自动控制第四章.doc

第四章 根轨迹分析法根轨迹分析法：研究s平面上根的位置随参数变化的规律及其与系统性能的关系是根轨迹分析法的主要内容。一种适合于高阶系统分析的方法。第一节 根轨迹的基本概念_Krs(s+2)C(s)R(s)一、根轨迹设系统的结构如图：闭环传递函数： 闭环特征方程式为 改变Kr的值，求得相应的闭环特征根值，并列表如下。在s平面上绘制出闭环根随Kr值变化的轨迹如图所示：KrS1S200-21-1-12-1+j-1-j-1+j-1-jj0-1-2S1S2KrKr=1Kr可得出以下几点：（1）位于左半平面上的特征根对应着稳定极点；位于右半平面上的根对应着不稳定极点；位于虚轴上的根对应着临界极点。（2）0Kr1时，系统有两个不相等的实数根，呈过阻尼状态。（3）当Kr=1时，特征根为两个相等的实数根，系统呈临界阻尼状态 。（4）1Kr时，特征根为两个复数根，系统呈欠阻尼状态。_C(s)R(s)H(s)G(s)二、根轨迹方程设系统的结构如图，系统的闭环传递函数为 开环传递函数的一般表达式为 闭环特征方程式为 定义根轨迹方程为： 幅值方程： 或 相角方程： 第二节 根轨迹的基本特征及作图方法j0s1s2s3s4s5s6s7一、根轨迹的对称性和分支数1根轨迹对称于实轴闭环特征根形成的根轨迹对称于实轴。2n阶系统有n条根轨迹当变化时，n个根也就形成n条根轨迹。二、根轨迹的起点和终点 即 n条根轨迹起始于开环传递函数的n个极点。 m条根轨迹终止于开环传递函数的零点。 n-m条根轨迹终止于无穷远处1-1-1-20p1jp2p3z1z2例 已知系统的开环传递函数为 ，试确定系统的根轨迹图。解 系统的开环零、极点： ， 根轨迹如图所示。021p1jp2p3z1z2p41234s1三、实轴上的根轨迹段设系统的开环零、极点分布如图所示：其中， ， =符合根轨迹相角方程，故是根轨迹上的点。 当区段右侧的开环零、极点数目之和为奇数时该区段是根轨迹段。j0-1/T-1/p1p2z1例 已知系统的开环传递函数为 ，试画出该系统的根轨迹图。解 1） 开环零、极点分布如图所示。0p1p2z1-1/T-1/j 2），开环零、极点分布如图所示。四、根轨迹的渐近线渐近线与实轴的夹角： 渐近线与实轴的交点： 例 已知系统的开环传递函数为 ，试绘制系统的根轨迹图。 解 1）开环零、极点为 ， 2）实轴上的根轨迹段 段和段0Kr=622-1-2p1p3600p2j 3）根轨迹的渐近线 = 五、根轨迹的分离点和会合点 根轨迹离开实轴进入复平面的点称为分离点根轨迹离开复平面进入实轴的点称为会合点 设系统 重根必须同时满足以下两式 整理后 例 已知系统开环传递函数，绘制系统的根轨迹图。 解 1）开环零、极点为 ， 0-1-2-3p1p2z1-1.6-4.4j 2）实轴上的根轨迹段为 段和段 3）根轨迹的渐近线 = 4）分离点和会合点 解方程得 为根轨迹的分离点，为根轨迹的会合点。例 求例4-3中根轨迹的分离点 解 可解得 位于根轨迹上，所以是根轨迹的分离点。而没有位于根轨迹上，所以应该舍去。六、根轨迹的出射角和入射角0p3p4p1p2z121s1j134 出射角：根轨迹在复数起点处的切线与正实轴的夹角。 设系统的开环零、极点分布如图所示： 的出射角为，为根轨迹上的一点，则应满足相角方程 当时， 由此可推得出射角的一般表达式 入射角：根轨迹在复数终点处的切线与正实轴的夹角。 同理，可求得入射角的一般表达式为 例 已知系统的开环传递函数为,试绘制系统的根轨迹图。 解 1）开环零、极点为 ， ， 0-2z1-1.5z2z3p4p3p2p1-2.53756.510879195990j 2）实轴上的根轨迹段 和段 3）根轨迹的渐近线 = 4）根轨迹的出射角 0-1-2-2.5p1p2p3p4z1z2z3153199149.51219063.5117j 5）根轨迹的入射角 0-1-1-1.5-3p1p2z1p3p479149.5z2z3j6）根轨迹曲线如图所示。 七、根轨迹与虚轴的交点设与虚轴相交的闭环极点为 ，代入闭环特征方程 解方程即可求得。例 已知系统的开环传递函数为 ，绘制系统的根轨迹图。解 1）开环零、极点为 ， 20-1-2p1z1p2p3p49026.61.6135-26.6Kr=7j 2）实轴上的根轨迹段 和段 3）根轨迹的渐近线 ， = 4）根轨迹的出射角 = 5）根轨迹与虚轴的交点 八、开环极点与闭环极点的关系 设阶系统闭环特征方程可表示为 如果满足条件 ，即有 例 已知系统的开环传递函数为，绘制系统的根轨迹图。