《新高考全案》高考数学 142排列与组合课件 人教版.ppt

1 排列的定义 1 一般地 从n个不同元素中取出m m n 个元素 按照排成一列 叫做从n个不同元素中取出m个元素的 2 两个排列相同 当且仅当两个排列的 且元素的 3 n个不同元素的一个排列 叫做n个元素的一个全排列 一定的顺序 一个排列 元素完全相同 排列顺序也相同 全部取出 2 排列数的定义和排列数公式 1 排列数 从n个不同元素中取出m m n 个元素的叫做从n个不同元素中取出m个元素的 用符号anm表示 全排列数公式 ann n n 1 n 2 3 2 1 n 也叫做 所有不同排列的个数 排列数 n的阶乘 3 记住下列几个阶乘 0 1 1 1 2 2 3 6 4 24 5 120 6 720 7 5040 3 组合的定义 1 一般地 从n个不同元素中取出m m n 个元素合成一组 叫做从n个不同元素中取出m个元素的 2 只要两个组合的 不论元素的顺序如何 都是 一个组合 元素相同 相同的组合 3 排列与组合的共同点与区别 两者都是从n个不同元素中取出m m n 个元素 这是排列 组合的共同点 两者的不同点是 4 组合数的定义和组合数公式 1 从n个不同元素中取出m m n 个元素的 叫做从n个不同元素中取出m个元素的 用符号cnm表示 排列与元素的顺序有关 组合与元素的顺序无关 所有不同组合的个数 组合数 1 2009 四川卷理 3位男生和3位女生共6位同学站成一排 若男生甲不站两端 3位女生中有且只有两位女生相邻 则不同排法的种数是 a 360b 188c 216d 96 解析 本小题考查排列综合问题 基础题 解法一 6位同学站成一排 3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有a33c32a42a22 332种 其中男生甲站两端的有a21a22c32a32a22 144 符合条件的排法故共有188 解法二 由题意有2a22 c32 a22 c21 c31 a22 c32 a22 a42 188 选b 答案 b 2 2011 惠州二模 从4名男生和3名女生中选出4人参加迎新座谈会 若这4人中必须既有男生又有女生 不同的选法共有 a 140种b 120种c 35种d 34种 解析 由题意 可分为三种情况 1男3女 2男2女 3男1女 其选法分别为c41c33 c42c32 c43c31 故共有c41c33 c42c32 c43c31 34种选法 故选d 答案 d 3 2010 北京 4 8名学生和2位老师站成一排合影 2位老师不相邻的排法种数为 a a88a92b a88c92c a88a72d a88c72 解析 不相邻问题用插空法 8名学生先排有a88种 产生9个空 2位老师插空有a92种排法 所以最终有a88 a92种排法 故选a 答案 a 3名男生4名女生排成一列 求满足下列不同要求下的排法数 1 甲 乙两人排在两头 2 甲 乙两人必须排在一起 3 男生必须排在一起 4 男生互不相邻 5 甲 乙 丙三人自左而右的顺序保持不变 6 甲 乙两人之间恰有3人 7 若7人高矮互不相同 要求从左到右 女生从矮到高排列 解 1 先排甲 乙两人 共有a22种排法 其余5人有a55种排法 故共有a22a55 240种排法 2 将甲 乙两人看成一个元素 与其余5人一起进行全排列 有a66种排法 又甲 乙两人之间有a22种排法 故共有a66a22 1440种排法 解法二 由于甲 乙 丙顺序一定 故只需在7个位置中任选4个位置让其余4人进行排列即可 故所求不同的排列数为a74 840 6 先选3人排在甲 乙之间 有a53种排法 而甲 乙之间有a22种排法 再把这5人看成一个整体 当成一个元素与剩余2人进行全排列 有a33种排法 故共有a53 a22 a33 720种排法 7 先在7个位置上任取4个位置排男生 有a74种排法 剩下3个位置排女生 因要求 从矮到高 只有一种排法 故共有a74 1 840种排法 