《高考调研》高三数学第一轮复习 第十一章《排列、组合和二项式定理》课件111.ppt

1 掌握分类计数原理与分步计数原理 并能运用它分析和解决一些简单的应用问题 2 理解排列 组合的意义 掌握排列数 组合数公式及推导 并能用它们解决一些简单问题 3 掌握二项式定理和二项展开式的性质 并能用它们计算和证明一些简单的问题 1 分类计数原理做一件事 完成它可以有n类办法 在第一类办法中有m1种不同的方法 在第二类办法中有m2种不同的方法 在第n类办法中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有n 种不同的方法 2 分步计数原理做一件事 完成它需要分成几个步骤 做第一步有m1种不同的方法 做第二步有m2种不同方法 做第n步有mn种不同方法 那么完成这件事有n 种不同的方法 m1 m2 mn m1 m2 mn 1 已知a 1 2 3 b 0 1 3 4 r 1 2 则方程 x a 2 y b 2 r2所表示的不同的圆的个数有 a 3 4 2 24b 3 4 2 14c 3 4 2 14d 3 4 2 9答案a解析 a 1 2 3 a有3种方法 同理b的取法有4种 r有2种 又只有a b r依次确定后 才能确定圆 故有3 4 2 24个不同的圆 2 有不同的语文书9本 不同的数学书7本 不同的英语书5本 从中选出不属于同一学科的书2本 则不同的选法有 a 21种b 315种c 143种d 153种答案c解析可分三类 一类 语文 数学各1本 共有9 7 63种 二类 语文 英语各1本 共有9 5 45种 三类 数学 英语各1本 共有7 5 35种 共有63 45 35 143种不同选法 3 2011 衡水调研 春回大地 大肥羊学校的春季运动会正在如火如荼地进行 喜羊羊 懒羊羊 沸羊羊 暖羊羊4只小羊要争夺5项比赛的冠军 则有 种不同的夺冠情况 答案45 答案a解析每位同学都有5种选择 则6名同学共有56种不同的选择 故选a 5 为了应对金融危机 某公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人 要求甲 乙二人不能全部裁去 则不同的裁员方案的种数为 答案182解析甲 乙中裁一人的方案有c21c83种 甲 乙都不裁的方案有c84种 故不同的裁员方案共有c21c83 c84 182种 题型一两个计数原理例1 1 若a b n 且a b 5 则在直角坐标平面内的点 a b 共有 个 解析 按a分类 当a分别取等于1 2 3 4时 b的值分别有4个 3个 2个 1个 由加法原理知点 a b 共有4 3 2 1 10 个 答案 10 2 集合p 1 2 3 q 2 3 4 5 定义p q a b a p b q 则集合p q中元素的个数为 a 4b 6c 12d 20 解析 确定集合p q中元素 a b 需要分两步 第一步 确定a 有3种不同方法第二步 确定b 有4种不同方法由分步计数原理可知元素个数有3 4 12 个 选c 探究1利用两个计数原理解题 必须类步分明 依实际问题是分类 还是分步 必须由题而定 如 1 题中完成这件事分4类即可 2 题中完成这件事 须分两步 这两步完成后这件事才算告终 思考题1 1 全体两位数中 个位数字大于十位数字的两位数共有多少个 解析 解法一按十位数上的数字分别是1 2 3 4 5 6 7 8的情况分成8类 在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个 7个 6个 5个 4个 3个 2个 1个 由分类加法计数原理知 符合题意的两位数的个数共有 8 7 6 5 4 3 2 1 36 个 解法二按个位数字是2 3 4 5 6 7 8 9分成8类 在每一类中满足条件的两位数分别是1个 2个 3个 4个 5个 6个 7个8个 所以按分类加法计数原理共有 1 2 3 4 5 6 7 8 36 个 2 设集合m 3 2 1 0 1 2 p a b 是坐标平面上的点 a b m p可以表示 平面上多少个不同的点 第二象限内的多少个点 不在直线y