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文档简介

第五节 两个重要极限教学目的：1 使学生理解极限存在的两个准则； 2 使学生掌握利用两个重要极限求极限的方法；教学重点：利用两个重要极限求极限教学过程：一、讲授新课：准则I：如果数列满足下列条件：（i）对;（ii）那么，数列的极限存在，且。证明：因为，所以对，当时，有，即 ，对，当时，有，即，又因为，所以当时，有， 即有：，即，所以 。准则I如果函数满足下列条件：（i）当时，有。（ii）当时，有。那么当时，的极限存在，且等于。第一个重要极限：作为准则I的应用，下面将证明第一个重要极限：。证明：作单位圆，如下图：设为圆心角，并设见图不难发现：，即：，即 ， （因为，所以上不等式不改变方向） 当改变符号时，及1的值均不变，故对满足的一切 ，有。 又因为， 所以 而 ，证毕。【例1】。【例2】。【例3】。【例4】。准则：单调有界数列必有极限 如果数列满足：，就称之为单调增加数列；若满足：，就称之为单调减少数列；同理亦有严格单增或单减，以上通称为单减数列和严格单减数列。 如果，使得：，就称数列为有上界；若，使得：，就称有下界。准则：单调上升，且有上界的数列必有极限。准则: 单调下降，且有下界的数列必有极限。注1：由前已知，有界数列未必有极限，若加单调性，就有极限。 2：准则，可推广到函数情形中去，在此不一一陈述了。第二个重要极限：作为准则的一个应用，下面来证明极限是不存在的。先考虑取正整数时的情形：对于，有不等式：，即：，即：（i）现令，显然，因为将其代入，所以，所以为单调数列。（ii）又令，所以 ，即对， 又对所以是有界的。由准则或知 存在，并使用来表示，即注 1：关于此极限存在性的证明，书上有不同的方法，希望同学自己看！ 2：我们可证明：，具体在此不证明了，书上也有，由证明过程知：。 3：指数函数及自然对数中的底就
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