24-第一章 导数及其应用 小结与复习(2).doc

复习课:导数及其综合应用（2）教学目标重点：定积分的计算和简单应用。难点：利用定积分求平面区域围成的面积.能力点：培养学生的分析问题解决问题的能力、抽象思维能力.教育点：提高学生的认知水平，综合解题能力，为学生构建完整的数学知识结构.自主探究点：例题及变式的解题思路的探寻.易错点：学生在计算上容易出错；求函数的原函数时容易出错学法与教具1.学法：讲授法、讨论法. 2.教具：多媒体.一、【知识结构】几何意义，物理意义导数的概念基本初等函数的导数导数导数的运算法则单调性导数的应用生活中的优化问题最值极值 定积分与图形的计算定积分与微积分定积分在物理中的应用二、【知识梳理】1、定积分概念定积分定义：如果函数在区间上连续，用分点，将区间等分成几个小区间，在每一个小区间上任取一点，作和，当时，上述和无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作，即，这里、分别叫做积分的下限与上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.2、定积分性质（1）；（2）（3）3、微积分基本定理一般地，如果是在上有定义的连续函数，是在上可微，并且，则，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼兹公式，为了方便，常常把，记作，即.4、常见求定积分的公式（1）（2）（C为常数）（3）（4）（5）（6）（7）三、【范例导航】题型一、定积分的计算例1 计算常见函数的定积分（1）（2）（3）【分析】根据微积分基本定理，只须由求导公式找出导数为，的函数就可，这就要求基本求导公式非常熟悉. 【解答】（解：（1） （2） （3）【点评】简单的定积分计算只需熟记公式即可变式训练：1 计算： 答案：8.2= 答案：78.例2计算:【分析】：我们要直接求的原函数比较困难，但我们可以将先变式化为，再求积分，利用上述公式就较容易求得结果，方法简便易行.【解答】： 【点评】较复杂函数的积分，往往难以直接找到原函数，常常需先化简、变式、换元变成基本初等函数的四则运算后，再求定积分例3计算分段函数的定积分求【分析】：首先是通过绝对值表示的分段函数，同时又是函数复合函数与的运算式，所以我们在计算时必须先把积分区间分段，分别求定积分.解析： 【点评】若被积函数含绝对值，往往化成分段函数分段积分.变式训练:设 则=（ ）答案：题型二、求平面区域的面积例1、求在上，由轴及正弦曲线围成的图形的面积.【分析】：因为在上，其图象在轴上方；在上，其图象在轴下方，此时定积分为图形面积的相反数，应加绝对值才表示面积.y【解答】：作出在上的图象如右0x 与轴交于0、，所2求积【点评】利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：第一步：画出图形，确定图形范围第二步：解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限第三步：确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置第四步：计算定积分，求出平面图形面积2. 求曲线，及所围成的平面图形的面积.【分析】：图形由两部分构成，第一部分在区间上，及围成，第一部分在上由与围成，所以所求面积应为两部分面积之和.y=x2y=2xy【解答】：作出，及的图如右B(2,4)解方程组 得 A(1,1)y=x21xo解方程组 得 所求面积 答：此平面图形的面积为题型三、定积分的实际应用汽车每小时54公里的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速度3米/秒刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里？【分析】汽车刹车过程是一个减速运动过程，我们可以利用定积分算出汽车在这个过程中所走过的路程，计算之前应先算出这一过程所耗费的时间和减速运动变化式.【解答】：由题意，千米/时米/秒，令得153t=0，t=5，即5秒时，汽车停车.所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为公里答：汽车走了0.0373公里.【点评】tvaboV=v(t)若作变速直线运动的物体的速度关于时间的函数为，由定积分的物理意义可知，作变速运动物体在时间内的路程s是曲边梯形（阴影部分）的面积，即路程；如果时，则路程.四、【解法小结】1. 简单的定积分计算只需熟记公式即可；较复杂函数的积分，往往难以直接找到原函数，常常需先化简、变式、换元变成基本初等函数的四则运算后，再求定积分；若被积函数含绝对值，往往化成分段函数分段积分2. 利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：第一步：画出图形，确定图形范围第二步：解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限第三步：确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置第四步：计算定积分，求出平面图形面积.4.在解决等差等比数列的综合题时重点在于读懂题意正确利用定义、通项公式及前项的和公式及关系是解决问题的关键.5.在数列问题中注意函数与方程的思想、分类讨论的思想的应用.五、【布置作业】必做题：1. = 2. 3. = 4. 求由抛物线与直线及所围成图形的面积.必做题答案：1. 78 2. 3. 4.， 选做题：1. 已知求函数的最小值.【分析】：这里函数、都是以积分形式给出的，我们可以先用牛顿莱布尼兹公式求出与，再用导数求法求出的最小值.【解答】： 当时，最小=1 当时，最小=1【点评】这是一道把积分上限函数、二次函数最值，参数混合在一起综合题，重点是要分清各变量关系. 积分、导数、函数单调些，最值、解析式交汇出题是近几年高考命题热点，把它们之间的相互关系弄清是我们解此类问题的关键。2. 一物体按规律做直线运动，式中为时间t内通过的距离，媒质的阻力与速度的平方成正比（比例常数为），试求物体由运动到时，阻力所做的功.【分析】：要求变力所做的功，必须先求出变力对位称的变化函数，这里的变力即媒质阻力，然后根据定积分可求阻力所做之功.【解答】：因为物体的速度所以媒质阻力当时，当时，阻力所做功六、【教后反思】1.本教案的亮点是：例题选择典型，关注定积分的基