辽宁省沈阳二中高三数学上学期期中试题 文（含解析）新人教A版.doc

辽宁省沈阳二中2015届高三上学期期中考试数学文试题 【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本能力为载体，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，试题重点考查：集合、不等式、向量、导数、简单的线性规划、圆锥曲线，数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)【题文】1.直线的倾斜角的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【知识点】直线的倾斜角与斜率、直线的方程h1【答案解析】b 由直线的方程可知其斜率k，设直线的倾斜角为，则tan，且0，)，所以0，)故选b【思路点拨】先求出斜率的取值范围，再求出倾斜角的范围。【题文】2. 已知集合，则 ( )a0b.1 c.01d.12【知识点】集合及其运算a1【答案解析】b 对于集合：m：由xx2，解得0x1，m=x|0x10x1，14x4.2n=y|y2mn=x|x1故选b【思路点拨】利用一元二次不等式的解法和指数函数的性质可化简集合m，n再利用交集的运算即可得出【题文】3. 下列有关命题的说法正确的是 ( )a命题“若，则”的否命题为：“若，则”b“” 是“”的必要不充分条件.c命题“若，则”的逆否命题为真命题.d命题“使得”的否定是：“均有”【知识点】命题及其关系、充分条件、必要条件a2【答案解析】c 命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x21，则x1”所以，选项a不正确；由x=-1，能够得到x2-5x-6=0反之，由x2-5x-6=0，得到x=-1或x=6所以，“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件所以，选项b不正确；“若x=y”，则“sinx=siny”为真命题，所以其逆否命题也为真命题所以，选项c正确；命题“x0r，x02+x0+10”的否定是“对xr，x2+x+10”所以，选项d不正确故选c【思路点拨】题目给出的四个命题，a是写出一个命题的否命题，既要否定条件，又要否定结论；b是分析充要条件问题，由x=-1，一定能得到x2-5x-6=0，反之，由x2-5x-6=0，得到的x的值还可能是6；c是考查互为逆否命题的两个命题共真假；d是考查特称命题的否定，特称命题的否定式全称命题【题文】4. 已知各项均为正数的等比数列中，成等差数列，则（ ）a. 27 b.3 c.或3 d.1或27【知识点】等差数列等比数列 d2 d3【答案解析】a 成等差数列3a1+2a2=a3，3a1+2a1q=a1q2q2-2q-3=0q0q=3=q3=27故选a【思路点拨】由已知可得，3a1+2a2=a3，结合等比数列的通项公式可求公比q，而=q3，代入即可求解.【题文】5. 函数的定义域为，则函数的定义域为 ( )a bc d 【知识点】函数及其表示b1【答案解析】d 函数的定义域（0,1）所以01，010则或故选d.【思路点拨】根据复合函数的定义域对数函数的性质求出定义域。【题文】6. 已知,则 ( )abcd 【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式c2【答案解析】c cos（x- ）=-，cosx+cos（x- ）=cosx+cosxcos+sinxsin=cosx+sinx=（cosx+sinx）=cos（x-）=（-）=-1故选c【思路点拨】利用两角和与差的余弦函数将cosx+cos（x- ）化为cos（x-）即可【题文】7. 已知x，y满足记目标函数的最小值为1，最大值为7，则的值分别为 （ ）a. -1，-2 b. -2，-1 c. 1，2 d. 1，-2【知识点】简单的线性规划问题e5【答案解析】a 由题意得知，直线x+by+c=0经过和的交点，即经过（3,1）和（1，-1）点，所以则b=-1,c=-2.【思路点拨】求出直线的交点判断何时取到最值求出b,c.【题文】8已知等比数列满足0，1,2，且，则当1时， （ ）an(2n1) b(n1)2 cn2 d(n1)2【知识点】等比数列及等比数列前n项和d3【答案解析】c 由等比数列的性质可得an2=a5a2n-5=22n，=（2n）2，an0，an=2n，故数列首项a1=2，公比q=2，故log2a1+log2a3+log2a2n-1=log2a1a3a2n-1=log2(a1)nq0+2+4+2n-2=log22n2=log22n+n2-n=log22n2=n2，故答案为c.【思路点拨】由题意可得an=2n，可得数列首项a1=2，公比q=2，进而可得原式=log2(a1)nq0+2+4+2n-2，代入由对数的性质化简可得答案【题文】9.已知x，且函数f(x)的最小值为b，若函数g(x)，则不等式g(x)1的解集为 ( )a. b. c. d.