x上的多少个点 思路分析 要确定平面上点的坐标 需确定横纵坐标 可分两步完成 需用分步计数原理 解析 分两步 第一步 确定横坐标6种方法 第二步确定纵坐标有6种方法 根据分步计数原理得n 6 6 36 分两步 第一步确定横坐标 小于0 有3种方法 第二步确定纵坐标 大于0 有2种方法 根据分步计数原理得n 3 2 6 分两步 第一步确定横坐标有6种方法 第二步确定纵坐标有5种方法 根据分步计数原理得n 6 5 30 例2 1 5名旅客投宿到一个旅店的3个房间 问共有多少种不同的住店方法 解析 安排第1名旅客有3个房间 3种方法 安排第2名旅客也有3个房间 3种方法 共有3 3 3 3 3 35 种 不同的住店方法 2 5名学生争夺3项比赛的冠军 获得冠军的可能情况种数有多少 解析 利用住店法 本题相当于5个人住3间店 共有35种不同方法 探究2本题给出解此类问题的一种方法 住店法 思考题2 1 三封信投入到4个不同的信箱中 共有 种投法 解析 解法1 只要三封信都投进了信箱 这件事就算完成 故分三步 第一步 将第一封信投进信箱 有4种方法 第二步 将第二封信投进信箱 有4种方法 第三步 将第三封信投进信箱 有4种方法 由分步计数原理得共有4 4 4 64种不同投法解法2 本题相当于3个人住4间店 2 动物园的一个大笼子里 有4只老虎 3只羊 同一只羊不能被不同的老虎分食 问老虎将羊吃光的情况有多少种 解析 法一 因为3只羊都被吃掉 故应分为三步 逐一考虑 每只羊都可能被4只老虎中的一只吃掉 故有4种可能 按照分步乘法计数原理 故有4 4 4 43 64种 法二 本题相当于3个人住4间店 题型二两个计数原理的综合应用例3 1 09 宁夏 7名志愿者中安排6人在周六 周日两天参加社区公益活动 若每天安排3人 则不同的安排方案共有 种 用数字作答 解析 解题的步骤为 先选人 再打包 再分天 结果为c76c63c33 140 答案 140 2 07 浙江 某书店有11种杂志 2元1本的8种 1元1本的3种 小张用10元钱买杂志 每种至多买一本 10元钱刚好用完 则不同买法的种数是 种 用数字作答 解析 分两类 第一类 买5本2元的有c85种 第二类 买4本2元的和2本1元的有c84 c32种 故共有c85 c84 c32 266种不同的买法种数 答案 266 探究3在解决实际问题的过程中 并不一定是单一的分类或分步 而是可能同时应用两个计数原理 即分类时 每类的方法可能要运用分步完成 而分步时 每步的方法可能会采取分类的思想求 另外 具体问题是先分类后分步 还是先分步后分类 应视问题的特点而定 解题时经常是两个原理交叉在一起使用 分类的关键在于要做到 不重不漏 分步的关键在于要正确设计分步的程序 即合理分类 准确分步 思考题3 1 4张卡片的正 反面分别有0与1 2与3 4与5 6与7 将其中3张卡片排放在一起 可组成多少个不同的三位数 解析 分三个步骤 第一步 首位可放8 1 7个数 第二步 十位可放6个数 第三步 个位可放4个数 根据乘法原理 可以组成n 7 6 4 168个数 2 现安排一份5天的工作值班表 每天有一个人值日 共有5个人 每个人都可以值多天或不值班 但相邻两天不能同一个人值班 则此值日表共有 种不同的排法 解析 完成一件事是安排值日表 因而需一天一天地排 用分步计数原理 分步进行 第一天有5种不同排法 第二天不能与第一天已排人的相同 所以有4种不同排法 依次类推 第三 四 五天都有4种不同排法 所以共有5 4 4 4 4 1280种不同的排法 例4 2010 天津卷 理 如图 用四种不同颜色给图中的a b c d e f六个点涂色 要求每个点涂一种颜色 且图中每条线段的两个端点涂不同颜色 则不同的涂色方法共有 a 288种b 264种c 240种d 168种 解析 先涂a d e三个点 共有4 3 2 24种涂法 然后再按b c f的顺序涂色 分为两类 一类是b与e或d同色 共有2 2 1 1 2 8种涂法 另一类是b与e或d不同色 共有1 1 1 1 2 3种涂法 所以涂色方法共有24 8 3 264种 答案 b 