高三数学第一轮复习 第11编 3推理与证明课件 新人教B版.ppt

学案3推理与证明 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考纲解读 返回目录 考向预测 1 推理在高考中虽然很少刻意去考查 但实际上对推理的考查无处不在 从近几年的高考题来看 大部分题目主要考查命题转换 逻辑分析和推理能力 证明题是高考中常考的题型之一 2 综合法 分析法是证明不等式常用的方法 不等式的证明近年来高考虽然淡化了单纯的证明题 但是以能力立意的 与证明有关的综合题却频繁出现 常常与函数 数列 三角等综合 考查逻辑推理能力 是高考考查的一项重要内容 3 反证法在高考中虽很少单独命题 但是有时运用反证法的证题思路判断 分析命题有独到之处 4 数学归纳法作为一种重要的数学思想方法 在高考中有可能单独命题 更可能的是通过不同的形式来考查 归纳 猜想 证明 这一基本思想方法 返回目录 1 合情推理的基本概念 1 从结构上说 推理一般是由两部分组成 一部分是已知的事实 或假设 叫做 一部分是由已知推出的判断 叫做 前提 结论 返回目录 2 合情推理的主要形式有和 2 演绎推理的基本概念 1 根据一般性的真命题 或逻辑规则 导出特殊性命题为真的推理 叫做 2 把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做 3 直接证明的有关概念 1 直接证明是从命题的或出发 根据已知的定义 公理 定理 推证结论的真实性 归纳推理类比推理 演绎推理 完全归纳推理 条件结论 直接 返回目录 2 常用的直接证明方法有与 3 综合法是从推导到的思维方法 而分析法是一种从追溯到的思维方法 具体地说 综合法是从已知条件出发 经过逐步的推理 最后达到待证结论 分析法则是从待证结论出发 一步一步寻求结论成立的条件 最后达到题设的已知条件或已被证明的事实 综合法分析法 原因结果 结果 产生这一结果的原因 充分 返回目录 4 间接证明的相关概念 1 一般地 由证明p q转向证明 q r t t与假设矛盾 或与某个真命题矛盾 从而判定q为假 推出q为真的方法 叫做反证法 2 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾 这个矛盾可以是与矛盾 或与矛盾 或与矛盾等 公认的简单事实 假设 数学公理 定理 公式 定义或已被证明了的结论 返回目录 5 数学归纳法的概念设 pn 是一个与自然数相关的命题集合 如果 1 证明起始命题成立 2 在假设成立的前提下 推出pk 1也成立 那么可以断定 pn 对一切正整数 或自然数 成立 6 数学归纳法证明命题的步骤 1 归纳奠基 证明当n取第一个值 例如或 时 命题成立 2 归纳递推 假设 k n0 k n 时命题成立 证明当时命题也成立 只要完成这两个步骤就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 n k 1 p1 或p0 pk n n0 n0 1 n0 2 n k 返回目录 分析 根据已知条件和递推关系 先求出数列的前几项 然后总结归纳其中的规律 写出其通项 考点1归纳推理 在数列 an 中 a1 1 an 1 n n 猜想这个数列的通项公式 返回目录 解析 an 中 a1 1 a2 a3 a4 所以猜想 an 的通项公式an 证明如下 因为a1 1 an 1 所以即所以数列是以 1为首项 公差为的等差数列 所以 所以通项公式an 返回目录 通过归纳推理得出的结论可能正确 也可能不正确 它的正确性需通过严格的证明 猜想所得结论即可用演绎推理给出证明 虽然由归纳推理所得出的结论未必是正确的 但它所具有的由特殊到一般 由具体到抽象的认识过程 对于数学的发现 科学的发明是十分有用的 通过观察实验 对有限的资料作归纳整理 提出带有规律性的猜想 也是数学研究的基本方法之一 归纳推理的一般步骤是 1 通过观察个别情况发现某些相同性质 2 从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题 猜想 返回目录 设f n n2 n 41 n n 计算 f 1 f 2 f 3 f 4 f 10 的值 同时作出归纳推理 并用n 40验证猜想是否正确 返回目录 f 1 12 1 41 43 f 2 22 2 41 47 f 3 32 3 41 53 f 4 42 4 41 61 f 5 52 5 41 72 f 6 62 6 41 83 f 7 72 7 41 97 f 8 82 8 41 113 f 9 92 9 41 131 f 10 102 10 41 151 43 57 53 61 71 83 97 113 131 151都为质数 归纳猜想 当n n 时 f n n2 n 41的值都为质数 当n 40时 f 40 402 40 41 40 40 1 