高考数学总复习 第2单元第5节 一次函数、二次函数课件 文 新人教A版.ppt

第五节一次函数 二次函数 1 一次函数的性质与图象 1 函数叫做一次函数 它的定义域为 值域为 基础梳理 y kx b k 0 r r 函数值的改变量 与自变量的改变量 的比值 常数k 当k 0时 一次函数是 当k 0时 一次函数是 当b 0时 一次函数变为 是奇函数 当b 0时 它既不是 也不是 直线y kx b k 0 与x轴的交点为 与y轴的交点为 等于 y2 y1 x2 x1 减函数 增函数 奇函数 正比例函数 偶函数 0 b 2 二次函数有如下性质 函数的图象是 抛物线顶点的坐标是 抛物线的对称轴是 当a 0时 抛物线开口 函数在x 处取 值 在区间 上是减函数 在 上是增函数 当a 0时 抛物线开口 函数在 处取最大值 在区间 上是增函数 在 上是减函数 与y轴的交点是 2 1 函数 叫做二次函数 它的定义域是 r y ax2 bx c a 0 一条抛物线 向上 最小 向下 0 c 当 b2 4ac 0时 与x轴两交点的横坐标x1 x2分别是方程 的两根 当 0时 与x轴切于一点 当 0时 与x轴 当b 0时 是非奇非偶函数 当b 0时 是 对于函数f x 若对任意自变量x的值 都有f a x f a x 则f x 的图象关于直线 对称 ax2 bx c 0 a 0 没有交点 x a 偶函数 3 二次函数 一元二次方程 一元二次不等式三者之间的关系 x xx2 x x x1 x x1 x x2 x x r 4 二次函数在闭区间上的最值问题y f x a x h 2 k a 0 在 m n 上的最值问题 1 h m n 时 ymin ymax max f m f n 2 h m n 时 当hn时 f x 在 m n 上单调 ymin ymax f m k 递增 f m f n 递减 f n 基础达标 函数y 2k 1 x b在 上是减函数 则 a k b k c k d k 由2k 1 0可得 k d解析 2 已知二次函数y ax2 bx c满足a b c 且a b c 0 那么它的图象是图中的 a b c且a b c 0 a 0 c 0 b2 4ac 0 f 1 a b c 0 图象开口向上 与y轴的截距为负 且过 1 0 点 a解析 3 若函数f x m 1 x2 2mx 3是定义在r上的偶函数 则f x 在 0 上 a 为增函数b 为减函数c 先减后增d 先增后减 f x 为r上的偶函数 m 0 f x x2 3 由二次函数的图象易知f x x2 3在 0 上为减函数 b解析 4 f x x2 2 2 a x 2在 2 上是减函数 则a的取值范围是 解析 5 教材改编题 函数y x2 4x 3在 1 0 上的最大值是 最小值是 y x2 4x 3 x 2 2 1 对称轴x 2在 1 0 的左侧 所以函数在 1 0 上单调递增 故当x 0时 f x 取最大值f 0 3 当x 1时 f x 取最小值f 1 0 30解析 经典例题 例1 已知函数y 2m 1 x 1 3m m为何值时 1 这个函数为一次函数 2 函数值y随x的增大而减小 3 这个函数图象与直线y x 1的交点在x轴上 题型一一次函数性质的应用 分析 一次函数要求一次项的系数不为0 当一次项系数大于0时 一次函数在r上为增函数 小于0时 在r上为减函数 解 1 当m 时 这个函数为一次函数 2 根据一次函数的性质 可知当2m 1 0 即m 时 y随x的增大而减小 3 直线y x 1与x轴交于点 1 0 将其代入y 2m 1 x 1 3m中 得1 2m 1 3m 0 m 例2 已知二次函数f x 对任意实数t满足关系f 2 t f 2 t 且f x 有最小值 9 又知函数f x 的图象与x轴有两个交点 它们之间的距离为6 求函数f x 的解析式 题型二二次函数的解析式 分析 由f 2 t f 2 t 知函数有对称轴x 2 又最小值为 9 故二次函数可设顶点式y a x 2 2 9 再根据另一个条件求出a即可 另外 也可以根据第二个条件设解析式的形式 由两根之间的距离为6及对称轴为x 2可知f x 0的两根x1 1 x2 5 据此设二次函数为y a x 1 x 5 解 方法一 利用二次函数的顶点式 由f 2 t f 2 t 知函数对称轴为x 2 又最小值为 9 故设f x a x 2 2 9 由题意得 f x 的图象与x轴的两个交点关于x 2对称 又因为距离为6 所以两交点为 1 0 5 0 将点 1 0 代入函数解析式 0 a 1 2 2 9 a 1 f x x 2 2 9 x2 4x 5 方法二 利用二次函数的两根式 由题意知f x 0的两根 x1 1 x2 5 故设f x a x 1 x 5 又顶点坐标为 2 9 代入解析式得 9 a 2 1 2 5 a 1 f x x 1 x 5 x2 4x 5 已知二次函数f x 满足f 2 1 f 1 1 且f x 的最大值是8 试确定此二次函数 变式2 1 解析 m 方法二 利用二次函数的顶点式 设f x a x m 2 n a 0 f 2 f 1 抛物线对称轴为x 又根据题意函数有最大值y 8 y f x a f 2 1 a 方法三 利用二次函数的两根式 由已知f x 1 0的两根为x1 2 x2 1 故可设f x 1 a x 2 x 1 a 0 即f x ax2 ax 2a 1 又函数有最大值ymax 8 即得a 4或a 0 舍去 所求函数解析式为f x 4x2 4x 7 例3 已知函数f x x2 2ax 1 a在0 x 1时有最大值2 求a的值 题型三二次函数的最值 分析 作出函数图象 因对称轴x a位置不定 故分类讨论对称轴位置以确定f x 在 0 1 上的单调情况 解 当对称轴x a 0时 如图1所示 当x 0时 y有最大值 ymax f 0 1 a 1 a 2 即a 1 且满足a 0 a 1 当0 a 1时 如图2所示 即当x a时 y有最大值 ymax f a a2 2a2 1 a a2 a 1 a2 a 1 2 解得a 0 a 1 a 舍去 当a 1时 如图3所示 由图可知 当x 1时y有最大值 ymax f 1 2a a 2 a 2 且满足a 1 a 2 综上可知 a的值为 1或2 例4 已知函数f x mx2 m 3 x 1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧 求实数m的取值范围 题型四二次方程根的分布问题 分析 本题涉及二次方程根的分布问题 很容易联想到根与系数的关系 可根据韦达定理去解决 解 1 当m 0时 f x 3x 1 直线与x轴的交点为 在原点右侧 符合题意 2 当m 0时 因为f 0 1 所以抛物线过点 0 1 若m0 f x 的开口向上 如图2所示 图1图2 要使交点在原点右侧 当且仅当即0 m 1 综上所述 所求m的取值范围是 1 方程2x2 3x k在x 1 1 的范围内有实根 求实数k的取值范围 变式4 1 2 方程f x 0在 1 x 1的范围内有且仅有一个解时 有即解得 1 k