几何画板在圆锥曲线中的应用.doc

几何画板在圆锥曲线中的应用 摘 要：如今信息技术与数学教学综合研究已成为热门话题。其中以数学理论为基础的几何画板因其能充分反映物体运动变化而被广泛应用于数学教学进程中。高中阶段的圆锥曲线抽象难懂，很多学生难以完全理解和接受。本文主要运用几何画板形象直观地展现了圆锥曲线的轨迹形成及其应用，使得数与形得到很好的结合，通过创设合适的教学情境，这既能完整准确地传授知识，也能提高学生的学习兴趣。 关键词：几何画板；圆锥曲线；轨迹；应用 Abstract：Nowadays, the comprehensive study on information technology and mathematics teaching has become a hot topic. The Geometric Sketchpad what is based on the mathematic theory, now is widely used in the mathematic teaching process, because it can reflect the change of the motion of the object. The conic curve is very difficult for the high school students understanding and accepting completely, because the conic curve is abstract and difficult. This paper is mainly use the Geometric Sketchpad to show the conic trajectory formation and its application visually, it makes a great combination between the number and the form, and it establishes the proper teaching situations. It not only can impart the knowledge to the students completely and accurately, but also can improve the students learning interests. Key words：Geometric Sketchpad; conic curve; trajectory; application 几何画板是一个通用的数学、物理教学环境，集图象的制作、动画、测算、文字输入，编辑等为一体，为“几何模型”的构建提供了一个有效的场所。在高中数学中的圆锥曲线的相关知识，具有一定的抽象性和复杂性，解决这类问题也常采用“数形结合”的数学思想，通过构建与之等价的几何模型来得以解决。但在传统的课堂教学中，仅借助一块黑板，一支粉笔的教学手段，往往准确性不够，为学生对问题本质的理解和认识带来了障碍。本文主要运用几何画板的形象直观性，为圆锥曲线创造了一条便捷的通道，它可以解决学生难以准确绘制的图形，提供了图形变换的动感，丰富多彩的动画模型，给学生一种耳目一新的视觉感受，使学生从画面中去寻求到问题解决的方法和依据，并从画面中去认清问题的本质，另外其丰富的测算功能使得对问题的观察，试验和归纳成为现实。1 几何画板实现圆锥曲线的定义 概念是数学知识中最普遍的形式，是深入学习的基础和前提。圆锥曲线的概念抽象难懂，对于空间想象能力不足的中学生来说，接受这样的一个复杂的新概念是比较困难的，大部分教师仍然用传统的教学方法，例如用黑板粉笔和尺规来进行教学画图，或者直接应用结果，学生可以接收但是很难理解它的形成过程。而新的数学课程标准强调了学习新知探索的过程，于是以下就利用几何画板的准确性和直观性来研究几例典型的圆锥曲线的概念。1.1 几何画板实现椭圆的第一定义 椭圆的第一定义：平面内到两定点的距离的和等于常数的动点P的轨迹叫做椭圆。其中点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。