高考数学一轮必备 8.8《立体几何中的向量方法》2考情分析学案(1).doc

8.8立体几何中的向量方法(二)考情分析考查用向量方法求异面直线所成的角，直线与平面所成的角、二面角的大小基础知识1空间的角(1)异面直线所成的角如图，已知两条异面直线a、b，经过空间任一点o作直线aa，bb.则把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)(2)平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0的角(3)二面角的平面角如图在二面角l的棱上任取一点o，以点o为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线oa和ob，则aob叫做二面角的平面角2空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2的夹角满足cos |cosm1，m2|.(2)设直线l的方向向量和平面的法向量分别为m，n，则直线l与平面的夹角满足sin |cosm，n|.(3)求二面角的大小()如图，ab、cd是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，()如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足cos cosn1，n2或cosn1，n2注意事项1.(1)异面直线所成的角的范围是；(2)直线与平面所成角的范围是；(3)二面角的范围是0，2.利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面、的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点题型一求异面直线所成的角【例1】已知abcda1b1c1d1是底面边长为1的正四棱柱，高aa12，求(1)异面直线bd与ab1所成角的余弦值；解(1)如图建立空间直角坐标系a1xyz，由已知条件：b(1,0,2)，d(0,1,2)，a(0,0,2)，b1(1,0,0)则(1,1,0)，(1,0，2)设异面直线bd与ab1所成角为，cos |cos，|.(2)vab1d1cvabcda1b1c1d14vcb1c1d1.【变式1】已知正方体abcda1b1c1d1中，e为c1d1的中点，则异面直线ae与bc所成角的余弦值为_解析如图建立直角坐标系dxyz，设da1，由已知条件a(1,0,0)，e，b(1,1,0)，c(0,1,0)，(1,0,0)设异面直线ae与bc所成角为.cos |cos，|.答案题型二利用向量求直线与平面所成的角【例2】如图所示，已知点p在正方体abcdabcd的对角线bd上，pda60.(1)求dp与cc所成角的大小；(2)求dp与平面aadd所成角的大小解如图所示，以d为原点，da为单位长度建立空间直角坐标系dxyz.则(1,0,0)，(0,0,1)连接bd，bd.在平面bbdd中，延长dp交bd于h.设(m，m,1)(m0)，由已知，60，即|cos，可得2m.解得m，所以.(1)因为cos，所以，45，即dp与cc所成的角为45.(2)平面aadd的一个法向量是(0,1,0)因为cos，所以，60，可得dp与平面aadd所成的角为30.【变式2】已知三棱锥pabc中，pa平面abc，abac，paacab，n为ab上一点，ab4an，m，s分别为pb，bc的中点(1)证明：cmsn；(2)求sn与平面cmn所成角的大小解：设pa1，以a为原点，射线ab，ac，ap分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图则p(0,0,1)，c(0,1,0)，b(2,0,0)，m，n，s.(1)证明：(1，1，)，因为00，所以cmsn.(2)，设a(x，y，z)为平面cmn的一个法向量，则取x2，得a(2,1，2)因为|cosa，|，所以sn与平面cmn所成角为45.题型三利用向量求二面角【例3】如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为平行四边形，dab60，ab2ad，pd底面abcd.(1)证明：pabd；(2)若pdad，求二面角apbc的余弦值 (1)证明因为dab60，ab2ad，由余弦定理得bdad.从而bd2ad2ab2，故bdad.又pd底面abcd，可得bdpd.又adpdd.所以bd平面pad.