江苏省高中数学基本功大赛圆的方程.ppt

圆的方程 江苏省正德中学张荣强 学习目标 1 掌握圆的标准方程与一般方程 2 能根据条件选择恰当形式求圆的方程 3 理解圆的标准方程与一般方程的相互关系与互化 4 2012考试说明为C级 1 点P 2 1 是圆 x 1 2 y2 25内弦AB的中点 则直线AB的方程为 x y 3 0 课前训练 1 课前训练 3 若圆C x2 y2 2x 4y 1 0关于直线l 2ax by 2 0 a b R 对称 则ab的取值范围是 课前训练 4 1 求经过点A 5 2 B 3 2 圆心在直线2x y 3 0上的圆的方程 2 求以O 0 0 A 2 0 B 0 4 为顶点的三角形OAB的外接圆的方程 课前训练 课前训练 圆的标准方程 例1 求经过点A 0 5 且与直线x 2y 0和2x y 0都相切的圆的方程 点评 在用待定系数法求圆的方程时 要善于根据已知条件来选择圆的方程 如果已知圆心 半径或圆心到直线的距离 通常可用圆的标准方程 如果已知圆经过某些点 通常采用圆的一般式方程 圆的一般方程 例2 已知过A 0 1 和B 4 a 且与x轴相切的圆只有一个 求a的值及圆的方程 点评 与坐标轴相切时圆的方程求解及其参数的求解问题 方程形式选用要灵活 如果已知圆心 半径或圆心到直线的距离 通常可用圆的标准方程 如果已知圆经过某些点 通常采用圆的一般式方程 变式练习2 已知方程x2 y2 2 m 3 x 2 1 4m2 y 16m4 9 0表示的图形是一个圆 1 当圆的面积最大时 求圆的方程 2 若点P 3 4m2 恒在所给的圆内 求实数m的取值范围 与圆有关的轨迹问题 点评 求轨迹方程的步骤通常可以简化为 1 建系 设点 2 列式 3 化简 坐标系的选取决定着方程化简的繁简 设点时 通常求哪个点的轨迹方程 就假设那个点的坐标为 x y 同时 解题中还需区分轨迹方程与轨迹 变式练习3 已知A B为两定点 动点M到A与到B的距离比为常数 求点M的轨迹方程 并注明轨迹是什么曲线 与圆有关的最值问题 点评 涉及到圆上的点 x y 的最大值和最小值问题 可借助于图形 了解所求量的几何意义 用数形结合来解 有下列几类 就是圆上的点 x y 与点 a b 的连线的斜率 y x就是直线y x m在y轴上的截距 y x是直线y x m在y轴上的截距 x a 2 y b 2就是圆上的点 x y 与点 a b 的距离的平方 变式练习4 求圆 x 2 2 y 3 2 4上的点到x y 2 0的最近 最远距离 1 在讨论含有字母参变量的圆方程问题时 始终要把 方程表示圆的条件 作为首要条件 也可以理解为 定义域优先 的拓展 2 圆的标准方程和一般方程都含有三个参数 因此 要具备三个独立已知条件才能确定一个圆 求圆的方程时 若能根据已知条件找出圆心和半径 则可直接用标准形式写出圆的标准方程 若已知条件与圆心 半径关系不大 则用一般式方便 如果通过点才方便解题或问题是求与圆上的点有关的最值问题 可考虑用圆的参数方程 3 求圆的方程的方法 1 几何法 即通过研究圆的性质 以及点和圆 直线和圆 圆和圆的位置关系 进而求得圆的基本量 圆心 半径 和方程 2 代数法 即用 待定系数法 求圆的方程 其一般步骤是 根据题意选择方程的形式 标准方程或一般方程 当然有时也可以选择参数方程 利用条件列出关于a b r或D E F的方程组 解出a b r或D E F的对应的值 代入圆的标准方程或一般方程 4 在解决与圆有关的问题时 要充分利用圆的特殊几何性质 这样会使问题简单化 圆的常用几何性质为 1 直径所对的圆周角为直角 这样有勾股定理 斜率的乘积为 1可用 2 弦的中点和圆心的连线垂直平分弦 这样有勾股定理 斜率的乘积为 1和弦的垂直平分线过圆心 以及圆心到弦所在直线的距离公式可用 3 圆心和切点的连线垂直于切线 这样有圆心到切线的距离等于半径 斜率的乘积等于 1可用 1 2011 南京一模卷 正方形ABCD的中心为 3 0 AB所在直线的方程为x 2y 2 0 则正方形ABCD的外接圆的方程为 答案 x 3 2 y2 10选题感悟 本题主要考查求圆的方程的 是最基础的题型 求解的关键在于合理利用正方形外接圆的有关性质即可获解 2 2011 常州调研卷 设a 0 b 0 4a b ab 则在以 a b 为圆心 a b为半径的圆中 面积最小的圆的标准方程是 答案 x 3 2 y 6 2 81选题感悟 在 考试说明 中圆的方程及基本不等式均是C级要求 本题以求圆的方程为背景 重点考查基本不等式的灵活运用 充分体现了新高考的命题理念 3 2011 镇江一模考 已知圆C通过不同的三点P m 0 Q 2 0 R 0 1 且直线CP的斜率为 1 1 试求 C的方程 2 过原点O作两条互相垂直的直线l1