点评与警示 站队问题 是排列中具有典型意义的问题 在解答有关排列问题的应用题时 要遵循 先分类后分步 先特殊后一般 先选元后排队 等原则 对受条件限制的特殊元素或特殊位置 一般采用直接法 即特殊者优先考虑 再考虑一般的元素和位置 对于必须相邻的元素通常采用 捆绑 法 即可以把相邻元素看作一个整体再与其他元素进行排列 注意相邻元素之间是否还要排列 即 松绑 对于元素不相邻的排列 通常采用 插空法 即先考虑不受限制的元素的排列 再将不相邻的元素插在前面已排好的元素之间的空档中或两端 此外 对于分类较多 限制条件较多等情形可用间接法 正难则反 是处理较复杂排列问题的一个重要策略 3名男生4名女生排成一列 求满足下列不同要求下的排法数 1 甲 乙两人不能排在一起 2 甲不在最左边 乙不在最右边 3 男生站在一起 女生也站在一起 4 男女生相间 5 甲必须站在乙的左边 可不相邻 6 若7人身高均不相同 要求正中间的个子最高 从中间向两边看 一个比一个矮 7 甲必须站在中间 并且乙 丙两位同学要站在一起 解 1 先排其余5人 有a55种排法 此五人之间及两端有6个位置让甲 乙去排 有a62种排法 故共有a55a62 3600种排法 2 解法一 先排最左边 让除了甲之外的6人中的一人去排 有a61种排法 其余6个位置的全排列有a66种排法 其中乙排在最右边时的排法有a51 a55种 故共有a61 a66 a51 a55 3720种排法 解法二 由于甲不在最左边 因此分为两类 第一类是甲排在第二 三 四 五 六个位置时 有a51种排法 此时乙有a51种排法 剩下的5人有a55种排法 第二类是甲排在最右边时 其余6人有a66种排法 综上所述 共有a51 a51a55 a66 3720种排法 解法三 7个人的全排列 有a77种排法 其中甲在最左边时有a66种排法 乙在最右边时有a66种排法 这两种情形都包含了甲在最左边 乙在最右边的情形 此时有a55种排法 故共有a77 2a66 a55 3720种排法 3 分别将3名男生 4名女生看成一个元素 其排法有a22种排法 而男生间的排法有a33种 女生间的排法有a44种 故共有a22a33a44 288种排法 4 3名男生 4名女生要求男女生相间排列 是指 女男女男女男女 故共有a33a44 144种排法 有9本不同的书 下列情况各共有多少种不同分法 1 分成3堆 每堆3本 2 分成3堆 每堆分别为2本 3本 4本 3 分给甲2本 乙3本 丙4本 4 分给甲 乙 丙3人 其中甲 乙各得2本 丙得5本 5 分给甲 乙两人各1本 丙 丁两人各2本 戊3本 2 分为三步 第一步从9本书中选2本 有c92种选法 第二步从余下的7本书中选3本 有c73种选法 最后余下的四本全选 有c44种选法 由分步乘法计数原理 共有c92c73c44 1260种方法 3 先从9本书中取2本给甲 再从余下的7本书中取3本给乙 最后剩下的4本书全给丙 故共有c92c73c44 1260种给法 本题实质上与问题 2 一致 4 分步可得 共有c92c72c55 756种分法 5 甲先选 有c91种方法 乙再选 有c81种方法 丙再选 有c72种方法 丁再选 有c52种 剩下的3本给戊 所以共有c91c81c72c52c33 15120种分法 点评与警示 本题是一个分堆 分配问题 解决的关键是要搞清事件是否与顺序有关 前者堆与堆之间只要元素个数相同是不可区分的 而后者则即使两组元素个数相同 但因组不同 仍然是可区分的 解决这类问题的方法是以位置为主 或以元素为主 或先分堆后排列 注意平均分堆问题要除以堆数的全排列数 不平均分堆则不需要除 避免产生计数的重复或遗漏 有9本不同的书 下列情况各有多少种不同分法 1 分给3个人 每人3本 2 分给甲 乙 丙3人 一人3本 一人4本 一人2本 3 分成3堆 其中有2堆各2本 另一堆5本 4 分成的本数分别为1 1 2 2 3的五堆 5 摆在3层书架上 每层3本 有5张卡片 它们的正 反面分别写着0与1 