高考数学总复习 第3单元 第2节 导数的应用1课件 文 苏教版.ppt

第二节导数的应用 1 基础梳理 1 函数的单调性对于函数y f x 在某区间上 如果f x 0 那么f x 在该区间上是 如果f x 0 那么f x 在该区间上是 2 函数的极值 1 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 且f x0 0 那么f x0 是极大值 2 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 且f x0 0 那么f x0 是极小值 3 函数的极大值 极小值统称为函数的极值 答案 1 增函数减函数2 1 2 基础达标 1 函数y 3x x3的单调递增区间为 2 设f x x3 12x 则f x 的极大值与极小值分别是 3 选修2 2p29例2改编 定义在r上的函数f x 2x3 ax2 7在区间 0 和 2 上为增函数 在 0 2 上为减函数 则a的值为 4 若函数f x acosx sin2x在x 处有极值 则a 5 函数y x 的极大值是 答案 1 1 1 解析 由y 3 3x2 3 1 x 1 x 0 解得 1 x 1 2 16 16解析 f x 3x2 12 令f x 0 x 2 列表如下 由上表可知 当x 2时 有极大值f 2 16 当x 2时 有极小值f 2 16 3 6解析 f x 6x2 2ax 2x 3x a 由于函数f x 在区间 0 和 2 上为增函数 在 0 2 上为减函数 则f x 2x 3x a 0的两根分别为0和2 所以3 2 a 0 即a 6 4 1解析 f x asinx cos2x 在x 处有极值 f 0 asin cosp 0 a 1 5 4解析 y 1 令y 0得x 2或x 2 在x 2的左侧y 0 x 2的右侧y 0 从而y在x 2处取极大值 极大值为 4 同理 可判断y在x 2处取极小值 经典例题 题型一函数的单调区间与导数 例1 2010 辽宁改编 已知函数f x a 1 lnx ax2 1 试讨论函数f x 的单调性 解 f x 的定义域为 0 f x 2ax 当a 0时 f x 0 故f x 在 0 上单调增加 当a 1时 f x 0 故f x 在 0 上单调减少 当 1 a 0时 令f x 0 解得x 则当x 时 f x 0 x 时 f x 0 故f x 在上单调增加 在上单调减少 变式1 1已知f x ex ax 1 试求f x 的单调递增区间 解 f x ex ax 1 f x ex a 令f x 0 得ex a 当a 0时 有f x 0在r上恒成立 当a 0时 有x lna 综上 当a 0时 f x 的单调增区间为 当a 0时 f x 的单调增区间为 lna 题型二利用函数的单调性确定参数 例2 已知函数f x x3 ax 1 1 若f x 在实数集r上单调递增 求实数a的取值范围 2 是否存在实数a 使f x 在 1 1 上单调递减 若存在 求出a的取值范围 若不存在 说明理由 解 1 由已知f x 3x2 a f x 在 上是单调增函数 f x 3x2 a 0在 上恒成立 即a 3x2对x r恒成立 3x2 0 只需a 0 又a 0时 f x 3x2 0 f x x3 1在r上是增函数 a 0 2 由f x 3x2 a 0在 1 1 上恒成立 得a 3x2在x 1 1 上恒成立 1 x 1 3x2 3 只需a 3 当a 3时 f x 3x2 a在x 1 1 上恒有f x 0 即f x 在 1 1 上为减函数 故存在实数a 3 使f x 在 1 1 上单调递减 变式2 1已知函数f x mx3 3 m 1 x2 3m 6 x 1 m 0 且函数f x 在区间上单调递增 在区间上单调递减 则实数m的值为 答案 4解析 f x 3mx2 6 m 1 x 3m 6 由已知可得f 0 即m 3m 3 3m 6 0 解得m 4 题型三函数的极值与导数 例3 2010 安徽改编 设a为实数 函数f x ex 2x 2a x r 求f x 的单调区间与极值 解 由f x ex 2x 2a x r知f x ex 2 x r 令f x 0 得x ln2 于是当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 故f x 的单调递减区间是 ln2 单调递增区间是 ln2 f x 在x ln2处取得极小值 极小值为f ln2 eln2 2ln2 2a 2 1 ln2 a 变式3 1已知函数f x x3 px2 qx的图象与x轴切于点 1 0 求f x 的极值 解 f x 过点 1 0 f 1 1 p q 0 f x 3x2 2px q 且f x 与x轴相切于点 1 0 f 1 3 2p q 0 解方程组得 f x 3x2 4x 1 x 1 3x 1 其图象如图所示 f x 极大值 f 3 22 f x 极小值 f 1 13 2 12 1 0 题型四利用函数的极值确定参数 例4 2010 全国 已知函数f x x3 3ax2 3x 1 1 设a 2 求f x 的单调区间 2 设f x 在区间 2 3 中至少有一个极值点 求a的取值范围 解 1 当a 2时 f x x3 6x2 3x 1 f x 3 x 2 x 2 当x 2 时 f x 0 f x 在 2 上单调递增 当x 2 2 时 f x 0 f x 在 2 2 上单调递减 当x 2 时 f x 0 f x 在 2 上单调递增 综上 f x 的单调递增区间是 2 和 2 f x 的单调递减区间是 2 2 2 f x 3 x a 2 1 a2 当1 a2 0时 f x 0 f x 为增函数 故f x 无极值点 当1 a2 0时 f x 0有两个根 x1 a x2 a 由题意知2 a 3 或2 a 3 由 解得为 a 因此a的取值范围是 变式4 1已知函数f x x3 ax2 a 6 x 1有极大值和极小值 则实数a的取值范围是 答案 3 6 解析 f x 3x2 2ax a 6 由于函数f x 有极大值和极小值 则方程3x2 2ax a 6 0有两个不同实根 所以 4a2 12 a 6 0 解得a 3或a 6 易错警示 例 函数f x x3 ax2 bx a2在x 1处有极值10 求a b的值 错解f x 3x2 2ax b 由题意知 f 1 0 且f 1 10 即2a b 3 0 且a2 a b 1 10 解得a 4 b 11或a 3 b 3 错解分析错误的主要原因是把f x 为极值的必要条件当成了充要条件 正解 f x0 为极值的充要条件是f x0 0且f x 在x x0附近两侧的符号相反 所以 错解 后面应该加上 当a 4 b 11时 f x 3x2 8x 11 3x 11 x 1 在x 1附近两侧的符号相反 a 4 b 11满足题意 当a 3 b 3时 f x 3 x 1 2在x 1附近两侧的符号相同 a 3 b 3应舍去 a 4 b 11 链接高考 2010 安徽 设函数f x sinx cosx x 1 0 x 2p 求函数f x 的单调区间与极值 知识准备 1 要知道由函数f x 的导函数f x 0可得到函数的增区间 而由f x 0可得到函数的减区间 2 如果函数f x 在x x0两侧单调性相反 则函数f x 在x x0处有极值 解 由f x sin