高三数学一轮复习 第十章《统计与概率》106精品课件.ppt

重点难点重点 1 两个计数原理的理解和应用 2 排列与组合的定义 计算公式 组合数的两个性质 难点 1 如何区分实际问题中的 类 与 步 2 组合数的性质和有限制条件的排列组合问题 知识归纳1 分类加法计数原理做一件事 完成它有n类办法 在第1类办法中有m1种不同的方法 在第2类办法中有m2种不同的方法 在第n类办法中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有n m1 m2 mn种不同的方法 2 分步乘法计数原理做一件事 完成它需要分成n个步骤 做第一步有m1种不同的方法 做第二步有m2种不同的方法 做第n步有mn种不同的方法 那么完成这件事共有n m1 m2 mn种不同的方法 2 组合数的两个性质 cnm cnn m cn 1m cnm cnm 1 误区警示1 正确区分 分类 与 分步 恰当地进行分类 使分类后不重 不漏 2 正确区分是组合问题还是排列问题 要把 定序 和 有序 区分开来 3 正确区分分堆问题和分配问题 一 分类 与 分步 应该如何理解与区分 1 分类 做一件事 完成它可以有n类办法 每一类办法中的每一种方法都能将这件事完成 分类时 首先据问题特点确定一个合理的分类标准 在这个 标准 下分类能够做到 完成这件事的任何一种方法必须属于其中的某一类 不漏 分别在不同两类中的两种方法不能相同 不重复 2 分步 做一件事 完成它需要分成n个步骤 这是说完成这件事的任何一种方法 都要分成n个步骤 必须并且只需连续完成这n个步骤后 这件事才算最终完成 所以区分一种分法是分类还是分步就看这种分法中的一种方法能否完成这件事情 二 排列 组合问题的类型及解答策略排列 组合问题 通常都是以选择题或填空题的形式出现在试卷上 它联系实际 生动有趣 但题型多样 解法灵活 实践证明 备考有效的方法是将题型与解法归类 识别模式 熟练运用 下面介绍常见排列组合问题的解答策略 1 相邻元素捆绑法 在解决某几个元素必须相邻问题时 可整体考虑将相邻元素视为一个元素参与排列 例1 2010 重庆理 9 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班 每天安排1人 每人值班1天 若7位员工中的甲 乙排在相邻两天 丙不排在10月1日 丁不排在10月7日 则不同的安排方案共有 a 504种b 960种c 1008种d 1108种分析 甲 乙相邻看作一个元素与其它元素一块排 由于丙不排在第1天丁不排在第7天 因此按甲乙的排位进行分类 解析 甲 乙相邻的所有方案有a22a66 1440种 其中丙排在10月1日的和丁排在10月7日的一样多 各有 a22a55 240种 其中丙排在10月1日且丁排在10月7日的有a22a44 48种 故符合题设要求的不同安排方案有 1440 2 240 48 1008种 故选c 答案 c 2 相离问题插空法 相离问题是指要求某些元素不能相邻 由其它元素将它隔开 此类问题可以先将其它元素排好 再将所指定的不相邻的元素插入到它们的空隙及两端位置 故称 插空法 例2 2010 北京理 4 8名学生和2位老师站成一排合影 2位老师不相邻的排法种数为 a a88a92b a88c92c a88a72d a88c72 解析 将所有学生先排列 有a88种排法 然后将两位老师插入9个空中 共有a92种排法 因此一共有a88a92种排法 答案 a 3 定序问题属组合 排列时 如果限定某些元素或所有元素保持一定顺序称为定序问题 定序的元素属组合问题 例3 信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号 现有3面红旗 2面白旗 把这5面旗都挂上去 可表示不同信号的种数是 解法2 定序问题属组合 五面旗占五个位置 从中选取两个位置挂白旗 其余位置则挂红旗 有c52 10种方法 答案 10 4 定元 定位优先排 在有限制条件的排列 组合问题中 有时限定某元素必须排在某位置 某元素不能排在某位置 有时限定某位置只能排 或不能排 某元素 这种特殊元素 位置 解题时要优先考虑 例4 2010 山东理 某台小型晚会由6个节目组成 演出顺序有如下要求 节目甲必须排在前两位 节目乙不能排在第一位 节目丙必须排在最后一位 该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 a 36种b 42种c 48种d 54种分析 丙占最后一位不必考虑 