高考数学一轮复习 第三节 函数的奇偶性与周期性课件 理 北师大版.ppt

结合具体函数 了解函数奇偶性及周期性的含义 1 奇函数 偶函数的概念一般地 如果对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有f x f x 那么函数f x 就叫做偶函数 一般地 如果对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有f x f x 那么函数f x 就叫做奇函数 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于y轴对称 2 判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性 一般都按照定义严格进行 一般步骤是 1 考查定义域是否关于原点对称 2 考查表达式f x 是否等于f x 或 f x 若f x f x 则f x 为奇函数 若f x f x 则f x 为偶函数 若f x f x 且f x f x 则f x 既是奇函数又是偶函数 若f x f x 且f x f x 则f x 既不是奇函数又不是偶函数 即非奇非偶函数 3 奇 偶函数的性质 1 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反 填 相同 相反 2 在公共定义域内 两个奇函数的和是奇函数 两个奇函数的积是偶函数 两个偶函数的和 积是偶函数 一个奇函数 一个偶函数的积是奇函数 思考探究1 奇函数 偶函数的定义域具有什么特点 它是函数具有奇偶性的什么条件 提示 定义域关于原点对称 必要不充分条件 4 周期性 1 周期函数 对于函数y f x 如果存在一个非零常数t 使得当x取定义域内的任何值时 都有f x t f x 那么就称函数y f x 为周期函数 称t为这个函数的周期 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个最小的正数 那么这个最小正数就叫做f x 的最小正周期 思考探究2 如果t是函数y f x 的周期 那么kt k z 是否一定也是该函数的周期 提示 当k 0时 不是 k 0时 是 3 2011年汉台中学 已知定义在r上的奇函数f x 满足f x 2 f x 则f 6 的值为 a 1b 0c 1d 2解析 由f x 2 f x 知f x 4 f x 2 2 f x 2 f x 故知函数y f x 的周期为4 f 6 f 4 2 f 2 f 0 f x 是r上的奇函数 易知f 0 0 f 6 f 0 0 选b 答案 b 考点一函数奇偶性的判定判断函数奇偶性的一般步骤1 首先确定函数的定义域 看它是否关于原点对称 若不对称 则既不是奇函数又不是偶函数 2 若定义域关于原点对称 再判定f x 与f x 之间的关系 1 若f x f x 或f x f x 0 则f x 为奇函数 2 若f x f x 或f x f x 0 则f x 为偶函数 3 若f x f x 且f x f x 则f x 既是奇函数又是偶函数 4 若f x f x 且f x f x 则f x 既不是奇函数也不是偶函数 若x为有理数 则 x也是有理数 f x f x 1 综上可知 对任意实数x都有f x f x f x 为偶函数 考点二抽象函数的奇偶性与单调性 1 对抽象函数解不等式问题 应充分利用函数的单调性 将 f 脱掉 转化为我们会求的不等式 2 奇偶函数的不等式求解时 要注意到 奇函数在对称的单调区间上有相同的单调性 偶函数在对称的单调区间上有相反的单调性 2 解 解法一 设x y是正实数 f x y f x f y f x y f x f y x是正实数 f x x f x 在 0 上是减函数 又 f x 为奇函数 f 0 0 f x 在 上是减函数 f 2 为最大值 f 6 为最小值 变式迁移2已知y f x 是定义在r上的偶函数 且f x 在 0 上是增函数 如果x10 且 x1 0b f x1 f x2 0d f x1 f x2 0 解析 x10 x1 x2 0 x1 x2又f x 是 0 上的增函数 f x1 f x2 又f x 为定义在r上的偶函数 f x1 f x2 f x1 f x2 0 选d 答案 d 考点三函数的周期性及应用如果奇偶性是讲函数图象的对称 那么函数的周期性就是讨论函数图象的平移 而函数图象的对称与函数的周期性也是密不可分的 比如 若函数f x 的图象关于直线x a x b a b 对称 则f x 为周期函数 其周期为t 2 b a 等 变式迁移3 2011年湖北八校联考 奇函数f x 满足对任意x r都有f 2 x f 2 x 9 且f 1 0 则f 2010 f 2011 f 2012 的值为 解析 f x 2 f 2 x f x 2 f x 4 f x 2 2 f x 2 2 f x f x 周期为4 f 2010 f 2011 f 2012 f 2 f 3 f 4 f x 为奇函数且x r f 0 0f 4 f 0 0 f 3 f 1 2 f 1 2 f 1 9 在f 2 x f 2 x 0中令x 0 得 f 2 0 原式 9 答案 9 函数的奇偶性是函数的另一个重要性质 每套高考试题都从不同角度进行考查 其热点是与函数的单调性 周期性结合考查 2010年安徽高考 若f x 是r上周期为5的奇函数 且满足f 1 1 f 2 2 则f 3 f 4 a 1b 1c 2d 2解析 由于函数f x 的周期为5 所以f 3 f 4 f 2 f 1 又f x 为r上的奇函数 f 2 f 1 f 2 f 1 2 1 1 答案 a 2 判断函数奇偶性时忽视了定义域纠错训练2函数f x x2 1 x 1 3 的奇偶性为 答案 非奇非偶函数 4 抽象函数中推理不严谨致误纠错训练4设f x 是定义在r上的函数 对m n r恒有f m n f m f n 且当x 0时 00 3 求证 f x 在r上是减函数 2 设x0 由条件