一时刻t的瞬时速度指，在时刻t附近当t趋近于0时物体平均速度的极限值，即： (1.6)即，瞬时速度是物体位移对时间的一阶导数。速度是矢量，其方向与t趋近于0时物体的位移的极限方向一致，沿着物体所在处轨道的切线方向，且指向物体前进的一方。3.2 平均速率与瞬时速率描述物体运动的快慢时，还时常使用速率这一概念。速率是物体单位时间内所行经的路程，是一个标量。在图1.2中t时间内物体经过的路程是s，因而t时间内的平均速率为：平均速率与平均速度是两个不同的概念。其区别在于，前者是标量，后者是矢量；当物体的位移为0时，物体的平均速度必定为0，但是物体的平均速率则不一定为0。在图1.2中，当t0时，物体运动的路径长度ds|dr |，于是可定义瞬时速率为：由此看到，瞬时速率就是瞬时速度的模(大小)。3.3 速度在直角坐标系中的表示在直角坐标系中，瞬时速度可写成：其中，是速度分别在x，y，z轴上的分量。因而速度的模可写成4 加速度4.1 平均加速度与瞬时加速度上面介绍的位置和速度描述了物体的运动状态，只要知道了物体运动的位置和速度，那么物体的运动状态就确定了。因此，位置和速度就称为描述物体运动状态的物理量。速度反映了物体位置变化的快慢。一般说来物体运动的速度也是会发生变化的，速度的变化可能是运动方向的变化，也可能是速度大小的变化，或者方向和大小同时发生变化。要描述物体运动速度的变化，需要另外的一个物理量加速度。加速度是反映物体速度变化快慢程度(变化率)的物理量。如图1.4所示，t时刻，物体在A点的速度是vA，经过t时间后物体运动到B点，此时的速度为vB。根据图中的矢量图，t时间内物体速度的变化量为vvBvA 由此得到物体在t时间内的平均加速度那么物体在t时刻的瞬时加速度(简称为加速度)可定义为，当t0时，物体平均加速度的极限值，写成数学表达式为 (1.7)由此看到，加速度是速度对时间的一阶导数，或者位置矢量对时间的二阶导数。4.2 加速度在直角坐标系中的表示由1.2式和1.7式可得到加速度在直角坐标系中的表示形式：其中，是加速度在各个坐标轴上的分量。加速度的大小为加速度的方向为t0时，平均加速度或者速度增量的极限方向。5 描述质点运动的状态参量的特性状态参量包括：位置矢量，速度矢量 （1）矢量性。注意矢量和标量的区别。（2）瞬时性。注意瞬时量和过程量的区别 （3）相对性。对不同参照系有不同的描述。6 物理量的单位今后的学习中，如果没有特别指明物理量的单位，那么所遇到的物理量的单位都使用国际单位(SI)。下面列出本节所介绍的物理量的单位：位置：米(m)位移、路程：米(m)速度、速率、平均速度、平均速率：米/秒(m/s，ms-1)加速度、平均加速度：米/秒2(m/s2，m.s-2)7 本节小结本节介绍了描述物体运动的一些物理量：位置、位移、路程、速度、速率、平均速度、平均速率、加速度、平均加速度等，并同时给出了这些量的矢量表示形式和在直角坐标系中的表示形式。速度是表示物体位置变化快慢的物理量，加速度则是反映物体速度变化快慢的物理量，物体速度的变化包括速度方向的变化和速度大小的变化，任何一方面的变化都将引起物体速度的变化，因而产生加速度。位置和速度是描述物体状态的两个物理量。本节还介绍了运动方程和轨道方程的概念。轨道方程是物体经过的路径的数学表示形式，不是时间的显函数；运动方程则反映了物体的位置随着时间的变化关系，是时间的显函数。根据特定的问题求物体的运动方程是力学的一类重要问题。学习本节要注意区别下列概念：l 作为位移r，其大小只能写成|r |，而不能写成r，二者的含义不同。l 位移和路程：位移是矢量，是位置的变化量，路程是标量，是物体经过的轨迹的长度；一般情况下，物体的位移和路程不会相等。但当时间t0时，|dr|ds。l 速度、速率、平均速度、平均速率：速率与平均速率是标量，速度与平均速度是矢量。平均速率是物体经过的路程与所用时间的比值。平均速度则是物体发生的位移与发生此位移所用时间的比值。速率是速度的大小。例题 1 已知质点的运动方程为：，式中R，w为常量。求： (1)质点的轨道方程； (2) t10，t2/w时刻质点的位置矢量以及t2t1时间内的位移。解：(1)由题意知，消去时间t得到轨道方程：x2+y2=R2因此，物体的运动轨道为半径为R的圆周，即物体作圆周运动。(2)t10时，位于x轴上距原点R处；t2/w时，位于x轴上距离原点R处；位移rr2r12Ri负号说明，位移沿着x轴负方向。例题 2 如图1.5所示，一人用绳子通过定滑轮拉着小车前进，小车位于高出绳端h的平台上，设人的速率v0不变。求当人离开滑轮的水平距离为s时小车的速度和加速度的大小。解：(1) 选择参照物。人和小车都是相对于平台在运动，且人相对于平台的速率已知，为v0，所用选择平台作为参照物。(2) 建立坐标系。以滑轮所在点O为原点，以人运动的方向为正方向，建立直角坐标系，则人的位置为s。设小车的位置为x。(3) 求解小车的速度大小由于绳子跨过定滑轮，因而绳子的长度不会发生改变。所以小车位置的变化率就等于绳子长度的变化率。即 (1.8)又 (1.9)根据图1.5有将此式两边对时间t求导，得到 (1.10)由(1.8)(1.10)式得到(4)求小车加速度的大小小车的加速度：人的加速度： (人的速率v0不变)由于，两端对时间求二阶导数得：而