【作图过程】（1） 打开几何画板，点击【编辑】-【参数选项】，单击“文本”选项然后点击“确定”；（2） 用“线段”工具作线段AB（线段AB的长度为椭圆的长轴2a），用“点”工具在线段AB上任作一点C；（3） 选择A、C，点击【变换】-【标记向量】“AC”，在线段AB外任取一点，选择点，点击【变换】-【平移】选择“按标记的向量”，得到点，先后选择点与，点击【构造】-【以圆心和圆周上的点画圆】，隐藏点；（4） 同样的，标记向量“BC”，另任作一点，使其与点的距离小于线段AB的长度（线段的长度为2c），选择点，单击【变换】-【平移】选择“按标记的向量”，得到点，先后选择点与，点击【构造】-【以圆心和圆周上的点画圆】，隐藏点；（5） 选择两圆，点击【作图】-【交点】，作出两圆的交点E和G；（6） 选择点E和G，点击【构造】-【轨迹】，作出了椭圆的下半部分，同样选择点G和C，点击【构造】-【轨迹】，作出了椭圆的下半部分；（7） 选择点E和G，点击【显示】-【追踪点】，选择点C，点击【编辑】-【操作类按钮】-【动画】，弹出对话框，选择“双向”，按“动画”按钮完成设置，实现动态定义。 如图1.1所示，该轨迹为以点为焦点，长轴为AB 长度的椭圆。图1.11.2 几何画板实现双曲线的第一定义 双曲线的第一定义：平面内到两定点的距离的差的绝对值等于常数的动点P的轨迹叫做双曲线。其中点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。【作图过程】（1） 打开几何画板，选择【图标】-【定义坐标系】，用“点”工具在x轴左侧上任画一点，双击y轴，选择点，点击【变换】-【反射】，得到的对称点,用他们作为两个焦点；（2） 选择“线段”工具，在x轴外作一条直线AB，使得，AB线段的长度要小于之间的距离；（3） 选择点和线段AB，点击【构造】-【以圆心和半径画圆】，用“点”工具在圆上任取一点P；（4） 分别选择点P和，点P和，点击【构造】-【线段】，选择线段,点击【构造】-【中点】，作出中点C;（5） 选择中点C和线段，点击【构造】-【垂线】，作出垂线j,点击【构造】-【交点】记为点M；（6） 选择点M和点，选择【构造】-【线段】，选择点M和点P，点击【构造】-【轨迹】，作出双曲线。（7） 选择点M,点击【显示】-【追踪点】，选择点P,点击【编辑】-【操作类按钮】-【动画】，弹出对话框，选择“双向”，按“动画”按钮完成设置，实现动态定义。 如图1.2所示，该轨迹为以点为焦点，实轴为AB 长度的双曲线。图1.21.3 几何画板实现抛物线的定义 抛物线的定义：到定点F的距离等于到定直线l（点F不在直线l上）的距离的点的轨迹是抛物线。【作图过程】（1） 用“直线”工具画线段AB，用“点”工具任取线段AB上的一点C和不在直线AB上的一点F，选择点C和F，点击【构造】-【线段】；（2） 选择线段CF，点击【构造】-【中点】记为中点D，选择点D和线段CF，点击【构造】-【垂线】，得到线段CF的中垂线，记为直线l；（3） 选择点C和线段AB，点击【构造】-【垂线】，得到垂线k;（4） 点击“点”工具画出直线l与k的交点E，依次选择点E和C，点击【构造】-【轨迹】，得到抛物线轨迹。 如图1.3所示，该轨迹为以点F为焦点，线段AB为准线的抛物线。图1.32 几何画板在解决圆锥曲线问题中的应用 长期以来，人们对数学的认识就是概念，定理，解题，这是一个严谨系统的过程。圆锥曲线的变动性与复杂性决定了在解决问题时只凭学生的想象力是很难理解掌握有关图像的性质和图像之间的相互关系的，若我们只借助尺规作图的方法画图，一般难以达到满意的效果，所以我们可以充分利用几何画板精确的画图功能、动画功能加以演示，形象直观地演示出变化过程，师生通过观察研究，理解问题，从而解决问题。这样引起学生的学习兴趣，帮助学生的理解，提高学生对平面图形的想象思维能力。下面例举几个用几何画板解决圆锥曲线问题的例子：2.1 几何画板探究圆锥曲线的切线问题 问题1 过椭圆外一点P作椭圆的两条切线图6【作图过程】（1）运用椭圆的第一定义作出匹配以为焦点，2a为长轴的椭圆，且度量出2a的长度；（2）使用点工具，任意作为椭圆外任意一点，以为圆心，2a为半径作辅助圆；（3）依次选择P、，以为半径作圆，与辅助圆交于点；（4）连接，分别取的中点A、B，连接PA、PB，则PA、PB为所求的切线，其中与PA的交点、与PB的交点为对应切点（如图2.1）。图2.1 问题2 已知抛物线的焦点和准线，过抛物线外一点做抛物线的切线。【作图过程】（1） 使用点工具，任作焦点F；使用直线工具，任作准线l，运用定义作出匹配焦点F和准线l的抛物线；（2）使用点工具，作任意点P为抛物线外的一点；依次选择P、F，点击构造以P圆心,PF为半径的圆（3）同时选择圆、准线l，构造交点记为M、N；（4）同时选择点M、N，分别构造准线l的垂线m、n；（5）分别构造线段MF和线段NF，同时选择点P和线段MF、NF，构造垂线,分别记为k和s；（6）同时选择直线m和k,构造交点得到切点C；同时选择直线n和s,构造交点得到切点D。