探究4做为两个计数原理应用之一的 涂色问题 曾是高考的热点 解决此类问题体现了两个原理的精髓 思考题4 08 全国卷 如图 一环形花坛分成a b c d四块 现有4种不同的花供选种 要求在每块里种1种花 且相邻的2块种不同的花 则不同的种法总数为 a 96b 84c 60d 48 解析 第一类 当a c同色时有4 3 3 36种方法 第二类 当a c不同色时有a42 2 2 48种方法 由加法原理得共有36 48 84种不同方法 所以选b 答案 b 对于分类计数原理 要重点抓住 类 字 应用时要注意 类 及 类 之间的独立性和并列性 对于分步计数原理 要重点抓住 步 字 应用时要注意 步 与 步 之间的相依性和连续性 对于稍复杂问题 常常结合相关知识混合使用两个计数原理 1 已知如图的每个开关都有闭合 不闭合两种可能 因此5个开关共有25种可能 在这25种可能中 电路从p到q接通的情况有 a 30种b 10种c 16种d 24种 提示 按有几个开关闭合分类 答案c解析5个开关闭合有1种接通方式 4个开关闭合有5种接通方式 3个开关闭合有8种接通方式 2个开关闭合有2种接通方式 故共有1 5 8 2 16 种 2 已知互不相同的集合a b满足a b a b 则符合条件的a b的组数共有 种 答案9解析当a 时 集合b a b 当a只1个元素时 b可以有2种情况 此时有2 2 4种情况 当a a b 时 集合b a b 或 a b 此时有4种情况 综上可知 符合条件的a b共有1 4 4 9种 3 集合p x 1 q y 1 2 其中x y 1 2 3 9 且p q 把满足上述条件的一对有序整数对 x y 作为一个点的坐标 则这样的点的个数是 答案14个解析当x 2时 x y 点的个数为1 7 7 个 当x 2时 x y 点的个数为7 1 7 个 则共有14个点 4 有1元 2元 5元 10元 50元 100元人民币各一张 则由这6张人民币可组成 种不同的币值 答案63解析对于每一张人民币来说 都有两种选择 用或不用 而都不用则形不成币值 由分步计数原理 可得n 2 2 2 2 2 2 1 26 1 63 种 5 2010 广东卷 理 为了迎接2010年广州亚运会 某大楼安装了5个彩灯 它们闪亮的顺序不固定 每个彩灯只能闪亮红 橙 黄 绿 蓝中的一种颜色 且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同 记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁 在每个闪烁中 每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮 而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒 如果要实现所有不同的闪烁 那么需要的时间至少是 a 1205秒b 1200秒c 1195秒d 1190秒答案c解析共有a55 120个闪烁 119个间隔 每个闪烁需用时5秒 每个间隔需用时5秒 故共需要至少120 5 5 5 1195秒 课时作业 六十 1 2011 海淀 有这样一种数字游戏 在3 3的表格中 要求要每个格子中都填上1 2 3三个数字中的某一个数字 并且每一行和每一列都不能出现重复的数字 若游戏开始时表格的第一行第一列已经填上了数字1 如图 则此游戏有 种不同的填法 若游戏开始时表格是空白的 如图 则此游戏共有 种不同的填法 答案412解析对于图 第1行有2种填法 其余空格有2种填法 故共有4种填法 对于图 第1行有6种填法 其余空格有2种填法 故共有6 2 12 种 填法 2 设直线方程为ax by 0 从1 2 3 4 5中每次取两个不同的数作为a b的值 则所得不同直线的条数为 a 20b 19c 18d 16答案c解析确定直线只需依次确定系数a b即可 先确定a 有5种取法 再确定b有4种取法 由分步乘法计数原理得5 4 20种 但是x 2y 0与2x 4y 0 2x y 0与4x 2y 0表示相同的直线 所以不同的直线条数为20 2