解 1）开环零、极点为 ， 44.470-2p1p2p3-3.39063.4Ky=160153.4j 2）实轴上的根轨迹段 段 3）根轨迹的渐近线 = 4）根轨迹的出射角 = 5）根轨迹与虚轴的交点 6）根轨迹的分离点和会合点 ， 为根轨迹的分离点，不在根轨迹上所以舍去。例 已知系统的开环传递函数为 ，绘制系统的根轨迹图。 解 1）开环零极点为 ，0-2-4p1p2p3p4j2）实轴上的根轨迹段 段 3）根轨迹的渐近线 = 4）根轨迹的出射角 5）根轨迹与虚轴的交点 6）根轨迹的分离点和会合点 解得 在根轨迹段上，为根轨迹的分离点。在复平面上，必须判断它是不是根轨迹上的点，然后再行取舍。点的相角为 点为根轨迹上的点。和都是根轨迹的分离点。系统的根轨迹如图。 第三节 用根轨迹法分析系统性能根轨迹反映了闭环特征根随参量变化的规律，而闭环特征根与系统性能关系密切，通过根轨迹来分析系统性能，具有直观、方便的特点。一、闭环极点的位置与系统性能的关系 阶系统单位阶跃响应的一般表达式为 由拉氏反变换得系统的输出响应 由时域分析法知：（1）闭环极点在左、右平面的分布反映了系统的稳定性。（2）负实数极点离虚轴越远，对应分量衰减得越快，系统的调节时间就越短，响应越快。（3）复数极点的参数与系统阶跃响应及性能指标的关系为 闭环极点的实部：反映了系统的调整时间；虚部：表征了系统的振荡频率；与负实轴的夹角：反映了系统的超调量；当系统具有多个闭环极点时，可借助于主导极点的概念，将系统简化成低阶系统来处理。例 已知三阶系统的闭环传递函数，试估算系统的性能指标。 解 闭环有三个极点 ， 为主导极点，另外两个极点离虚轴的距离是的四倍，因而可以忽略不计。闭环传递函数简化为一阶系统 系统没有超调，。二、已知根轨迹增益Kr，确定闭环极点00.56-0.56-1-2-2.3s1s2s3p1p2p3j例 已知系统的开环传递函数为 ，试确定时系统的闭环极点。解 系统的根轨迹图如图所示。 取，取， 取， 有 可求得另两个极点 。故系统的闭环传递函数为 三、已知系统的性能指标，确定闭环极点和Kr有时也需要根据对系统的性能指标要求，确定闭环极点的位置和对应的值，使得系统的性能满足要求。例 已知系统的开环传递函数为，0.580-1-2-2.3ss3p1p2p3j根据性能指标要求，试确定满足条件的闭环极点和对应的。解 系统的根轨迹图如图所示。 因为，所以 故系统的闭环传递函数为 四、增加开环零、极点对系统性能的影响增加开环零、极点必将改变根轨迹的形状和走向，即改变系统的性能。1. 增加开环零点（1）设二阶系统的开环传递函数为 j增加零点后的传递函数为 0-1-2z1p2p1s2js1p2p10-1增加开环零点：选择合适的值，既可使闭环极点离虚轴有一定的距离，以保证系统快速性；又可使角较小（较大），以降低超调量。0-0.5p1z1p2-1j设增加零点后的传递函数为 不管怎么选择值，闭环极点总为两个实数极点。（2）设三阶系统的开环传递函数为 增加零点后 -5-1.7p3p1p20-5-2p1p2p3z1-5jjjp1P2P3 通过以上的分析可知：选择增加合适的开环零点，将使根轨迹向左弯曲或移动，可改善系统的稳定性和快速性。但零点选择不合适，则达不到改善系统性能的目的。例 已知系统的开环传递函数为 ，要使系统满足，的要求，试确定开环零点的位置。 00.4+j0.7-1-4600s1p1p2p3j解（1）绘制出系统的根轨迹如图所示。实轴上的根轨迹段 ，段 = 根轨迹的分离点： 根轨迹与虚轴的交点处： ，（2）验证系统是否满足性能指标的要求作的射线，它与根轨迹相交处的闭环极点为主导极点 ，可加入开环零点来改善系统的性能。p1p2p3z1-4-2-1-1+j1.73j（3）确定开环零点的位置 根据，得 1） 选择零点分离点： 。 渐近线： ， -1-4p1p2p3z1j主导极点对应系统的调节时间 ，正好满足要求。2) 若将开环零点配置在右边两个极点之间，系统的根轨迹如图所示。由于闭环实数0-4-7-1p1p2p3z1j极点靠近虚轴，故系统响应速度较低。一般，不希望随动系统出现这种情况。3) 若将开环零点配置在左边的极点与-之间，系统的根轨迹如图所示。可见，系统的性能没有大的改善。2增加开环极点设二阶系统的开环传递函数为 增加极点后的传递函数分别为 p1-1p2-3-6p3z1(b) jp1-1p2-3z1j 对应的