故pabd.(2)解如图，以d为坐标原点，ad的长为单位长，射线da为x轴的正半轴建立空间直角坐标系dxyz，则a(1,0,0)，b(0，0)，c(1，0)，p(0,0,1)(1，0)，(0，1)，(1,0,0)设平面pab的法向量为n(x，y，z)，则即因此可取n(，1，)设平面pbc的法向量为m，则可取m(0，1，)，则cosm，n.故二面角apbc的余弦值为.【变式3】 如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，pa平面abcd，apab2，bc2，e，f分别是ad，pc的中点(1)证明：pc平面bef；(2)求平面bef与平面bap夹角的大小(1)证明如图，以a为坐标原点，ab，ad，ap所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系apab2，bcad2，四边形abcd是矩形，a，b，c，d，p的坐标为a(0,0,0)，b(2,0,0)，c(2,2，0)，d(0,2，0)，p(0,0,2)又e，f分别是ad，pc的中点，e(0，0)，f(1，1)(2,2，2)，(1，1)，(1,0,1)2420，2020.，pcbf，pcef.又bfeff，pc平面bef.(2)解由(1)知平面bef的一个法向量n1(2,2，2)，平面bap的一个法向量n2(0,2，0)，n1n28.设平面bef与平面bap的夹角为，则cos |cosn1，n2|，45.平面bef与平面bap的夹角为45.重难点突破【例4】如图，四边形abcd为正方形，pd平面abcd，pdqa，qaabpd.(1)证明：平面pqc平面dcq；(2)求二面角q bpc的余弦值解析(1)略 (2)依题意有b(1,0,1)，(1,0,0)，(1,2，1)设n(x，y，z)是平面pbc的法向量，则即因此可取n(0，1，2)设m是平面pbq的法向量，则可取m(1,1, 1)，所以cosm，n.故二面角qbpc的余弦值为.巩固提高1.在正三棱柱abca1b1c1中，已知ab1，d在棱bb1上，且bd1，则ad与平面aa1c1c所成的角的正弦值为()a. b. c. d. 答案：a解析：取ac中点e，连接be，则beac，如图，建立空间直角坐标系bxyz，则a(，0)，d(0,0,1)，则a(，1)平面abc平面aa1c1c，beac，be平面aa1c1c.b(，0,0)为平面aa1c1c的一个法向量，cosa，b，设ad与平面aa1c1c所成的角为，sin|cos|a，b|，故选a.2.在直三棱柱a1b1c1abc中，bca90，点d1、f1分别是a1b1、a1c1的中点，bccacc1，则bd1与af1所成的角的余弦值是()a. b. c. d. 答案：a解析：建立如图所示的坐标系，设bc1，则a(1,0,0)，f1(，0,1)，b(0，1,0)，d1(，1)，即(，0,1)，(，1)cos，.3.如图，在四棱锥pabcd中，侧面pad为正三角形，底面abcd为正方形，侧面pad底面abcd，m为底面abcd内的一个动点，且满足mpmc，则点m在正方形abcd内的轨迹为()答案：a解析：以d为原点，da、dc所在直线分别为x、y轴建系如图：设m(x，y,0)，设正方形边长为a，则p(，0，a)，c(0，a,0)，则|mc|，|mp|.由|mp|mc|得x2y，所以点m在正方形abcd内的轨迹为直线yx的一部分4.已知在长方体abcda1b1c1d1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点a1到截面ab1d1的距离是_答案：解析：如图建立空间直角坐标系dxyz，则a1(2,0,4)，a(2,0,0)，b1(2,2,4)，d1(0,0,4)，(2,0,4)，(0,2,4)，(0,0,4)，设平面ab1d1的法向量为n(x，y，z)，则即解得x2z且y2z，不妨设n(2，2,1)，设点a1到平面ab1d1的距离为d，则d.5.已知在几何体abced中，acb90，ce平面abc，平面bced为梯形，且accebc4，db1.(1)求异面直线de与ab所成角的余弦值；(2)试探究在de上是否存在点q，使得aqbq，并说明理由解：(1)由题知，ca，cb，ce两两垂直，以c为原点，以ca，cb，ce所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系则a(4,0,0)，b(0,4,0)，d(0,4,1)，e(0,0,4)，(0，4,3)，(4