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文档简介
基础知识1 等差数列前n项和sn na1 d 推导方法 等比数列前n项和sn 推导方法 倒序相加法 乘公比 错位相减 2 常见数列的前n项和 1 2 3 n 2 4 6 2n 1 3 5 2n 1 12 22 32 n2 13 23 33 n3 无穷等比 q 1 数列各项和s n2 n n2 3 数列求和的常见方法有 1 分组求和 把一个数列分成几个可以直接求和的数列 2 拆项相消 有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式 相加过程消去中间项 只剩有限项再求和 3 错位相减 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和 4 倒序相加 例如 等差数列前n项和公式的推导方法 4 常见的拆项公式有 7 n n n 8 an sn sn 1 n 2 n 1 易错知识一 利用公式求和不注意项数易出错1 s 1 2 22 23 2n 答案 2n 1 1二 不注意分类易出错2 s a 2a2 3a3 nan a r 答案 a 答案 b 3 教材改编题 数列9 99 999 的前n项和为 解析 9 10 1 99 102 1 999 103 1 所求数列的和为sn 10 1 102 1 103 1 10n 1 10 102 103 10n n答案 d 4 2011 原创题 已知数列 an 的前n项和sn n2 则 例1 已知 an 是等比数列 a1 2 a4 54 bn 是等差数列 b1 2 b1 b2 b3 b4 a1 a2 a3 1 求数列 an 的通项公式及前n项和sn的公式 2 求数列 bn 的通项公式 3 设un b1 b4 b7 b3n 2 其中n 1 2 求u10的值 解析 1 设数列 an 的公比为q 由a4 a1q3得q3 27 q 3 所以数列 an 的通项公式为an 2 3n 1 数列 an 的前n项和公式sn 3n 1 2 设数列 bn 的公差为d b1 b2 b3 b4 4b1 d 8 6d 由b1 b2 b3 b4 a1 a2 a3 2 2 3 2 32 26 得8 6d 26 d 3 所以bn b1 n 1 d 3n 1 3 b1 b4 b7 b3n 2组成以3d为公差的等差数列 所以u10 10b1 3d 425 2009 四川 求数列1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 的前n项和 分析 依其结构特征知 只须求出和式中的最后一个奇数 便知其和为前n个奇数之和 又由于数列中各项的奇数的个数与项数一致 从而知各项的奇数个数构成的数列1 2 3 n 可以由此入手解答 解析 解法一 由于该数列的前n项共有1 2 3 n 个奇数 最末一个数字应为2 1 n2 n 1 sn 解法二 依该数列的排列特征可知 第n项an中的第一个奇数是第1 2 3 n 1 1 1个奇数 这个奇数是 1 n2 n 1 从而推知第n项an中的第n个 末位 数字是n2 n 1 2 n 1 n2 n 1 故sn a1 a2 a3 an 13 23 33 n3 总结评述 根据所给的结构特征 寻找项数之间的规律 是实现问题转化的主要途径 而转化求和又是研究和探求数列求和问题的重要手段 例2 2009 北京朝阳4月 已知数列 an 的前n项和为sn 点 n 在直线y 上 数列 bn 满足bn 2 2bn 1 bn 0 n n 且b3 11 前9项和为153 1 求数列 an bn 的通项公式 2 设cn 数列 cn 的前n项和为tn 求使不等式tn 对一切n n 都成立的最大正整数k的值 所以 bn 为等差数列 于是 153 而b3 11 故b7 23 d 3 因此bn b3 3 n 3 3n 2 即bn 3n 2 n n 因此tn单调递增 故 tn min 令得k 19 所以kmax 18 在数列 an 中 又bn 求数列 bn 的前n项的和 数列 bn 的前n项的和 总结评述 对于裂项后有明显相消项的一类数列 在求和时常采用 裂项求和法 分式的求和多利用此法 可用待定系数法对通项公式进行拆项 相消时应注意消去项的规律 即消去了哪些项 保留哪些项 错位相减法就是推导等比数列前n项和公式的方法 一般地 若 an 是等差数列 bn 是等比数列 则求 an bn 的前n项和一般采用此法 此法有特定的操作程序 要注意熟练掌握基本技能 例3 2007 山东 17 设数列 an 满足a1 3a2 32a3 3n 1an n n 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn 求数列 bn 的前n项和sn 解析 1 a1 3a2 32a3 3n 1an 当n 2时 a1 3a2 32a3 3n 2an 1 得3n 1an an 在 中 令n 1 得a1 an 2 bn bn n 3n sn 3 2 32 3 33 n 3n 3sn 32 2 33 3 34 n 3n 1 得2sn n3n 1 3 32 33 3n 即2sn n 3n 1 设 an 是等差数列 bn 是各项都为正数的等比数列 且a1 b1 1 a3 b5 21 a5 b3 13 1 求 an bn 的通项公式 2 求数列的前n项和sn 解析 1 设 an 的公差为d bn 的公比为q 则依题意有q 0且解得d 2 q 2 所以 an 1 n 1 d 2n 1 bn qn 1 2n 1 例4 已知数列 an 的前n项和sn n 1 2n 1 是否存在等差数列 bn 使an 对一切自然数n均成立 解析 由公式an 依条件先求出an的通项 再由倒序相加法得出结论 当n 1时 a1 s1 1 当n 2时 an sn sn 1 n 1 2n 1 n 2 2n 1 1 2n 1 2n 2 n 2 n 2n 1 因a1 1满足n 2时an的式子 an n 2n 1 n n 假设存在等差数列 bn 满足条件 设b0 0 且 bn n n 仍成等差数列 则令bn n 显然n 0时 b0 0 故存在等差数列 bn 满足已知等式 设f x 利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法 可求得f 12 f 11 f 10 f 0 f 11 f 12 f 13 的值为 令s26 f 12 f 11 f 10 f 0 f 11 f 12 f 13 又s26 f 13 f 12 f 11 f 11 f 12 则2s26 f 12 f 13 f 11 f 12 f 13 f 12 故选d 答案 d 1 在直接用公式求和时 要注意公式的应用范
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