甲在前两位 乙不在第一位 故应以甲为标准进行分类 解析 若甲在第一位有a44 24种方法 若甲在第二位有c31a33 18种方法 故共有18 24 42种方法 答案 b 5 至多 至少间接法 含 至多 至少 的排列组合问题 是需要分类问题 可用间接法 即排除法 但仅适用于反面情况明确且易于计算的情况 例5 09 湖南 从10名大学毕业生中选3人担任村长助理 则甲 乙至少有1人入选 而丙没有入选的不同选法的种数为 a 85b 56c 49d 28解析 甲 乙 丙都没入选有c73 35种 丙没有入选的有c93 84种 故甲 乙至少有1人入选而丙没有入选的不同选法种数有84 35 49 种 答案 c 6 选排问题先选后排法 对于排列组合的混合应用题 一般解法是先选 组合 后排 排列 例6 四个不同的小球放入编号为1 2 3 4的四个盒子中 则恰有一个空盒的放法共有 种 用数字作答 解析 先从四个小球中取两个放在一起 有c42种不同的取法 再把取出的两个小球与另外两个小球看作三堆 并分别放入四个盒子中的三个盒子中 有a43种不同的放法 据分步计数原理 共有c42 a43 144种不同的放法 答案 144 7 部分符合条件淘汰法 在选取总数中 只有一部分符合条件 可从总数中减去不符合条件数 即为所求 例7 过三棱柱任意两个顶点的直线共15条 其中异面直线有 a 18对b 24对c 30对d 36对解析 三棱柱共6个顶点 由此6个顶点可组成c64 3 12个不同四面体 而每个四面体有三对异面直线则共有12 3 36对 答案 d 8 数字问题首位不能为0 例8 09 陕西 从0 1 2 3 4 5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数 组成没有重复数字的四位数的个数为 a 300b 216c 180d 162解析 分两类 选0 从其余2个偶数中选1个 从3个奇数中选2个 首位不排0 故有c21c32c31a33 108 种 不选0 从3个奇数中选2个与另2个偶数 排成四位数 共有排法c32a44 72 种 共有108 72 180 种 故选c 答案 c 三 建模思想 例9 一只电子蚂蚁在如图所示的网格线上由原点o 0 0 出发 沿向上或向右方向爬至点 m n m n n 记可能的爬行方法总数为f m n 则f m n 解析 从原点o出发 只能向上或向右方向爬行 记向上为1 向右为0 则爬到点 m n 需m个0和n个1 这样爬行方法总数f m n 是m个0和n个1的不同排列方法数 m个0和n个1共占m n个位置 只要从中选取m个放0即可 f m n cm nm 答案 cm nm点评 例如f 3 4 c73其中0010111表示从原点出发后 沿右右上右上上上的路径爬行 抽象建模后就是一个含相同数字的纯粹排列组合问题 例10 方程x y z 8的非负整数解的个数为 解析 把x y z分别看作是x个1 y个1和z个1 则共有8个1 问题抽象为8个1和两个十号的一个排列问题 由于x y z非负 故允许十号相邻 如11 111111表示x 2 y 0 z 6 11111111 表示x 0 y 8 z 0等等 不同排法总数为从10个位置中选取2个放十号 方程的非负整数解共有c102 45个 答案 45 例11 一条街道上共有12盏路灯 为节约用电又不影响照明 决定每天晚上十点熄灭其中的4盏 并且不能熄灭相邻两盏也不能熄灭两头两盏 问不同熄灯方法有多少种 解析 记熄灭的灯为0 亮灯为1 则问题是4个0和8个1的一个排列 并且要求0不相邻 且不排在两端 故先将1排好 在8个1形成的7个空中 选取4个插入0 共有方法数c74 35种 点评 实际解题中 先找出符合题设条件的一种情形 然后选取一种替代方案 注意是否相邻 相间等受限条件 然后确定有无顺序是排列还是组合 再去求解 例12 如图 从上往下读 不能跳读 构成句子 构建和谐社会 创美好未来 的不同读法种数是 构建建和和和谐谐谐谐社社社社社会会会会会会创创创创创美美美美好好好未未来 a 250b 240c 252d 300解析 要组成题设中的句子 则每行读一字 不能跳读 每一种读法须10步完成 从上一个字到下一个字为一步 其中5步是从左上角到右下角方向读的 故共有不同读法c105 252种 答案 c 四 枚举法 例13 如果直线a与b异面 则称a与b为一对异面直线 六棱锥的侧棱与底边共12条棱所在的直线中 异面直线共有 对 解析 六棱锥的侧棱都相交 底面六条边所在直线都共面 故异面直线只可能是侧棱与底面上的边 