《高考调研》高三数学第一轮复习 第十章《直线、平面、简单几何体A》课件10A7.ppt

一 棱柱1 定义与分类棱柱的定义 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行 由这些面围成的几何体叫棱柱 有两个面互相平行 其余各面都是 四边形 2 棱柱的主要性质 1 侧棱 侧面是 2 两个底面与平行于底面的截面是 3 过不相邻的两条侧棱的截面是 都相等 平行四边形 全等的多边形 平行四边形 3 平行六面体与长方体 1 概念 的四棱柱叫平行六面体 的平行六面体叫直平行六面体 的直平行六面体叫长方体 的长方体叫正方体 2 性质定理 平行六面体的对角线 并且在交点处 底面为平行四边形 侧棱与底面垂直 底面为矩形 棱长都相等 相交于一点 平分 设长方体的长 宽 高分别为a b c 对角线长为l 则l2 4 若s是底面积 h为高 l为侧棱长 c为直截面周长 则s侧 各侧面面积之和 侧棱长 v s直截面 l l为侧棱长 a2 b2 c2 直截面周长 s底 h 二 棱锥1 棱锥的概念和性质 1 棱锥 有一个面是多边形 其余各面是 这些面围成的几何体叫棱锥 2 性质定理 如果棱锥被平行于底面的平面所截 那么 有一个公共 顶点的三角形 截面和底面相似 并且它们面积的比等于截得的棱锥的 高和已知棱锥的高的平方比 2 正棱锥的概念和性质 1 正棱锥 这样的棱锥叫做正棱锥 2 正棱锥的性质各侧棱 各侧面都是 各侧面底边上的高叫棱锥的 正棱锥的相等 棱锥的组成一个直角三角形 棱锥的也组成一个直角三角形 如果一个棱锥的底面是正多边形 且顶点在 底面的射影是底面的中心 相等 全等的等腰三边形 斜高 斜高 高 斜高和斜高在底面上的射影 高 侧棱和侧棱在底面上的射影0 1 在下列横线上填上适当的条件 底面是 侧棱与底面 的平行六面体是长方体 底面是 的直四棱柱是长方体 三侧棱 且底面为 的三棱锥是正三棱锥 底面为 侧棱与底面所成的角 的四棱锥是正四棱锥 答案 矩形垂直 矩形 相等正三角形 正方形相等 答案2 3 如图 在正三棱柱abc a1b1c1中 aa1 ab a f f1分别是ac a1c1的中点 1 求证 平面ab1f1 平面c1bf 2 求证 平面ab1f1 平面acc1a1 证明 1 在正三棱柱abc a1b1c1中 f f1分别是ac a1c1的中点 b1f1 bf af1 fc1 又 b1f1与af1是两相交直线 bf与fc1是两相交直线 平面ab1f1 平面c1bf 2 在正三棱柱abc a1b1c1中 aa1 平面a1b1c1 b1f1 aa1 又b1f1 a1c1 a1c1 aa1 a1 b1f1 平面acc1a1 而b1f1 平面ab1f1 平面ab1f1 平面acc1a1 4 2010 湖南卷 如图所示 在长方体abcd a1b1c1d1中 ab ad 1 aa1 2 m是棱cc1的中点 1 求异面直线a1m和c1d1所成的角的正切值 2 证明 平面abm 平面a1b1m 题型一棱柱 棱锥概念性质的应用例1下面是关于三棱锥的四个命题 底面是等边三角形 侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥 底面是等边三角形 侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 底面是等边三角形 侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥 侧棱与底面所成的角都相等 且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥 其中 真命题的编号是 写出所有真命题的编号 解析 显然正确 如图 反例 图中ac bc cd bd ad ab 每个侧面为等腰三角形 但此棱锥不是正三棱锥 图中取 acb adb 120 有各侧面面积相等 但此棱锥不是正三棱锥 由已知顶点在底面射影为内心也是底面外心 故底面三角形为正三角形 又各侧棱 斜高可推出彼此相等 故各侧面为具有公共顶点的等腰三角形 故 对 答案 探究1要注意正三棱锥的定义 性质与判定方法的联系与区别 正三棱锥中 每一条侧棱都相等 侧棱与底面所成的角都相等 侧面与底面所成的角都相等 相邻两个侧面所成的角也相等 但侧棱相等的三棱锥 侧棱与底面所成角相等的三棱锥 侧面与底面所成角都相等的三棱锥 相邻两个侧面所成的角都相等的三棱锥却不一定是正三棱锥 思考题1设有四个命题 底面是矩形的平行六面体是长方体 棱长都相等的直四棱柱是正方体 有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体 对角线相等的平行六面体是直平行六面体 以上四个命题 真命题的个数是 a 1b 2c 3d 4 答案 a 解析 是真命题 例2 08 北京 如图 在三棱锥p abc中 ac bc 2 acb 90 ap bp