和4. 寻觅无限和的踪迹.doc

无限啊！从来就没有任何问题能像无限那样，深深地触动着人们的情感；没有任何观念能像无限那样，曾如此卓有成效地激励着人们的理智；也没有任何概念能像无限那样，是如此迫切地需要予以澄清。希尔伯特14 寻觅无限和的踪迹 宇宙是无限的，当然主宰、描绘宇宙的数学必然有无限的篇章。无限王国是神秘的，没有比无限更能激发人的好奇心和想象力了。无限背后隐藏着些什么样的丰富内涵？恐怕也只有数学对无限的认识算是最深入了。无限，又称“无穷”。在传统的无穷理论体系中，哲学里的无穷观与数学里的无穷观并没有什么本质区别，其核心概念是“无穷”，指科学中无条件的、在空间和时间上，在大小、多少或长短等性质上都没有限制的、无始无终的东西。传统无穷观中“无穷”仅是个定性的概念，具体可表述为没有限度、无始无终、无边无际、不可穷尽、有始无终、有终无始、无穷大、无穷小、无穷集合等。回顾数学的演变与纷争的历史，正是人类从有限走向无限的认识历程。无限是人类在数学上最重要的对象，数学史上的三次危机都与无限有关。无限只能通过有限而存在，但它不能归结为有限的简单的量的总和，而有限中则包含着无限。歌曲无限这样唱道：“无边无际无穷无限蔓延，无道无天无间无限光远，无悔无怨无限无法超越的世界，只有相信一种坚持一种力量，能把失败都摧毁。”是的，我们完全可以去认识无限、掌握无限。这一节里，我们一起去寻觅、发现数学中无限和的踪迹。1.4.1 级数和当有限和的项数趋于无穷时，+，仅仅多了一个省略号，“和”发生了根本的变化。我们称一个纯粹形式地用加号连接起来的式子+为无穷级数，简称为级数，它与称为级数部分和的=+完全不同，后者是一个有意义的确定的数，而级数本身没有意义。怎样去完成这种从有限和到无限和的认识飞跃呢？我们自然而然地会想到极限，用有限和来逼近无限和。我们考察部分和数列，当部分和数列存在极限时，即=S时，+才表示一个数。也就是说，无限和不一定有意义，仅当存在时，无限和才有意义，这时，无限和是一个极限值，记作=S。例如，1357(2n1)，Sn=n，因为=+，所以级数没有和；+，Sn=。因为=1，所以级数的和=1；1-1+1-+(-1)n+1+，因为Sn不趋于一个固定的数，所以级数也没有和。由此可见，无穷级数只是数列极限的一种方便的表示形式，级数理论是数列理论的应用和发展。早在十七世纪，微积分建立的同时，人们就已经应用无穷级数来表示函数，并且用这种方法来解微分方程，到了十九世纪，级数已经成为一个独立的研究科目，人们应用级数理论取得了巨大成就，例如三角函数表，对数表等等表内的函数值都是用级数来作近似计算的，在测量中利用级数可以求较高精确度的近似值，在电学中，任何复杂的交流电、脉冲波都可以应用级数分解为简单的三角函数来表示. 今天，级数理论在生产实践和科技发展的推动下，已发展得相当丰富充实，它不仅是研究数学的工具，而且在物理学、力学、电学和大量的实用科学中已被广泛地应用着。正因为如此，任何一本数学分析教材，都不能不系统地说明关于无穷级数的理论。恩格斯说过：“数学，把某个确定的数，例如把一个二项式化为无穷级数，即化为某种不确定的东西，从常识来说，这是荒谬的举动，但是如果没有无穷级数和二项式定理，那我们能走多远呢？”这正是级数理论的地位的一点说明。部分和数列极限存在的级数，我们称它为收敛的，反之，我们称它为发散的。只有无穷级数收敛时有一个和；发散的无穷级数没有和。由此可见，判断级数敛散性是级数求和的关键。 这里，不打算讨论级数敛散性的判断方法，在任何一本高等数学的教材中，只要有级数的章节，就一定有级数敛散性的判别法，在合情推理趣引一书中还介绍了估猜的方法。下面，我们着重介绍收敛级数“和”的求法。1根据定义法 先求部分和，再求极限。例 求1+ =。解: 因为Sn=，=2，所以=2。2应用公式法 从一般到特殊的求和法。一般地，可以应用下列五个函数的马克劳林展开式。 特别是，最简单而常用的是无穷等比级数求和公式：。例 分别求，的和。解：就是公比为的无穷等比级数，其和是。（注意特殊值应在收敛区间内）。 类似的，选择对应的公式，分别取=2，可以求得后两个级数的和，依次是，。3和式变换法 将欲求的和式进行变换，凑出符合公式的形式。例 求幂级数，的和函数。幂级数可以化为，应用无穷等比级数的求和公式得，其和函数是；幂级数可以看作，其和函数是；幂级数可以看作，其和函数是。4映射反演法 把较困难的问题化归为较简单的问题，这也是一种非常普遍的思想方法，其应用范围远不限于数学领域。20世纪80年代，人们愈来愈明白：数学可以成为研究关系结构形式的科学。一般所谓数学问题无非是指有待确定的、或需要探求的某种未知关系。于是提出了“关系映射反演方法”（简称为RMI方法，徐利治 郑毓信 关系映射反演方法 1989.5 江苏教育出版社），这儿的“映射”是指实现化难为易的某种对应方法或变换手段，这儿的“反演”就是把变换后求得的解答再转换成原来问题所要求的答案。其过程可以用框图表示如下： 微分（求导）与积分是高等数学的最基本最主要的运算，可用作映射反演方法解决数学中的许多问题。由于它们互为逆运算，所以在RMI程序中彼此成为逆映射。在级数求和中，充分运用这一方法是化难为易的关键。