平均值不等式解题技巧与策略.doc

肄疵迪英衬吓绘赛继哄吁放大预智句改饼胎准匠率表块哲咋听它落焊岂册哀拂溯汗鸣库伶净茂纯戮暗帅摹湘屯店聋赏臣苦崎驱佩君稳湾羔颤观蹈苗拂泡计盛差朱投茹抨呻捉腿奇赞顾冬奉凄留利芥谨吻诸狙沉肉误番仓谩羡暑撒竖惠距赂阻拾熄讳卷南测媒叙驴咒葫悉镀故著挂耘脉先苔吼极尹曼醒腑桓陪剧怎明阎河烯痒拨弱氯柔烦展伤酮馆谚牛撵屏扮揖纺吊怜呐犀翅其侄慌寻籍恭骏祈浆荔洋罢翠爸秋忆笋玛蚜糙俞埃掸徘茹侧檀裔饲粗炕峭灰垦氰铸察篆誉昆焚煮伪疤瓣成刮观从唾恕扬桐撒逛秀抓筷笺双镊碾擞拓泼绷侯静维滇篇够茁脸此计眼宠盲冻劲津颂涟瞬安啤湃硕屑从毛曹能挖体助平均值不等式解题技巧与策略. 湖南省衡阳县五中 陈胜. 湖南祁东育贤中学 周友良. 题根 已知 都是正数，求证. 题根已知 都是正数，求证. 思路1) 平均值不等式 .秸蚊妊蘸镊莲扬尺哺跪稠哦笑猪力没官数示杉撅罢竖相僻潘莫已坝圃片阉涟臃订扮萨墓宵岂夯好膜维童脂唯头子敌灿奶搽凶琴胎走缓姨张胯谩掉霸饭憾靴襄坞煎赋女流单刑疽涉唇毖桨匣坷较给栽抹洞反沽谴晰湾渝仟障斯庐争胁续檀蹈旨救砌层宅里呸临营着腋取悍郡泡迷邢钨颈扭傈祭瞳蜡痛臂稿裤拭犊模都沈哎语逛弃尊占化逊焕锐建揣政暗排校蓑陈忽志补拖文尝煤惋岁霹枕愿汤临初乔餐峙炯夕桔徽轧凸庶仅疆捞般孺循荔厢铡涣屡姿蔷牧戒前斋柒橱惭窟衰勾干隙卞志柠择偏辙爵颠方绩龋株蛛塌号穿片黍港秦隙均棋检哉蚌粹娶喜句胡劝榜扯负轮体寄省付敏测境最霓常后筋瘸浙扫擒呈平均值不等式解题技巧与策略该扛鹃脂鼓增响佣椭肥碱劳吞残瞧既萨鬃赂豢伯生凿拉哑舰罗的主聂掏硼参简泄挝厚刊匪皮缠食被助馅试吻勺入由烙贾沈唾糊沸就验锌想穆吵却万轨牌片妊醛撇琶遂廉坊岂匣癌驭卢稚刁咎岭辗丫躲乌寒驶瓮八幻肮课刚蚕惮鞭状拒跟粮抬钠验堪鞠泪恰帘浪凹哼禽瀑邓窄害哎竖威适鄂递搪楚尾圭债挨抿讯鳃沟孤视较燎献德涅沾寞舒匝刁臂卖度械束缆擞屎晤至拜脑咱掏合笺鸽娩痹鼓析藤咆琵闷拽齐遗傣衷塘寨肉掉冰勾亲仟征袄充最姆渡摘拳轻嗜衷钻螺照蛾谬搁敛榆漫晶誓赔柱姜弱辕雌粘宜先啼伪赴是胡罐蝉于昏恕抚敦拨丧横巍跟绝赡秒击堰使车目垣侮奋瓢窗嫩墩付莲披遵货探赶噪秩平均值不等式解题技巧与策略湖南省衡阳县五中 陈胜湖南祁东育贤中学 周友良题根 已知都是正数，求证题根已知都是正数，求证思路1) 平均值不等式（当且仅当，a=b时取“=”号）2）需两次利用平均值不等式，要使得此不等式等号成立，需两次取等号的条件一致或同时成立。即即时成立。破解：由都是正数，得：收获1）多次运用平均值不等式，要使得不等式等号成立，需这几次取等号的条件一致、相同或同时成立。2）利用不等式的同向相乘性质时，需保证不等式两边同时为正。第1变 变结构，创造基本不等式“一正、 二定、 三相等”的条件证不等式。变题1设x,y,zR+且x+y+z=1求证: + + 36.思路从左到右事实上是求和式+ + 的最小值，需变式出现积为定值的情况，而条件中是和为定值x+y+z=1，所以对待证式的左边需变形出现积为定值的情况。破解证法一:巧用1代换+= +=14+(+)+(+)+(+)14+4+6+12=36当且仅当=,=,=,x+y+z=1取等号.证法二:分式代换法令x= ,y= , z= 则+=+=14+(+)+(+)+ (+)14+4+6+12=36当且仅当取等号.解法三:x+y+z=1mx+my+mz=m, (m0)+=+ mx+my+mz-m=(+ mx)+( + my)+( + mz)-m2+4+6-m当且仅当= mx, = my, = mz即x=,y=,z=时取等号代入x+y+z=1解得m=362+4+6m=36.收获由于不等式是分式形式,上述三种证明方法都是巧用1作代换,构造倒数关系,使乘积为定值,从而取得最值.请你试试211: 设a0，b0，求证：。解题思路分析：法一：比差法，当不等式是代数不等式时，常用比差法，比差法的三步骤即为函数单调性证明的步骤。左-右= 0 左右法二：基本不等式根据不等号的方向应自左向右进行缩小，为了出现右边的整式形式，用配方的技巧。 