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怎样求离心率的取值范围圆锥曲线共同的性质:圆锥曲线上的点到一个定点F和到一条定直线L(F不在定直线L上)的距离之比是一个常数e。椭圆的离心率,双曲线的离心率,抛物线的离心率。求椭圆与双曲线离心率的范围是圆锥曲线这一章的重点题型。下面从几个方面浅谈如何确定椭圆、双曲线离心率e的范围。一、利用曲线的范围,建立不等关系例1 设椭圆的左右焦点分别为、,如果椭圆上存在点P,使,求离心率e的取值范围。解:设因为,所以 将这个方程与椭圆方程联立,消去y,可解得例2 双曲线在右支上存在与右焦点、左准线长等距离的点,求离心率e的取值范围。解:设在双曲线右支上,它到右焦点的距离等于它到左准线的距离,即=二、利用曲线的几何性质数形结合,构造不等关系例3直线L过双曲线的右焦点,斜率k=2。若L与双曲线的两个交点分别在左、右两支上,求双曲线离心率的取值范围。解:如图1,若,则L与双曲线只有一个交点;若,则L与双曲线的两交点均在右支上, 例4. 已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点。若ABF2是锐角三角形,求双曲线的离心率的取值范围。解:如图2,因为ABF2是等腰三角形,所以只要AF2B是锐角即可,即AF2F145。则 三、利用定义及圆锥曲线共同的性质,寻求不等关系例5已知双曲线的左右焦点分别为、,点P在双曲线的右支上,且,求此双曲线的离心率e的取值范围。解:因为P在右支上,所以 又 得 所以 又 所以 例6已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2,P是双曲线右支上一点,P到右准线的距离为d,若d、|PF2|、|PF1|依次成等比数列,求双曲线的离心率的取值范围。解:由题意得因为,所以,从而,。又因为P在右支上,所以。 。 四、利用判断式确定不等关系例7例1的解法一:解:由椭圆定义知例8设双曲线与直线相交于不同的点A、B。求双曲线的离心率e的取值范围。解:通过以上各例可以看出,在解决“求圆锥曲线离心率的取值范围
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