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多元函数连续可导可微偏导数连续问题进一步的证明在点处连续。在点处的两个偏导数连续。在点处可微。在点处的两个偏导数存在。成立的我证明，不成立的只需举反例。不成立，反例：不成立，反例：推不出，而是可微的必要条件，所以不成立。但是注意：中也有满足成立的例子：不成立，反例：，虽然此式在连续可微，但是偏导数在不存在。成立！证明：先证明可微，然后由可微证明连续。具体分过程见下成立！证明：假定偏导数在点连续，对于点的某个邻域内的任意一点，考察函数的全增量：应用拉格朗日中值定理，得到 又依假设，在点连续，所以上式改写为：，其中为的函数，且当时，。同理可证第二个方括号内的表达式可写为：其中为的函数，且当时，。由以上两式可见，在偏导数连续的假定下，全增量可以表示为：，容易看出，他随着即而趋向于0，这就证明了在点是可微的。成立！不用证明。成立！证明：当在处可微时，成立。令得：，所以连续。不成立，反例：在处可微，但及在点处间断成立！证明：设函数在点可微分，于是，对于点的某个邻域内的任意一点，。特别当，所以上式成为：等式两边各除以，再令而取极限，就得：，从而偏导数存在，且等于，同理可证存在，且为。得证不成立，反例：如果一元函数在某点具有导数则在该点必定连续但是对于多元函数来说，即使各偏导数存在只能保证点沿平行于坐标轴的方向趋向于时，函数值都趋向于，所以不一定连续。不成立，反例：，这和不成立同
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