考察pa与底面六条边所在直线可用枚举法列出所有异面直线 pa bc pa cd pa de pa ef 共四对 同理与其它侧棱异面的底边也各有4条 故共有4 6 24对 答案 24 例1 若直线方程ax by 0中的a b可以从0 1 2 3 5这五个数字中任取两个不同的数字 则方程所表示的不同直线一共有 条 分析 方程ax by 0表示直线 a与b至多有一个为0 故按a b中是否含0进行分类 解析 分两类 第一类 a b均不为零 a b的取值共有a42 12种方法 第二类 a b中有一个为0 则不同的直线仅有两条x 0和y 0 共有不同直线14条 答案 14 2010 重庆一中 高三某学生计划报名参加某7所高校中的4所学校的自主招生考试 其中仅甲 乙两所学校的考试时间相同 因此该学生不能同时报考这两所学校 那么该学生不同的报考方法有 种 a 20b 25c 30d 35分析 按该学生报考的学校中是否含有甲 乙两所学校进行分类 解析 报考学校甲的方法有c53 报考学校乙的方法有c53 甲 乙都不报的方法有c54 共有2c53 c54 25种 答案 b 例2 如图所示 用五种不同的颜色分别给a b c d四个区域涂色 相邻区域必须涂不同颜色 若允许同一种颜色多次使用 则不同的涂色方法共有 a 180种b 120种c 96种d 60种 分析 完成涂色任务可以分成四个步骤 第一步给a区域涂色 第二 三 四步依次给b c d区域涂色 四个步骤全完成 涂色任务才完成 解析 按区域分四步 第一步a区域有5种颜色可选 第二步b区域有4种颜色可选 第三步c区域有3种颜色可选 第四步d区域也有3种颜色可选 由分步计数原理 共有5 4 3 3 180 种 答案 a 点评 相邻区域必须涂不同色 不相邻区域可以涂同色 故四个区域只有a与d可涂相同颜色 因此可按使用的颜色种类进行分类 用四色 a54种 和用三色 a53种 2010 山东日照模考 某校园有一椭圆型花坛 分成如图四块种花 现有4种不同颜色的花可供选择 要求每块地只能种一种颜色 且有公共边界的两块不能种同一种颜色 则不同的种植方法共有 a 48种b 36种c 30种d 24种解析 解法1 由于相邻两块不能种同一种颜色 故至少应当用三种颜色 故分两类 第一类 用4色有a44种 第二类 用3色有c43a33种 故共有a44 c43a33 48种 解法2 1处有4种颜色可选 2处有3种颜色可选 3处有2种颜色可选 4种也有2种颜色可选 由分步乘法计数原理知 共有4 3 2 2 48种 答案 a 例3 09 全国 甲组有5名男同学 3名女同学 乙组有6名男同学 2名女同学 若从甲 乙两组中各选出2名同学 则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有 a 150种b 180种c 300种d 345种分析 选出的4人中恰有1名女同学 我们就围绕这名女同学是哪个组来的展开讨论 解析 若这名女同学是甲组的 则选法有c31c51c62种 若这名女同学是乙组的 则选法有c52c21c61种 符合条件的选法共有c31c51c62 c52c21c61 345种 选d 答案 d 2010 全国卷 理 6 某校开设a类选修课3门 b类选修课4门 一位同学从中共选3门 若要求两类课程中各至少选一门 则不同的选法共有 a 30种b 35种c 42种d 48种解析 可分以下2种情况 1 a类选修课选1门 b类选修课选2门 有c31c42种不同的选法 2 a类选修课选2门 b类选修课选1门 有c32c41种不同的选法 所以不同的选法共有c31c42 c32c41 18 12 30种 答案 a 点评 解答排列组合问题 审题时一定要抓住其关键语句 即题眼 本题中 两类课程中各至少一门 就是题眼 对此语句的分析 产生分类标准 请再做下题 注意先找出题眼 2010 湖南考试院调研 从5位男生 4位女生中选派4位代表参加一项活动 其中至少有两位男生 且至少有1位女生的选法共有 a 80种b 100种c 120种d 240种 解析 包括两种情形 一是2男2女有c52 c42种方法 二是3男1女有c53c41种方法 共有c52c42 c53c41 100种方法 故答案为b 例4 从6人中选4人分别到巴黎 伦敦 悉尼 莫斯科四个城市游览 要求每个城市有一人游览 每人只游览一个城市 且这6人中甲 乙两人不去巴黎游览 则不同的选择方案共有 a 300种b 240种c 144种d 96种 解析 解法1 分类计数 不选甲 乙 则n1 a44 24 只选甲 则n2 c43c31a33 