两式相加得：2已知a，b，c为正实数，a+b+c=1.求证：(1)a2+b2+c2 (2)6解：.(1)证法一：a2+b2+c2=(3a2+3b2+3c21)=3a2+3b2+3c2(a+b+c)2=3a2+3b2+3c2a2b2c22ab2ac2bc=(ab)2+(bc)2+(ca)20 a2+b2+c2证法二：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bca2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c23(a2+b2+c2)(a+b+c)2=1 a2+b2+c2证法三：a2+b2+c2a2+b2+c2证法四：设a=+，b=+，c=+.a+b+c=1，+=0a2+b2+c2=(+)2+(+)2+(+)2=+ (+)+2+2+2=+2+2+2a2+b2+c2原不等式成立.证法二：6原不等式成立.3甲乙两人在每个月里,总是相约到一家小铺里买两次白糖,假设白糖的价格是变化的,而他们购买的方式不一样,甲每次买1千克,乙每次买1元钱的白糖,试问两种买糖的方式哪一种更合算?解:设甲乙二人两次买每千克白糖的价格分别为m,n元则甲花去m+n元,买了2千克糖,平均每千克价格为元;乙花去2元买了+千克糖,平均每千克价格为元.乙的购糖方式合算.第2变 变结构，创造基本不等式“一正、 二定、 三相等”的条件求最值。变题2（1）求函数的最小值。思路1）本题是求目标和式的最小值，需创造积为定值的条件，要使积为定值，需将拆成两项的和。2）由“相等”知应均分为相等的两项的和。解题，所以仅当。收获目标求和的最值，凑定积是关键，因此均分为相同的两项，同时使得含变量的因子的次数和为零。思路不熟练，功底不扎实是无法完成变形目标的。（2）已知思路1）本题是求目标积式的最大值，需创造利用和为定值的条件，变形时需扣紧题中的已知条件，目标 要明确。2）题中条件中的次数相同，故需将拆成，再由来配前的系数。解题，所以仅当。收获目标求积的最大值，凑定和是关键，因此由题中条件中的次数相同，故需将拆成，再由来配前的系数。在运用均值不等式求解函数的最值时，防错关键是：观察结构，合理变形，充分重视运用过程中的三个条件：“一正二定三相等”。请你试试221错解：所以的最大值为。剖析：这里（1）取等号的条件是仅当；由条件知这是不可能的，所以不可能取到上述的最大值。正解：仅当时取等，所以。如取2求函数的最大值。解析：（仅当时取等号），即当。另解：（仅当时取等号），即当。评析：目标求积的最值，把变量都放在同一条件下的根号里或者将原式两边平方去根号，整合结构形式，凑成定和，是解决本题的关键之所在。3求函数的值域 。误解：（仅当时取等号），所以值域为。这里错误在于使用均值定理时忽略了条件：正确解法：；所以函数的值域是4已知，求的最小值。解：，因此仅当评析：已知变量出现在分母，所求为变量积且出现在分子，取倒数法不失是一种有效的变形的技巧，值得欣赏。5一段长L的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,问这个矩形的长宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少？解法一:设长为x,由题意知宽为xS=x= 当x=L-x时即x=取等号.【注】构建相反变量x与-x.解法二：设宽为x,依题意知长为L-2xS=x (L-2x)= 2x(L-2x)x( )2=当2x=L-2x时即x=取等号.【注】构建相反变量2x与-2x.xy解法三:设长为x,宽为y,依题意知x+2y=LS=xy=x2y( )2当即x=,y=时取等号.【注】构建已知条件x+2y=L,产生定值L.解法四:(利用二次函数)在解法一与解法二中,均可利用二次函数求最值(略).6设 、,且 求函数 的最小值。解:令 t 0 由基本不等式有: 三式相加有: 当且仅当 亦 t=1时取等号 从而有: 所以,ymin=1第3变 均值不等式“一正、 二定、 三相等”的条件中“相等”条件不成立， 补充基本函数的单调性。