41 41 41 f 40 的值是合数 因此 由上面归纳推理得到的猜想不正确 返回目录 在 abc中 ab ac于a ad bc于d 求证 那么在四面体abcd中 类比上述结论 你能得到怎样的猜想 并说明理由 分析 首先利用综合法证明结论正确 然后依据直角三角形与四面体之间形状的对比猜想结论 并予以证明 考点2类比推理 返回目录 证明 如图所示 由射影定理得ad2 bd dc ab2 bd bc ac2 bc dc 又bc2 ab2 ac2 猜想 类比ab ac ad bc猜想四面体abcd中 ab ac ad两两垂直 返回目录 ae 平面bcd 则如图 连结be交cd于f 连结af ab ac ab ad ab 平面acd 而af 面acd ab af 而rt abf中 ae bf 在rt acd中 af cd 故猜想正确 返回目录 根据两类不同事物之间具有的某些类似 或一致 性 推测其中一类事物具有与另一类事物类似 或相同 的性质 这样的推理叫类比推理 简称类比 类比推理是由特殊到特殊的一种推理形式 类比的结论可能是真的 也可能是假的 所以类比推理属于合情推理 虽然类比推理的结论可能为真 也可能为假 但是它由特殊到特殊的认识功能 对于发现新的规律和事实却十分有用 类比推理应从具体问题出发 通过观察 分析 联想进行对比 归纳 提出猜想 平面图形中的面积与空间图形中的体积常常是类比的两类对象 类比推理的一般步骤是 1 找出两类事物之间的相似性或一致性 2 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质 得出一个明确的命题 猜想 返回目录 2009年高考江苏卷 在平面上 若两个正三角形的边长比为1 2 则它们的面积比为1 4 类似地 在空间中 若两个正四面体的棱长比为1 2 则它们的体积比为 答案 1 8 解析 两个正三角形是相似的三角形 它们的面积之比是相似比的平方 同理 两个正四面体是两个相似几何体 体积之比为相似比的立方 所以它们的体积比为1 8 返回目录 在锐角三角形abc中 ad bc be ac d e是垂足 求证 ab的中点m到d e的距离相等 考点3演绎推理 分析 解答本题需要利用直角三角形斜边上的中线性质作为大前提 返回目录 证明 1 因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形 大前提在 abd中 ad bc 即 adb 90 小前提所以 abd是直角三角形 结论 2 因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 大前提而m是rt abd斜边ab的中点 dm是斜边上的中线 小前提所以dm ab 同理em ab 所以dm em 返回目录 演绎推理的主要形式就是由大前提 小前提推出结论的三段论推理 三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是 若集合m的所有元素都具有性质p s是m的子集 那么s中所有元素都具有性质p 三段论的公式中包含三个判断 第一个判断称为大前提 它提供了一个一般的原理 第二个判断叫小前提 它指出了一个特殊情况 这两个判断联合起来 揭示了一般原理和特殊情况的内在联系 从而产生了第三个判断结论 演绎推理是一种必然性推理 演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系 因而 只要前提是真实的 推理的形式是正确的 那么结论必定是真实的 但错误的前提可能导致错误的结论 返回目录 证明 根据题意 0 0 0 又tan tan tan 0 如图是三个拼在一起的正方形 求证 返回目录 证明 要证只要证 a 0 故只要证 考点4分析法证明 已知a 0 求证 分析 所给条件简单 所证结论复杂 一般采用分析法 返回目录 从而只要证只要证即 而上述不等式显然成立 故原不等式成立 即 返回目录 分析法是数学中常用到的一种直接证明方法 就证明程序来讲 它是一种从未知到已知 从结论到题设 的逻辑推理方法 具体地说 即先假设所要证明的结论是正确的 由此逐步推出保证此结论成立的充分条件 而当这些判断恰恰都是已证的命题 定义 公理 定理 法则 公式等 或要证命题的已知条件时命题得证 返回目录 已知0 a 1 0 b 1 0 c 1 求证 返回目录 证明 a 0 b 0 c 0 要证 只需证1 ab bc ca a b c abc 即1 ab bc ca a b c abc 0 1 ab bc ca a b c abc 1 a 1 b 1 c 且a 1 b 1 c 1 1 a 1 b 1 c 0 1 ab bc ca a b c abc 0成立 返回目录 分析 不等式中的a b c为对称的 所以从基本的不等式定理入手 先考虑两个正数的均值定理 再根据不等式性质推导出证明的结论 考点5综合法证明 已知a