72 只选乙 则n3 c43c31a33 72 选甲 乙 则n4 c42a32a22 72 n n1 n2 n3 n4 240 解法2 一类无甲 乙有a44种 二类甲 乙有一人参加有c21c31a43 三类甲乙都参加有c42c21a33 共有240种 选b 解法3 甲 乙两人不去巴黎 从另外四人中选一人有c41种 剩余5人选3人分别去三个城市有a53种 共c41a53 240种 解法4 无限制条件下共有方案c64a44种 其中甲或乙一定去巴黎的方案有2c53a33 甲 乙不去巴黎的方案有c64a44 2c53a33 240种 解法5 间接法 从6人中选4人去四个城市的方案有a64其中甲去巴黎的方案有a53种 乙去巴黎的方案有a53种 共有 a64 a53 a53 240种 答案 b 总结评述 显然当所求事件的分类数过多时 用间接法较简捷 对于排列 组合这个考点 重点是要分清是排列还是组合 是分类还是分步 应重点训练发散思维 对同一道题从不同角度寻求解法 一生产过程有4道工序 每道工序需要安排一人照看 现从甲 乙 丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序 第一道工序只能从甲 乙两工人中安排1人 第四道工序只能从甲 丙两工人中安排1人 则不同的安排方案共有 a 24种b 36种c 48种d 72种 解析 甲照看第一道工序 则第四道工序只能安排丙 不同安排方法有a42种 甲照看第四道工序 则同上可得有a42种 甲不照看第一和第四道工序 则第一道工序只能由乙 第四道只能由丙照看 共有不同照看方法a42种 共有3a42 36种 选b 答案 b 例5 有6本不同的书 1 甲 乙 丙3人每人2本 有多少种不同的分法 2 分成3堆 每堆2本 有多少种不同的分堆方法 3 分成3堆 一堆1本 一堆2本 一堆3本 有多少种不同的分堆方法 4 分给甲 乙 丙3人 一人1本 一人2本 一人3本 有多少种不同的分配方法 5 分成3堆 有2堆各1本 另一堆4本 有多少种不同的分堆方法 6 摆在3层书架上 每层2本 有多少种不同的摆法 解析 1 在6本书中 先取2本给甲 再从剩下4本书中取2本给乙 最后2本给丙 共有c62c42c22 90 种 3 从6本书中 先取1本作一堆 再在剩下的5本中取2本作一堆 最后3本作一堆 共有c61c52 60 种 某企业要从其下属6个工厂中抽调8名工程技术人员组成课题攻关小组 每厂至少调1人 则这8个名额的分配方案共有 a 15种b 21种c 30种d 36种 解析 由题意本题分两类办法完成 第一类从6个工厂中选一个工厂抽调3名工程技术人员 其它5个工厂各抽1人 有c61种方法 第二类从6个工厂中选两个工厂各抽调2名 其他4个工厂各抽1人 有c62种方法 8个名额的分配方案共有c61 c62 21种 答案 b点评 可用建模法解 8个名额可视作8个0 6个厂每厂至少调1人可看作将这8个0分成6堆 每堆至少1个 故从7个空中选5个插入1 将它们分开 有分配方案c75 21种 例6 09 天津 用数字0 1 2 3 4 5 6组成没有重复数字的四位数 其中个位 十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个 用数字作答 分析 数字问题首先看是否有0 0不能在首位 其次看有无其它限制条件 如奇数 偶数 能被某数整除的数等 本题中要求 个位 十位 百位上数字之和为偶数 因此解决本题应从这儿着手 解析 要使个位 十位和百位上的数字之和为偶数 可以分为两种情况 1 个位 十位和百位上的数字均为偶数 此时一种情形是四个数字全为偶数 有a31 a33 或a44 a33 个 另一种情形是首位为奇数 其余三位为偶数 有a31 a43个 共有a31a33 a31a43 90个 2 个位 十位和百位上的数字有两个是奇数 一个偶数 此时包括两种情况 一种情况是只含一个偶数 有c41a31a33个 另一种情况是有两个偶数 不含0时 有c32 a32 a32个 含0时 有c32a32a32个 共有c41a31a33 c32a32a32 c32a32a31 234个 总共有90 234 324个 答案 324 09 北京 用0到9这10个数字 可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 a 324b 328c 360d 648解析 利用分类计数原理 共分两类 1 0作个位 共a92 72个偶数 2 0不作个位 共a41 a81 