高考数学复习 第八章 圆锥曲线方程84直线与圆锥曲线位置关系课件.ppt

基础知识一 设直线l ax by c 0 圆锥曲线 f x y 0 消元 x或y 若消去y得a1x2 b1x c1 0 1 若a1 0 此时圆锥曲线不是 当圆锥曲线为双曲线时 直线l与双曲线的渐近线 当圆锥曲线是抛物线时 直线l与抛物线的对称轴 2 若a1 0 4a1c1 则 0时 直线与圆锥曲线 有交点 0时 直线与圆锥曲线 有的公共点 0时 直线与圆锥曲线 没有 椭圆 平行或重合 平行或重合 相交 两个不同的 相切 唯一 相离 公共点 二 当斜率k不存在时 可求出交点坐标 直接运算 利用轴上两点间距离公式 若直线过圆锥曲线的焦点 当焦点弦垂直于对称轴 椭圆的长轴 双曲线的实轴 时称为 其中 ab p为焦准距 若椭圆 a b 0 的弦ab过焦点f1 c 0 则 ab 若双曲线 a 0 b 0 的弦ab过焦点f1 c 0 且a b在左支 则 ab 若抛物线y2 2px p 0 的弦ab过焦点f 0 则 ab 通径 2ep 2a e x1 x2 2a e x1 x2 x1 x2 p 三 弦的中点问题设a x1 y1 b x2 y2 是椭圆上不同的两点 且x1 x2 x1 x2 0 m x0 y0 为ab的中点 则 易错知识一 数形结合思想应用失误1 若直线y a与椭圆恒有两个不同的交点 则a的取值范围是 答案 2 2 二 忽视判别式产生的混淆2 斜率为1的直线与椭圆交于a b两点 o是原点 当 oab面积最大时 直线的方程是 答案 三 应用 差分法 失误3 已知双曲线方程为2x2 y2 2 以a 2 1 为中点的双曲线的弦所在的直线方程为 答案 4x y 7 0 四 性质应用错误4 在直角坐标系平面内 对于双曲线 a 0 b 0 有以下四个结论 存在这样的点m 使得过m的任意直线都不可能与双曲线有且只有一个公共点 存在这样的点m 使得过点m可以作两条直线与双曲线有且只有一个公共点 不存在这样的点m 使得过点m可以作三条直线与双曲线有且只有一个公共点 存在这样的点m 使得过点m可以作四条直线与双曲线有且只有一个公共点 这四个结论中 正确的是 答案 解题思路 正确 点m在双曲线的中心时 过m的直线都不可能与双曲线有且只有一个公共点 因为 当直线斜率 k 时 直线与双曲线无交点 而当 k 时直线与双曲线有两个交点 正确 当点m在双曲线的渐近线上 非中心 或在双曲线含焦点区域内部时 过m与双曲线只有一个公共点的直线可以作两条 当m在双曲线的渐近线上时 过点m只能作双曲线的一条切线 且能作另一条渐近线的平行线 与双曲线只有一个公共点 过双曲线含焦点区域内部一点 不能作双曲线的切线 但可以作两条与渐近线平行的直线 分别与双曲线只有一个公共点 错误 过双曲线上一点 可以作双曲线的一条切线和两条与渐近线平行的直线 这三条直线分别与双曲线有一个公共点 正确 当m在双曲线含焦点区域外部 非渐近线上 时 可以作双曲线的两条切线 可以作两条直线分别与两条渐近线平行 因此可以作四条直线与双曲线有且只有一个公共点 因此 正确的是 失分警示 误区1 过点m作与双曲线只有一个公共点的直线有两类 一类是双曲线的切线 另一类是与渐近线平行的直线 学生解答这类问题时 极易漏掉第二类的情形 误区2 学生易判为错 以为过中心可作双曲线的切线 所以不存在点m 使得过m的任意直线都不可能与双曲线有且只有一个公共点 这是因为学生忽视了双曲线是中心对称图形 对称中心的特殊性使过中心的直线与双曲线要么有两个交点 要么无交点 回归教材1 若直线y kx 1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点 那么m的取值范围是 a 0 5 b 1 5 c 1 5 d 与k有关解析 直线恒过定点 0 1 要使直线与椭圆总有公共点 当且仅当 0 1 在椭圆上或在椭圆内部 1 又 0 m 5 1 m 5 故选c 答案 c 2 过点 2 4 作直线与抛物线y2 8x只有一个公共点 这样的直线有 a 1条b 2条c 3条d 4条解析 因为点 2 4 在抛物线y2 8x上 所以所求的直线有2条 一条与抛物线相切 一条与抛物线的对称轴平行 故选b 答案 b 答案 b 4 短轴长为离心率为的椭圆的两个焦点分别为f1 f2 过f1作直线交椭圆于a b两点 则 abf2的周长为 f1a f2a 3 f1b f2b 3 abf2的周长为6 答案 6 5 2009福建 13 过抛物线y2 2px p 0 的焦点f作倾斜角为45 的直线交抛物线于a b两点 若线段ab的长为8 则p 答案 2 例1 已知直线y a 1 x 1与曲线y2 ax恰有一个公共点 求实数a的值 分析 先用代数方法即联立方程组解决 再从几何上验证结论 1 当a 0时 此方程组恰有一组解为 2 当a 0时 消去x 得 若 0 即a 1 方程变为一元一次方程 y 1 0 方程组恰有一组解 可解得a 这时直线与曲线相切 只有一个公共点 综上所述知 当a为0 1 时 直线y a 1 x 1与曲线y2 ax恰有一个公共点 方法技巧 本题用代数方法解完后 应从几何上检验一下 当a 0时 曲线y2 ax变为直线y 0 