ab pc ac 求证 pc ab 求二面角b ap c的大小 求点c到平面apb的距离 解析 取ab的中点d 连结pd cd ap bp pd ab ac bc cd ab pd cd d ab 平面pcd pc 平面pcd pc ab ac bc ap bp apc bpc 又pc ac pc bc 又 acb 90 即ac bc 且ac pc c bc 平面pac 由 知ab 平面pcd 则平面apb 平面pcd 过点c作ch pd 垂足为h 平面apb 平面pcd pd ch 平面apb ch的长即为点c到平面apb的距离 由 知pc ab 又pc ac 且ab ac a pc 平面abc cd 平面abc pc cd 思考题2在直三棱柱abc a1b1c1 abc 90 ab bc 1 1 求异面直线b1c1与ac所成角的大小 2 若直线a1c与平面abc所成角为45 求三棱锥a1 abc的体积 解析 1 bc b1c1 acb为异面直线b1c1与ac所成角 或它的补角 abc 90 ab bc 1 acb 45 异面直线b1c1与ac所成角为45 题型二有关面积 体积的问题例3 09 海南 如图 在三棱锥p abc中 pab是等边三角形 pac pbc 90 1 证明 ab pc 2 若pc 4 且平面pac 平面pbc 求三棱锥p abc的体积 证明 1 因为 pab是等边三角形 所以pb pa 因为 pac pbc 90 pc pc 所以rt pbc rt pac 所以ac bc 如图 取ab中点d 连结pd cd 则pd ab cd ab 所以ab 平面pdc 所以ab pc 解析 2 作be pc 垂足为e 连结ae 因为rt pbc rt pac 所以ae pc ae be 由已知 平面pac 平面pbc 故 aeb 90 因为 aeb 90 peb 90 ae be ab pb 所以rt aeb rt bep 所以 aeb peb ceb都是等腰直角三角形 思考题3如图所示 三棱锥d abc一条侧棱ad 8cm 底面一边bc 18cm 其余四条棱的棱长都是17cm 求三棱锥d abc的体积 解析 取bc中点m 连结am dm 取ad的中点n 连结mn ac ab cd bd bc am bc dm bc 面adm bc 18 ac ab 17 题型三棱柱 棱锥中的线面关系例4在四棱锥p abcd中 底面abcd是矩形 pa 平面abcd pa ad 4 ab 2 以ac的中点o为球心 ac为直径的球面交pd于点m 交pc于点n 1 求证 平面abm 平面pcd 2 求直线cd与平面acm所成的角的大小 3 求点n到平面acm的距离 解析 1 依题设知 ac是所作球面的直径 则am mc 又因为pa 平面abcd 则pa cd 又cd ad 所以cd 平面pad 则cd am 所以am 平面pcd 所以平面abm 平面pcd 分析 要理解和运用正四棱锥的概念和性质 解析 1 取ad中点m 依题意知po 面abcd 连mo pm 则 pmo为二面角的平面角 pao为侧棱与底面abcd所成的角 1 对于直棱柱 正棱柱中的特殊线 如高 侧棱 对角线等 的性质应熟悉并掌握 从几何中的线 面平行或垂直关系中找出其他平行或垂直关系及空间的角和距离 2 直棱柱和正棱柱的侧面展开图都是矩形 要熟悉展开图与立体图中元素间的对应关系及位置与数量关系 哪些有变化 哪些没有变化 3 在解正棱锥问题时 要注意利用四个直角三角形 如图所示中的 vco cmo vcm和 vmo应灵活运用 4 综合运用知识 注意提高能力立体几何学科的特点决定立体几何问题解答模式的推理论证和计算求解相结合 一般按照一作 作图 二证 必要的证明 三求解 计算求解 程序进行 要学会识图 理解图 利用图 要善于从图中发现我们需要的东西 1 过正四棱柱底面一边的截面是 a 正方形b 菱形c 矩形d 非矩形 非菱形的平行四边形答案c解析由面面平行的性质定理 可证得截面是平行四边形 由线面垂直的性质 又可证得一个角为直角 故截面为矩形 2 一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱 这个四棱锥的底面为正方形 且底面边长与各侧棱长相等 这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等 设四棱锥 三棱锥 三棱柱的高分别为h1 h2 h 则h1 h2 h 答案b 由sd 平面pac 知sd op 所以 pod 30 即二面角p ac d的大小为30 2 设h是ac的中点 f是ec的中点 连结dh hf fd d为ab的中点 dh bc 同理可证hf ae 又ac cb 故dh ac 又侧棱aa1 平面abc aa1 dh dh 平面aa1c1c 由 1 得侧面aa1c1c是正方形 则a1c ae a1c hf 课时作业 五十三 1 09 福建 如图 平面四边形abcd中