直线k和s为过抛物线外一点P的抛物线的切线，切点分别为C和D。（如图2.2） 图2.2 总结：圆锥曲线的切线问题是这一部分内容的重点问题，直接依靠计算和空间想象太复杂，也不能很全面，运用几何画板准确明了地作出图像，在图像上观察，更方便解决与之相关的其他问题。2.2 几何画板探究圆锥曲线的轨迹问题 问题1 椭圆外的动点，满足,点P是线段与该椭圆的交点，点T在线段上，并且满足,。求点T的轨迹的方程。【制作目标】通过直接观察和数学理论两方面的问题解决，发散学生思维。【作图过程】（1）打开几何画板软件，建立坐标系，并隐藏不必要的点和网格。在x轴上构造一个以为焦点，为定长的椭圆。（2）在椭圆上任取一点P，以P为圆心, 为半径作圆交的延长线于Q，则；（3）同时选择点P和线段 ,点击【构造】-【垂线】，记垂足为T；（4）选择点T，点击【显示】-【追踪点】；（5）选择点P，点击【编辑】-【操作类按钮】-【动画】，形成动画按钮；（6）点击动画按钮，观察点T的运动轨迹形成过程。（如图2.3）图2.3【理论证明】因为 ，所以 又因为， ，所以与垂直（当P与T不重合时）所以T为的中点，所以所以点T的轨迹是以原点O 为圆心，以为半径的圆。问题2 设双曲线方程为，P为双曲线上任意一点，F为双曲线的一个焦点，讨论以|PF|为直径的圆与圆的位置关系。【制作目标】通过动态可视化的观察、猜想和探究，达到问题解决的全过程。【作图过程】（1）打开几何画板软件，建立坐标系，通过双曲线的第一定义，在x轴上构造一个以为短轴的双曲线（其中），F为双曲线的一个焦点；（2）以原点是圆心，为半径作圆；（3）在双曲线上任意取点P，连接线段PF，构造PF的中点，以中点为圆心，PF为直径作圆；（4）选择点P，点击【编辑】-【操作类按钮】-【动画】，形成动画按钮；（5）点击动画按钮，观察点P运动时，以为直径的圆与圆的位置关系。 通过观察，得到结论：当点P在双曲线的右支上时，两圆外切； 当点P在双曲线的左支上时，两圆内切（如图2.4）。 图2.4 总结：对于解决动点的轨迹的相关问题，用几何画板的直观演示相比较于单纯的用圆锥曲线的相关概念和几何性质，能更加明了更加具有生动性地把抽象的问题具体化，动态的图形变化也更吸引学生的注意力和提高他们学习的兴趣。通过现场的实践操作，给学生探索的机会，使学生更深入理解。不但可以培养学生的归纳总结能力，还能活跃课堂气氛，增强师生的情感交流。2.3 几何画板探究椭圆的内接三角形问题 问题：将圆上的三角形投影到椭圆上，度量它们的面积，分析面积的关系，作出猜想，并进行证明。【制作目标】利用动态图形的任意性充分证明问题，培养学生的发现能力，发展创新思维。【作图过程】（1）提出问题：利用自定义工具作椭圆，在椭圆上任作一个三角形,探究三角形的面积。（2）探究圆与椭圆的关系：打开几何画板，点击圆工具作圆O，在圆O上任作一点C，过点C作于D(AB为圆O的直径)，在线段CD上取点E，选择点C、 E作轨迹，则点E的轨迹是椭圆，其中，分别是椭圆的长半轴和短半轴的长。则为定值，度量该定值为(如图2.5) 图2.5（3）探究圆上的三角形与椭圆上的三角形的位置关系：作圆的内接三角形,过点F作线段AB的垂线，垂线交椭圆于J，同理作点G、H作线段AB的垂线，交椭圆与K、L，分别构造三角形内部，则与的各顶点各边分别对应。 图2.6（4）探究圆上的三角形与椭圆上的三角形的面积关系：度量与的面积，计算与的面积比，拖动三角形的顶点，改变顶点位置，观察面积比的变化。（如图2.7）图2.7 通过图像的动态显示，得出猜想：与的面积比为定值，且该定值为。 总结：一个复杂问题通过几何画板创设情景，能为抽象思维提供直观模型，使数学关系的静态结构表现为时空的动态过程，为改善学生学习数学起到画龙点睛的作用。几何画板就像一个数学实验室，在数学实验室创设的情景更有利于学生的学习，更能提高教学效果。结束语 总之，随着着几何画板在课堂教学中的广泛应用和推广，不仅带来了教学内容、教学方法、教学模式的改进，而且使学生接受知识的被动地位得以改变，对提高学生素质和教师教学能力都有着重要作用。但是，几何画板在教学中知识起的辅助作用，最重要的还是知识的传授，的功能固然强大，但也有不完善的，和其他现代技术结合起来，必然达到很好的效果。参考文献:1 刘胜利.几何画板课件制作教程（第