此时与已知直线y x 1 它们恰有一个交点 1 0 当a 1时 直线y 1与抛物线y2 x的对称轴平行 恰有一个交点 代数特征是消元后得到一元二次方程中二次项系数为零 当a 时 直线y 1与抛物线y2 相切 温馨提示 联立直线方程与圆锥曲线方程并消元后 易不注意讨论二次项系数是否为零的情况 2009 福建 已知双曲线的右焦点为f 若过点f的直线与双曲线的右支有且只有一个交点 则此直线斜率的取值范围是 命题意图 本题考查双曲线的基本性质 焦点 渐近线及数形结合思想 答案 c 解析 如图 当过右焦点的直线与渐近线平行时 由双曲线性质可知 此时直线与双曲线右支有且仅有一个交点 且与整个双曲线也仅此一个交点 当过右焦点的直线位于两条渐近线之间时 直线与双曲线左右支均交于一点 也符合题干要求 总结评述 本题还可设直线方程为y k x 4 因为k不存在时 直线x 4与右支显然交于两点 不合题意 与双曲线联立 求 0 但不可忽略直线与双曲线左右支各交于一点的情况 利用韦达定理确定k的取值 基于本题属于选择题 不提倡采用解析法 本题重点在于考查数形结合思想 例2 已知双曲线方程2x2 y2 2 1 求以a 2 1 为中点的双曲线的弦所在的直线方程 2 过点b 1 1 能否作直线l 使l与所给双曲线交于q1 q2两点 且点b是弦q1q2的中点 这样的直线l如果存在 求出它的方程 如果不存在 说明理由 分析 对于 中点弦 问题 往往采用 设而不求 的策略 解答 1 设以a 2 1 为中点的弦两端点为p1 x1 y1 p2 x2 y2 则有关系x1 x2 4 y1 y2 2 又根据对称性知x1 x2 所以是中点弦p1p2所在直线的斜率 因此不必求出点p1 p2的坐标 只要确定比值问题就可解决 由p1 p2在双曲线上 则有关系两式相减得2 x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 0 x1 x2 4 y1 y2 2 所求中点弦所在直线方程为y 1 4 x 2 即4x y 7 0 严格地讲 求出的这个直线方程只是满足了必要性 因为是我们假定过a点的直线与双曲线交于p1 x1 y1 与p2 x2 y2 两点 因此还必须验证充分性 即所求直线确实与双曲线有两个交点 为此只要将直线方程与双曲线方程联立消y 或x 得 0就可断言充分性成立 事实上 从2 22 12 7 2 也可判定a 2 1 在双曲线内部 即含焦点的区域 2 可假定直线l存在 采用 1 的方法求出l的方程为y 1 2 x 1 即2x y 1 0 消y得2x2 4x 3 0 4 2 4 2 3 8 0 无实根 因此直线l与双曲线无交点 这一矛盾说明了满足条件的直线l不存在 2007 黄冈调研考试11 过点m 2 0 的直线m与椭圆交于p1 p2两点 线段p1p2的中点为p 设直线m的斜率为k1 k1 0 直线op的斜率为k2 则k1k2的值为 答案 d 解析 如图 设p1 x1 y1 p2 x2 y2 总结评述 本题考查直线与椭圆的位置关系 设出相关点的坐标 利用 点差法 表示相关直线的斜率 从而使问题得以解决 例3 2009 启东中学 若在抛物线y2 2x 4上存在两点关于直线l y m x 4 对称 求m的取值范围 解答 解法一 1 若m 0 则直线l为y 0 显然抛物线上存在两点关于直线l对称 2 若m 0 设a x1 y1 b x2 y2 为抛物线上关于l对称的两点 则x1 x2 y1 y2 由线段ab的中点p在直线l上 直线ab的方程为y m x 3 即x 3 m2 my 代入y2 2x 4 得y2 2my 2m2 2 0 y1 y2 4m2 4 2m2 2 0 解法二 由解法一知弦ab的中点为p 3 m 点p 3 m 在抛物线内部 m 2 2 3 4 总结评述 本题利用点 x0 y0 在抛物线 内部 建立不等式求取值范围 含有焦点的区域为圆锥曲线的内部 那么易得点p x0 y0 在椭圆内部的充要条件是 1 若把不等号改为相反的方向 则为点p在椭圆外部的充要条件 若点p x0 y0 在抛物线y2 2px内部 则有等 应用如上结论 可使许多问题的解答显得简捷 巧妙 有着非凡的功效 对于本题还可以借助于均值不等式求解 解法如下 试确定m的取值范围 使得椭圆上有不同两点关于直线y 4x m对称 解析 设椭圆上两点a x0 u y0 v b x0 u y0 v ab的中点为c x0 y0 a b关于y 4x m对称 例4 2009 北京朝阳5月 已知o为坐标原点 点e f的坐标分别为 1 0 1 0 动点a m n满足 1 求点m的轨迹w的方程 2 点p y0 在轨迹w上 直线pf交轨迹w于点q 若1 2 求实数m的范围 点m的轨迹w是以e f为焦点的椭圆 且长半轴长 a m 半焦距c 1 b2 a2 c2 m2 1 由点p q均在椭圆w上 2008 辽宁 20 在直角坐标系xoy中 点p到两点 0 0 的距离之和等于4 设点p的轨迹为c 直线y kx 1与c交于a b两点 1 写出c的方程 2 若 求k的值 3 若点a在第一象限 证明 当k 0时 恒有 解析 1 设p x y 由椭圆的定义可知 点p的轨迹 总结评述 本小题主要考查平面