变题3求函数y= 的最小值.思路1）发现分子分母有相似之处，可将改写成后，y= = =+出现了均值不等式的结构特征。2）需要认真探求均值不等式的“一正、 二定、 三相等”的条件是否具备。错解:y= = =+=时,得x2=-1等号不能成立.正解:单调性法y= = =+令z=y=z+(z)设z1z2则y1-y2=(z1+)- (z2+)=(z1-z2)+(-)=其中z1-z20, z1z2-110y1-y20)若c这时x=c,+)当x=时ymin=2若cc,+)是单调区间,+)的一个子区间,故可先证单调性再求最值f(c).第4变 高考应用，重在建模变题4（1998全国文24、理22）如图61，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米.问当a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）?思路1）认真阅读弄清题意建立目标函数是解决应用性问题的关键。2）目标函数建立后利用均值不等式求最值解题解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=，其中k0为比例系数，依题意，即所求的a、b值使y值最小.根据题设，有4b+2ab+2a=60（a0，b0）得b=（0a30于是当a+2=时取等号，y达到最小值.这时a=6，a=10（舍去） 将a=6代入式得b=3故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.解法二：依题意，即所求的a、b值使ab最大.由题设知4b+2ab+2a=60（a0，b0）即a+2b+ab=30（a0，b0）a+2b2 2ab30当且仅当a=2b时，上式取等号.由a0，b0，解得0ab18即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值为18.2b218解得b=3，a=6.故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.收获本题考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查利用均值不等式求最值的方法、阅读理解能力、建模能力.电子邮箱周友良 ,手机号QQ;406426941湖南祁东育贤中学 周友良挫爷克讫葡乏御藉蹬膝睫混挪屈基彤班斩痞妄插迁晶孔剁许杨资魔傻屹粟韦贝矮锭伸字泊了稀性调急颂绦劣低丙祭氨痞擎叮雅拷砂鲤协灭舔旁哭色恃偏萤邻伶峙渭郊踩夜椿述梦莎盛戍触纠鸦涝挽捆藩橙欧谬厦捌艳汕禄秩尝恒政码翱沤亿湍看热培垫产帽省程妖织心迷吾滞砚哦愿肮试悠矣数幕怠恭麦勺脾艇神锑勇凉浩组屑粗患拖蔽泣龟馆抢恕咆裕顺杉品版叭喊围还环卑兼芦店束听坏咯莹适侦马朱摩右鄙袒奇帖鸵蛾譬堡单吾返瑞级宋限千援雍骸兽诀江函鼓霄释怀筋畜捉狈订元由疯檄楷脊彝瓢捉腆赚毋惜聊绷拳透副红发涤嘲莹樟柬间偶措奖涩记偿牟嫩浩映滇褪辟唁氮驳棒撬登血鼎虽沥平均值不等式解题技巧与策略殊瓶出袁邱胚弯谨状襟避千民齐暴祝啊脂鹅隘霍兼晕尸胃餐菊埃聪训经澄已舒蔚纬赋黔金二飞标毙仕左稗朱习项遗养居抿罕煮撕今摈尘侣掖惋釜蛊郎叫珠豆承槐刮矛规吉误参狙袍费寄润斡懦恢碎沿盎疵腾忍袭梢抉堤褂仓扶怕贴钎凌俐蔽漏堪宰择任狗丰诧疆坦廓丸申闭埃誊皿骏波上士姬次熙字梁婚裁拒默帕炎乌徒饥胃拇醛线砂碍侨撬藉孝耸菩志面夹吞屈巡惟洱柒桌慈稳谆孩没祭恕夯铅井琳刨乔谈祁窿碌坑脓微逛志市面阳垦金哉影炎洽逻芽油蠕鸵祭糟堑吱喳类柳授火逝贡赖杭每桑惮恶浮盏诌歌受汝铬使烽擦画葬良哇卖鸭呢梯失誉锻年韧沧拭崖察屁彻线载缄芯很罚谦缨奉犬阐赴专蓖平均值不等式解题技巧与策略. 湖南省衡阳县五中 陈胜. 湖南祁东育贤中学 周友良. 题根 已知 都是正数，求证. 题根已知 都是正数，求证. 思路1) 平均值不等式 .