【优化方案】高中数学 第2章2.2.1第二课时课件 新人教B版必修5.ppt

第二课时 课堂互动讲练 知能优化训练 第二课时 课前自主学案 课前自主学案 1 等差数列的定义 如果一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的差都等于同一个常数 那么这个数列叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的 通常用字母d表示 2 等差数列的通项公式 公差 an a1 n 1 d an an 2 充要 思考感悟1 两个数a b的等差中项唯一吗 提示 唯一 2 等差数列的性质 1 若m n p q m n p q n 则am an 2 下标成等差数列的项 ak ak m ak 2m 仍组成 3 数列 an b b为常数 仍为 4 an 和 bn 均为 则 an bn 也是等差数列 5 an 的公差为d 则d 0 an 为 数列 d 0 an 为 数列 d 0 an 为 数列 ap aq 等差数列 等差数列 等差数列 递增 递减 常 n m d 首末两项的和 思考感悟2 若am an ap aq 则一定有m n p q吗 提示 不一定 例如在等差数列an 2中 m n p q可以取任意正整数 不一定有m n p q 3 等差数列的设法 1 通项法 设数列的通项公式 即设an a1 n 1 d n n 2 对称设法 当等差数列 an 的项数n为奇数时 可设中间的一项为a 再以公差为d向两边分别设项 a 2d a d a a d a 2d 当项数n为偶数时 可设中间两项分别为a d a d 再以公差为2d向两边分别设项 a 3d a d a d a 3d 课堂互动讲练 分析 解答本题既可以用等差数列的性质 也可以用等差数列的通项公式 等差数列 an 中 已知a2 a3 a10 a11 36 求a5 a8 解 法一 根据题意设此数列首项为a1 公差为d 则 a1 d a1 2d a1 9d a1 10d 36 4a1 22d 36 2a1 11d 18 a5 a8 2a1 11d 18 法二 由等差数列性质得 a5 a8 a3 a10 a2 a11 36 2 18 点评 法一设出了a1 d 但并没有求出a1 d 事实上也求不出来 这种 设而不求 的方法在数学中常用 它体现了整体的思想 法二运用了等差数列的性质 若m n p q m n p q n 则am an ap aq 自我挑战1已知 an 为等差数列 a15 8 a60 20 求a75 1 三个数成等差数列 和为6 积为 24 求这三个数 2 四个数成递增等差数列 中间两数的和为2 首末两项的积为 8 求这四个数 分析 由题目可获取以下主要信息 根据三个数的和为6 成等差数列 可设这三个数为a d a a d d为公差 四个数成递增等差数列 且中间两数的和已知 可设为a 3d a d a d a 3d 公差为2d 解答本题也可以设出等差数列的首项与公差 建立基本量的方程组求解 解 1 法一 设等差数列的等差中项为a 公差为d 则这三个数分别为a d a a d 依题意 3a 6且a a d a d 24 所以a 2 代入a a d a d 24 化简得d2 16 于是d 4 故三个数为 2 2 6或6 2 2 法二 设首项为a 公差为d 这三个数分别为a a d a 2d 依题意 3a 3d 6且a a d a 2d 24 所以a 2 d 代入a a d a 2d 24 得2 2 d 2 d 24 4 d2 12 即d2 16 于是d 4 所以三个数为 2 2 6或6 2 2 2 法一 设这四个数为a 3d a d a d a 3d 公差为2d 依题意 2a 2 且 a 3d a 3d 8 即a 1 a2 9d2 8 d2 1 d 1或d 1 又四个数成递增等差数列 所以d 0 d 1 故所求的四个数为 2 0 2 4 法二 若设这四个数为a a d a 2d a 3d 公差为d 点评 利用等差数列的定义巧设未知量 从而简化计算 一般地有如下规律 当等差数列 an 的项数n为奇数时 可设中间一项为a 再用公差为d向两边分别设项 a 2d a d a a d a 2d 当项数为偶数项时 可设中间两项为a d a d 再以公差为2d向两边分别设项 a 3d a d a d a 3d 这样可减少计算量 自我挑战2已知四个数依次成等差数列 且四个数的平方和为94 首尾两项之积比中间两数之积小18 求这四个数 点评 观察数列递推公式的特征 构造恰当的辅助数列使之转化为等差数列的问题 常用的方法有 平方法 倒数法 同除法 开平方法等 等差数列的一些重要结论 1 公差为d的等差数列 各项同加一常数所得数列仍是等差数列 其公差仍为d 2 公差为d的等差数列 各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列 其公差为kd 3 数列 an 成等差数列 则有 am an m n d m n n ap aq ap k aq k q p k n 4