2与3 4与5 6与7 8与9 将其中任意三张并排放在一起组成三位数 共可组成多少个不同的三位数 解 解法一 由于0不能排在百位 而0与1在同一卡片上 故可从0与1这张卡片入手 分为三类 第一类 取0不取1 先从另外4张卡片中任选一张排在百位 有c41种方法 0可排在十位或个位 有c21种排法 再从剩下的三张卡片中任取一张排在余下的位置上 有c31种方法 又除含0的那张外 其它两张都有正面 反面两种可能 故共有c41c21c3122 96个不同的三位数 第二类 取1不取0 先从另外四张卡片中任取两张 有c42种取法 其中每张卡片都有正 反面两种排法 三张卡片排成三位数 有a33 c42 22 144个 第三类 0和1都不取 有c43a33 23 192个不同的三位数 综上所述 共有不同的三位数为96 144 192 432个 解法二 从五张卡片中任取三张可以组成不同的三位数有c53a33 23 480个 其中不符合题意的是0排在百位时有c4222a22 48个 故共有不同的三位数有480 48 432个 点评与警示 本题考查有条件限制的排列组合问题的解决方法和分类讨论的数学思想 每张卡片都有正面与反面两种可能 因此既可以用直接法 也可以用间接法 特别需要注意的是分类讨论时要做到不漏不重 1 四面体的一个顶点为a 从其他顶点和各棱中点中取3个点 使它们和点a在同一个平面上 有多少种不同取法 2 四面体的顶点和各棱中点共10个点 在其中取4个不共面的点 有多少种不同取法 解 1 如图 含顶点a的3个面上 除点a外都有5个点 从中取出3点必与点a共面 共有c53 3 30种取法 含顶点a的三条棱上各有三个点 它们与所对的棱的中点共面 共有3种取法 因此 与顶点a共面的3点的取法有30 3 33种 2 间接法 从10个顶点中取4个点有c104种取法 其中从四面体每一个面上的6个点任取出的4点必定共面 有4c64 60种取法 四面体的每一条棱上3点与相对棱中点必共面 共有6种情况 三对对棱中点中任两对对棱中点必共面 有c32 3种情况 综上所述 从四面体的顶点和各棱中点共10个点中取出4点的不共面的取法有c104 60 6 3 141种 4个不同的球 4个不同的盒子 把球全部放入盒内 1 恰有1个盒不放球 共有几种放法 2 恰有1个盒内有2个球 共有几种放法 3 恰有2个盒不放球 共有几种放法 分析 把不放球的盒子先拿走 再放球到余下的盒子中并且不空 解 1 为保证 恰有1个盒不放球 先从4个盒子中任意取出去一个 问题转化为 4个球 3个盒子 每个盒子都要放入球 共有几种放法 即把4个球分成2 1 1的三组 然后再从3个盒子中选1个放2个球 其余2个球放在另外2个盒子内 由分步乘法计数原理 共有c41c42c31 a22 144种 2 恰有1个盒内有2个球 即另外3个盒子放2个球 每个盒子至多放1个球 也即另外3个盒子中恰有一个空盒 因此 恰有1个盒内有2个球 与 恰有1个盒不放球 是同一件事 所以共有144种放法 点评与警示 排列 组合综合题目 一般是将符合要求的元素取出 组合 或进行分组 再对取出的元素或分好的组进行排列 其中分组时 要注意 平均分组 与 不平均分组 的差异及分类的标准 7个相同的小球 任意放入4个不同的盒子中 试问 每个盒子都不空的放法共有多少种 解 解法一 先将其中4个相同的小球放入4个盒子中 有1种放法 再将其余3个相同的小球放入4个不同的盒子中 有以下3种情况 1 某一个盒子放3个小球 就可从这4个不同的盒子中任选一个放入这3个小球 有c41种不同的放法 2 这3个小球分别放入其中的3个盒子中 就相当于从4个不同的盒子中任选3个盒子 分别放入这3个相同的小球 有c43种不同放法 3 这3个小球中有两个小球放在1个盒子中 另1个小球放在另一个盒子中 从这4个不同的盒子中任选两个盒子排成一列 有a42种不同的方法 综上可知 满足题设条件的放法为c41 c43 a42 20 种 解法二 每个盒子都不空 的含义是 每个盒子中至少