b c 0 求证 a3 b3 c3 a2 b2 c2 a b c 返回目录 证明 a2 b2 2ab a 0 b 0 a2 b2 a b 2ab a b a3 b3 a2b ab2 2ab a b 2a2b 2ab2 a3 b3 a2b ab2 同理 b3 c3 b2c bc2 a3 c3 a2c ac2 将三式相加得 2 a3 b3 c3 a2b ab2 bc2 b2c a2c ac2 3 a3 b3 c3 a3 a2b a2c b3 b2a b2c c3 c2a c2b a b c a2 b2 c2 a3 b3 c3 a2 b2 c2 a b c 返回目录 1 在用综合法证明不等式时 常利用不等式的基本性质 如同向不等式相加 同向不等式相乘等 但在运用这些性质时 一定要注意这些性质成立的前提条件 简言之 综合法是一种由因索果的证明方法 其逻辑依据也是三段论式的演绎推理方法 2 一般问题都是用综合法解决的 要保证前提条件正确 推理合乎规律 这样才能保证结论的正确性 返回目录 在锐角三角形abc中 求证 sina sinb sinc cosa cosb cosc 返回目录 证明 锐角三角形abc中 a b a b 0 b a 又 在 0 内正弦函数是单调递增函数 sina sin b cosb 即sina cosb 同理 sinb cosc sinc cosa 由 得sina sinb sinc cosa cosb cosc 返回目录 分析 本题结论以 至少 形式出现 从正面思考有多种形式 不易入手 故可用反证法加以证明 考点6反证法 若x y都是正实数 且x y 2 求证 或中至少有一个成立 返回目录 证明 假设 都不成立 则有和同时成立 因为x 0且y 0 所以1 x 2y 且1 y 2x 两式相加 得2 x y 2x 2y 所以x y 2 这与已知条件x y 2矛盾 因此 中至少有一个成立 返回目录 1 当一个命题的结论是以 至多 至少 唯一 或以否定形式出现时 宜用反证法来证 反证法关键是在正确的推理下得出矛盾 矛盾可以是 与已知条件矛盾 与假设矛盾 与定义 公理 定理矛盾 与事实矛盾等方面 反证法常常是解决某些 疑难 问题的有力工具 是数学证明中的一件有力武器 2 利用反证法证明问题时 要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明的定理 否则 将出现循环论证的错误 返回目录 已知数列 an 的前n项的和sn满足sn 2an 3n n n 1 求证 an 3 为等比数列 并求 an 的通项公式 2 数列 an 是否存在三项使它们按原顺序可以构成等差数列 若存在 求出一组适合条件的项 若不存在 请说明理由 返回目录 1 证明 sn 2an 3n n n a1 s1 2a1 3 a1 3 sn 2an 3nsn 1 2an 1 3 n 1 得an 1 sn 1 sn 2an 1 2an 3 an 1 3 2 an 3 an 3 是首项为a1 3 6 公比为2的等比数列 an 3 6 2n 1 即an 3 2n 1 又由 返回目录 2 假设数列 an 中存在三项ar as at r s t 它们可以构成等差数列 由 1 知ar as at 则2as ar at 6 2s 1 3 2r 1 3 2t 1 即2s 1 2r 2t 2s 1 r 1 2t r r s t均为正整数且r s t 左边为偶数而右边为奇数 假设不成立 即数列 an 不存在三项使它们按照原顺序可以构成等差数列 返回目录 已知数列 an 其中a2 6且 1 求a1 a3 a4 2 求数列 an 的通项公式 3 设数列 bn 为等差数列 其中且c为不等于零的常数 若sn b1 b2 bn 求 考点7数学归纲法 返回目录 分析 数列 an 既不是等差数列 又不是等比数列 要求其通项公式 只能根据给出的递推式和初始值a2 分别计算出a1 a3 a4 然后归纳猜想出通项公式an 并用数学归纳法加以证明 数列 bn 虽然是等差数列 但无法直接求得b1和公差d 而只能利用递推式和an的通项公式 求出参数c的值 从而求得bn和sn 利用拆项法求得的和 返回目录 解析 1 由题意得a2 6 解得a1 1 a3 15 a4 28 返回目录 2 由此猜想an n 2n 1 下面用数学归纳法加以证明 当n 1时 a1 1 2 1 1结论成立 假设n k时 结论正确 即ak k 2k 1 则当n k 1时 有 所以 k 1 ak 1 k 1 ak k 1 k 1 k 2k 1 k 1 k 1 2k2 k 1 k 1 2k 1 k 1 k 1 0 所以ak 1 k 1 2 k 1 1 即当n k 1时 结论成立 由 可知 an 的通项公式an n 2n 1 返回目录 3 证明 因为 bn 是等差数列 所以2b2 b1 b3 所以因为a1 1 a2 6 a3 15且c 0 由上式解得c 所以故sn b1