a81 256个偶数 共计72 256 328个偶数 故选b 答案 b 解析 由题意知 当m 1时 n可等于2 3 8共对应7个不同的椭圆 当m 2时 n可等于1 3 8共对应7个不同的椭圆 同理可得 当m 3 4 5 6 7 8时各分别对应7个不同的椭圆 当m 9时 n可等于1 2 3 8共对应8个不同的椭圆 同理 当m 10时 对应8个不同的椭圆 综上所述 共7 8 8 2 72个 故选b 答案 b 一 选择题1 2010 湖北黄冈 从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会 若这4人必须既有男生又有女生 则不同的选法共有 a 34种b 35种c 120种d 140种 答案 a 解析 4人中既有男生又有女生包括 3男1女 2男2女和1男3女三种情形 共有不同选法c43c31 c42c32 c41c33 34种 点评 可运用间接法求解 7人中有4男3女 选取的4人除去4个全部为男生外 其余选法都是既有男生 也有女生 共有不同选法 c74 c44 35 1 34种 2 2010 北京顺义一中模考 一次演出 原计划要排4个节目 因临时有变化 拟再添加2个小品节目 若保持原有4个节目的相对顺序不变 则这6个节目不同的排列方法有 a 30种b 25种c 24种d 20种 答案 a 解析 原来4个节目的相对顺序不变 故4个节目形成5个空档 将这两个节目插入 一 当两节目不相邻时 有a52 20种选法 二 当两节目相邻时 有a22 c51 10种排法 共有20 10 30种不同排法 答案 b 二 填空题4 从 3 2 1 0 1 2 3 4这8个数中任选3个不同的数组成二次函数y ax2 bx c的系数a b c 则所确定的抛物线中 坐标原点在抛物线弧内部的概率为 请同学们认真完成课后强化作业 答案 c 解析 如图 由于每行每列都有一块试验田种植水稻 当1处种植水稻时 只能是 1 5 9 或 1 6 8 依此可列出所有可能种植方法为 1 5 9 1 6 8 2 6 7 2 4 9 3 5 7 3 4 8 共6种 又从9块试验田中选3块的选法为c93 2 2010 河北邯郸市模考 在冬奥会比赛中 要从4名男运动员和5名女运动员中 任选3人参加某项比赛 其中男女运动员至少各有一名的不同选法共有 a 140种b 80种c 70种d 35种 答案 c 解析 选出的3人中包括1男2女和1女2男两种情形 故不同选法共有c41 c52 c42c51 40 30 70种 3 2010 广西柳州市模考 将甲乙两人在内的7名医生分成三个医疗小组 一组3人 另两组每组各2人 则甲乙不分在同一组的分法有 a 80种b 90种c 25种d 120种 答案 a 4 显示屏有一排7个小孔 每个小孔可显示0或1 若每次显示其中3个孔 但相邻两孔不能同时显示 则该显示屏能显示信号的种数共有 a 10种b 48种c 60种d 80种 答案 d 解析 注意到显示的两孔不能相邻 故采用 插空法 先把不显示的4个孔排好 元素相同 只有一种排法 再将显示的3个孔插入 有5个位置可以选择 共有c53 10种不同排法 又因为显示的每个小孔可以产生两种不同信号 所以共产生10 23 80种信号 5 2010 全国 将标号为1 2 3 4 5 6的6张卡片放入3个不同的信封中 若每个信封放2张 其中标号为1 2的卡片放入同一信封 则不同的放法共有 a 12种b 18种c 36种d 54种 答案 b 解析 先从三个信封中选取一个放数字1 2 有c31种选法 再从3 4 5 6中选取两个放入一个信封中 则剩下的两个数字在另一个信封中 有放法c42种 共有不同放法 c31 c42 18种 答案 c 7 定义整数集合a与b的运算a b如下 a b x y x a y b 且x y为偶数 若a 1 0 1 b 1 2 3 4 则集合a b中的元素个数为 a 12b 6c 4d 2 答案 b 解析 x 1时 y 1 3 x 0时 y 2 4 x 1时 y 1 3 故选b 8 2010 延边州 河北唐山质检 将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作 每个场馆至少分配一名志愿者的方案数为 a 540b 300c 180d 150 答案 d 9 2010 北京市西城区抽检 从3名男同学1名女同学中选出3人 分别担任班长 体委 宣委职务 其中女同学不能担任体委职务 那么不同的任职方案共有 种 用数字作答 答案 18 解析 按选出的3人中有无女同学分类 第一