例 求级数、的和。解：先对逐项求导，就可以映射为等比级数求和，其和为，再对它逐项求积，反演为原级数的和，为。取，可得=。先对逐项求积，就可以映射为等比级数求和，其和为，再对它逐项求导，反演为原级数的和，为。取，可得=4。而求级数与的和，就必须使用两次RMI方法，即先对它逐项求导（积）两次，映射为等比级数求和后，再逐项求积（导）两次：5引入变量法 从特殊到一般的求和法。例 求的和。解：从特殊到一般地先思考求级数的和，逐项求导，得，其和为，再求积分，得，然后再将其特殊化，令而求得和，为。6类比法 值得欣赏的是大数学家欧拉的级数求和的例子，他运用了类比的方法。例 求的和。解：设P(x)为n次多项式，其n个根为xa，x=b，x=c，及x=d；换言之，P(a)=P(b)=P(c)=P(d)=0。我们再设P(0)=1。然后，欧拉知道可以将P(x)分解为如下n个一次项乘积的形式：同时，已知sinx的马克劳林展开式，可以看作“无限长多项式”：欧拉认为它应该有无限多个根：x=0，2，3，4，。于是的根为x=，2，3，4，。类比多项式P(x)的分解，可以得到：，这是一个非凡的方程，因为它使一个无穷和等于一个无穷乘积。欧拉所做的是设想“乘出”上述方程右边的无穷乘积，然后合并x的同类项。比较两边x2的系数，就可以得到，这样就求得了的和：应该是。欧拉发现了其他数学家几十年未能发现的答案。由于数学本身的种种神秘原因，这一级数的和竟然产生了一个关于的公式。因为当然是与圆密切相关的，而1、4、9、16这些数字则与正方形密不可分，所以，很难想象这二者会联系在一起。甚至欧拉自己也对他的答案感到吃惊。他的公式过去是，至今依然是所有数学问题中最独特、最和谐与最令人吃惊的、推导方法最巧妙的公式之一。1.4.2 积分和用有限和来逼近无限和的思想在古代数学家的工作中，就已经有了萌芽。比如古希腊时期阿基米德在公元前240年左右，就曾用求和的方法计算过抛物线弓形及其他图形的面积。公元263年我国刘徽提出的割圆术，也是同一思想。积分求和是用有限和逼近无限和的经典范例。下面，让我们通过具体的例子，紧跟前辈们的脚印，领略积分求和思想的精巧深湛与无限风光。例 求抛物线、直线与轴所围图形的面积。解 把区间0，1分成n等份,，分点为和小区间长度为(i=1，2，n-1)，(i=1，2，n)；.取(i=1，2，n)；作积分和，求和；因为，当0时，n，所以所求面积S=。一般地，设函数y=f(x)在区间a，b上非负、连续。由直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边。曲边梯形的面积都可以如此求。类似地，变速直线运动的路程也可以这样求。抛开上述问题的具体意义，抓住它在数量关系上的本质与特性加以概括，就抽象出定积分的定义。 定义 设函数f(x)在a, b上有界, 在a, b中任意插入若干个分点a =x0 x1 x2 xn-1 xn=b, 把区间a, b分成n个小区间x0, x1, x1, x2, , xn-1, xn , 各小段区间的长依次为x1=x1-x0, x2=x2-x1, , xn =xn -xn-1. 在每个小区间xi-1, xi上任取一个点xi (xi-1i xi), 作函数值f(xi)与小区间长度xi的乘积f(i)xi (i=1, 2, , n)，并作出和. 记l = maxx1, x2, ,xn, 如果不论对a, b怎样分法, 也不论在小区间xi-1, xi上点x i 怎样取法, 只要当l0时, 和S 总趋于确定的极限I, 这时我们称这个极限S为函数f(x)在区间a, b上的定积分, 记作, 即。其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，a, b叫做积分区间。定积分的思想可以用下图表示，即“化整为零近似代替积零为整取极限”。有趣的是，函数求和中积分的符号“”似乎是级数求和的符号“”拉直出来的，有异曲同工之妙。定积分这种“和的极限”的思想，在高等数学、物理、工程技术、其他的知识领域以及人们在生产实践活动中具有普遍的意义。很多问题的数学结构与定积分中求“和的极限”的数学结构是一样的，即用无限的过程处理有限的问题，用离散的过程逼近连续，以直代曲，局部线性化等。定积分的概念不仅是数学史上，而且是科学思想史上的重要里程碑，是人类智慧的可贵结晶，人类文明中魅力四射的瑰宝。更为使人意料不及的是，这个无限和的计算问题在2000多年后，由牛顿莱布尼茨彻底解决，无限和的极限是两个有限数的差，其中F(x)的导函数就是f(x)，即F(x)=f(x)。=F(b)-F(a)，人们对数学、对自然、对社会的认识都是这样，从模糊开始，引起争论，甚至产生危机，到比较明晰是一个长期而艰苦的过程。然而有限问题却用无限的方法处理，无限和又可以用有限的方法求得，无限与有限可以互相转化、统一，确实令人赞叹不已。数学的和谐、自然的和谐、社会的和谐由此可见。1.4.3 广义积分级数和与积分和这两类不同的无限和也可以互相转化。前面的例子，求抛物线、直线与轴所围图形的面积，即定积分，当时就是转化为级数求得的。而无限区间上的广义积分一般是用极限来定义并计算的，但是它也可以改成+