【知识点】三角函数的图象与性质c3【答案解析】d x(0,)，tanx0f(x)=(3tanx+)= 当且仅当tanx=，即x=时取等号因此b=不等式g（x）1x或，解得x因此不等式f（x）1的解集为,(，)=，)故选d【思路点拨】利用三角函数的平方关系和商数关系及基本不等式即可得出f（x）的最小值即b再利用一元二次不等式的解法、交集与并集的运算即可得出【题文】10.设 f1，f2是双曲线c：(a0，b0)的左、右焦点，过f1的直线与的左、右两支分别交于a，b两点若 | ab | : | bf2 | : | af2 |3:4 : 5，则双曲线的离心率为（ ）a b c2 d【知识点】双曲线及其几何性质h6【答案解析】 由|ab|:|bf2|:|af2|3:4 :5设由定义可知,【思路点拨】双曲线定义：双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值等于定值（长轴长），求离心率的值需找关于的方程【题文】11若曲线f(x，y)0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f(x，y)0的“自公切线”下列方程：x2y21；yx2|x|；y3sin x4cos x；|x|1对应的曲线中存在“自公切线”的有 ( )a b c d【知识点】双曲线及其几何性质周期性b4 h6【答案解析】b x2-y2=1是一个等轴双曲线，没有自公切线；y=x2-|x|=，在x=和x=-处的切线都是y=-，故有自公切线y=3sinx+4cosx=5sin（x+），cos= ，sin=，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线由于|x|+1=，即x2+2|x|+y2-3=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线故答案为b【思路点拨】x2-y2=1是一个等轴双曲线，没有自公切线；在x=和x=-处的切线都是y=-，故有自公切线此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线结合图象可得，此曲线没有自公切线【题文】12.函数，在定义域上表示的曲线过原点，且在处的切线斜率均为.有以下命题：是奇函数；若内递减，则的最大值为4；的最大值为m，最小值为m，则；若对恒成立，则的最大值为2.其中正确命题的个数为 （ ）1个 b.2个 c.3个 d.4个【知识点】导数的应用b12【答案解析】b 函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象过原点，可得c=0；又f（x）=3x2+2ax+b，且f（x）在x=1处的切线斜率均为-1，则有，解得a=0，b=-4所以f（x）=x3-4x，f（x）=3x2-4可见f（x）=x3-4x是奇函数，因此正确；x-2，2时，f（x）min=-4，则kf（x）恒成立，需k-4，因此错误令f（x）=0，得x=所以f（x）在-，内递减，则|t-s|的最大值为，因此错误；且f（x）的极大值为f（-）=，极小值为f（）=-，两端点处f（-2）=f（2）=0，所以f（x）的最大值为m=，最小值为m=-，则m+m=0，因此正确故选b【思路点拨】首先利用导数的几何意义及函数f（x）过原点，列方程组求出f（x）的解析式；然后根据奇函数的定义判断函数f（x）的奇偶性，且由f（x）的最小值求出k的最大值，则命题得出判断；最后令f（x）=0，求出f（x）的极值点，进而求得f（x）的单调区间与最值，则命题得出判断第卷（90分）【题文】二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分.【题文】13. 若函数在上可导，则 .【知识点】定积分与微积分基本定理b13【答案解析】-4 f（x）=x3+x2f（1），f（x）=3x2+2xf（1），f（1）=3+2f（1），f（1）=-3，f（x）=x3-3x2，f(x)dx=（x4-x3）=4-8=-4，故答案为：-4【思路点拨】先根据导数的运算法则求导，再求出f（1）=-3，再根据定积分的计算法计算即可【题文】14. 若且，则的最小值为 .【知识点】函数的单调性与最值b3【答案解析】 x，y为非负数且x+2y=1，x=1-2y0，解得0yf（y）=2x+3y2=3y2+2（1-2y）=3(y-)2+，因此f（y）在0，上单调递减，当y=，x=0时，函数f（y）取得最小值，f()=故答案为【思路点拨】x，y为非负数且x+2y=1，可得x=1-2y0，解得0y可得f（y）=2x+3y2=3y2+2（1-2y）=3(y- )2+，再利用二次函数的单调性即可得出【题文】15.