一元非线性方程的数值解法.doc

实习题目：一元非线性方程的数值解法【实习目的】1 通过实习进一步掌握牛顿迭代法和弦截法的基本思想；2 通过实习进一步掌握牛顿迭代法和弦截法的计算步骤，并能灵活应用；3 通过上机调试运行，对方程求根的牛顿迭代法和弦截法程序进行改进，逐步培养解决实际问题的编程能力；【实习要求】 1 熟悉Turbo C 的编译环境；2 实习前复习牛顿迭代法和弦截法的基本思想和过程；3 实习前复习牛顿迭代法和弦截法的计算步骤。【实习设备】1 硬件设备：单机或网络环境下的微型计算机一台； 2 软件设备：DOS3.3以上操作系统，Turbo C 2.0编译器。【实习内容】1）实习一 牛顿迭代法（1）用牛顿迭代法求方程在x=2.0附近的一个实根，精度要求为。要求设置一个最大迭代次数N , 如果迭代次数超过预先设定的最大次数N , 但仍然达不到精度要求时，则认为方法失败，并给出失败信息。 成功的情况下，要求输出的格式为如下形式: i=1 x1=2.000 000 失败的情况下，要求输出的格式为如下形式：After % d repeate , no solved程序为：# include# include# define N 10# define k 0.000001double f(double x)return exp(x)-x-3;double g(double x) return exp(x)-1; void main() int i;double x2,x1=2.0; for(i=1;ik) x1=x2; else printf(When i=%d,x=%.6fn,i,x2); break; if(iN) printf(After %d repeate,no solved and if you want to obtain the more accurate value,please use another means!,N); 运行结果截图为：（2）思考题 牛顿迭代法的基本思想是什么？牛顿迭代法是以微分为基础的，微分就是用直线来代替曲线，由于曲线不规则，那么研究直线代替曲线后，剩下的差值是不是高阶无穷小，如果是高阶无穷小，那么这个差值就可以扔到不管了，只用直线就可以了，这就是微分的意义。牛顿法是牛顿在17世纪提出的一种求解方程f(x)=0.多数方程不存在求根公式，从而求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。 牛顿迭代法是取x0之后，在这个基础上，找到比x0更接近的方程的跟，一步一步迭代，从而找到更接近方程根的近似跟。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。另外该方法广泛用于计算机编程中。 设r是f(x)=0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y=f(x)的切线L，L的方程为y=f(x0)+f(x0)(x-x0),求出L与x轴交点的横坐标 x1=x0-f(x0)/f(x0),称x1为r的一次近似值，过点（x1,f(x1)）做曲线y=f(x)的切线，并求该切线与x轴的横坐标 x2=x1-f(x1)/f(x1)称x2为r的二次近似值，重复以上过程，得r的近似值序列Xn,其中Xn+1=Xn-f(Xn)/f(Xn),称为r的n+1次近似值。上式称为牛顿迭代公式。 若将题中的 ，将其取更大一点的值 ，迭代次数是否会发生变化？迭代次数会发生变化。2）实习二 弦截法（1）用弦截法求方程的一个实根，初始近似值分别去0.5和10.6，精度要求为。（2）要求： 推导求出x的式子x=f(x) 。 程序中要求设置一个最大迭代次数N 。 对于输入的初始近似值x0 , x1要求加以判断，即如果f(x0)f(x1)0 ，则继续使用弦截法求方程的根 ；否则重新选取x0 , x1 , 直到f(x0)f(x1) 0 。 方程无解的情况下，要求输出方程无解的信息。 方程有解的情况下，请写出程序运行的结果。程序编写为：#include#include#define eps 0.00001float f(float x)return x*exp(x)-1;void main()float x0,x1,x2;int i;printf(input x0,x1=);scanf(%f,%f,&x0,&x1);for(i=1;i=100;i+)x2=x1-(f(x1)*(x1-x0)/(f(x1)-f(x0);if(fabs(x2-x1)eps|fabs(f(x2)eps)printf(nRoot of equation is:%8.6f,%dn,x2,i);return;x0=x1; x1=x2;printf(nAfter %d repeat,no solved.n,i);程序运行结果截图为：（3）思考题 弦截法的基本思想是什么？ 弦截法求方程的根是一种解方程得基本方法，在计算机编程中常用。他的思路是这样的：任取两个数，判断这两个数的函数值，如果函数值是同号，换两个数再试，直到两个数x1，x2对应的函数值为异号时为止，这时方程的解肯定在这两个数x1，x2之间。连接这两点所对应的函数值，连线与x轴的交点为新的x，若f(x)与f(x1)同号，则把x当作新的x1，将新的x1与x2连接，如此循环如果f(x)与f(x1)异号，则把把x当作新的x2，将x1与新的x2连接，循环 方程的根是多少？见程序运行截图。 当最大迭代次数N 取100 ，初始近似