抛物线c的顶点在原点，焦点f与双曲线的右焦点重合，过点p（2,0）且斜率为1的直线与抛物线c交于a,b两点，则弦ab的中点到抛物线准线的距离为_【知识点】抛物线及其几何性质h7【答案解析】11 设抛物线方程为y2=2px（p0），则焦点f与双曲线的右焦点重合，f（3，0），=3，p=6，抛物线方程为y2=12x设a（x1，y1），b（x2，y2）过点p（2，0）且斜率为1的直线l的方程为y=x-2，代入抛物线方程得x2-16x+4=0x1+x2=16，弦ab的中点到抛物线的准线的距离为=11故答案为：11【思路点拨】利用焦点f与双曲线的右焦点重合，求出抛物线方程，过点p（2，0）且斜率为1的直线l的方程为y=x-2，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合抛物线的定义，即可得出结论【题文】16.对于实数a,b,定义运算：设，且关于x的方程恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是_【知识点】函数与方程b9【答案解析】(，0) 2x-1x-1时，有x0，根据题意得f（x）= 即f（x）= 画出函数的图象从图象上观察当关于x的方程为f（x）=m（mr）恰有三个互不相等的实数根时，m的取值范围是（0，），当-x2+x=m时，有x1x2=m，当2x2-x=m时，由于直线与抛物线的交点在y轴的左边，得到x3= ，x1x2x3=m（）= ，m（0，）令y=，则y=(1-)，又h(m)= +在m（0，）上是增函数，故有h（m）h（0）=1y=(1-)0在m（0，）上成立，函数y=在这个区间（0，）上是一个减函数，函数的值域是（f（），f（0），即(，0),故答案为：(，0)【思路点拨】根据所给的新定义，写出函数的分段形式的解析式，画出函数的图象，在图象上可以看出当直线与函数的图象有三个不同的交点时m的取值，根据一元二次方程的根与系数之间的关系，写出两个根的积和第三个根，表示出三个根之积，根据导数判断出函数的单调性，求出关于m的函数的值域，得到结果【题文】三、解答题：本大题共六个大题，满分70；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【题文】17.（本题满分10分） （1）已知，且，求的值；（2）已知为第二象限角，且，求的值.【知识点】两角和与差的正弦、余弦、正切c5【答案解析】（1）（2）（1），sin=，sin（+）=，cos=cos（+）-=cos（+）cos+sin（+）sin=-+=；（2）为第二象限角，sin=，cos=-=，=【思路点拨】（1）由已知可得sin和sin（+），代入cos=cos（+）-=cos（+）cos+sin（+）sin，化简可得；（2）由已知可得cos的值，由三角函数的公式化简要求的式子，代入化简可得【题文】18. (本题满分12分)在锐角三角形abc中，a、b、c分别是角a、b、c的对边，且.()求角的大小； ()若的最大值【知识点】解三角形c8【答案解析】() ()4()由a2csin a0及正弦定理，得sin a2sin csin a0(sin a0)， sin c，abc是锐角三角形，c ()c2，c，由余弦定理，a2b22abcos 4，即a2b2ab4 (ab)243ab432，即(ab)216， ab4，当且仅当ab2取“”故ab的最大值是4.【思路点拨】根据正限定求出角，根据余弦定理和均值不等式求出最大值。【题文】19（本题满分12分）设数列是等差数列，数列的前项和满足且（）求数列和的通项公式：（）设，设为的前n项和，求.【知识点】 等差数列等比数列数列求和d2 d3 d4【答案解析】(1) , . （2）（1）数列bn的前n项和sn满足sn=（bn-1），b1=s1=(b1-1)，解得b1=3当n2时，bn=sn-sn-1=(bn-1)- (bn-1-1)，化为bn=3bn-1数列bn为等比数列，bn=33n-1=3na2=b1=3，a5=b2=9设等差数列an的公差为d，解得d=2，a1=1an=2n-1综上可得：an=2n-1，bn=3n（2）cn=anbn=（2n-1）3ntn=3+332+533+（2n-3）3n-1+（2n-1）3n，3tn=32+333+（2n-3）3n+（2n-1）3n+1-2tn=3+232+233+23n-（2n-1）3n+1=-（2n-1）3n+1-3=（2-2n）3n+1-6tn=3+(n-1)3n+1【思路点拨】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出【题文】20.（本题满分12分）设椭圆c：的离心率，右焦点到直线的距离，o为坐标原点.（1）求椭圆c的方程；（2）过点o作两条互相垂直的射线，与椭圆c分别交于a,b两点，证明：点o到直线ab的距离为定值，并求弦ab长度的最小值。【知识点】椭圆及其几何性质h5【答案解析】(1) (2) ：（i）由得=即a=2c，b=c由右焦点到直线的距离为d=，得=，解得a=2，b=所以椭圆c的方程为 (2)设a，当直线ab的斜率不存在时，又，解得，即o到直线ab的距离，当直线的斜率存在时，直线ab的方程为y=kx+m,与椭圆联立消去y得，即，整理得o到直线ab的距离当且仅当oa=ob时取“=”有得,即弦ab的长度的最小值是【思路点拨】（i）利用离心率求得a和c的关系式，同时利用点到直线的距离求得a，b和c的关系最后联立才求得a和b，则椭圆的方程可得（ii）设出a，b和直线ab的方程与椭圆方程联立消去