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经济数学基础课程说明 本课程5学分 课内学时90 电视课27学时 开设一学期 经济数学基础是经济学科各专业重要的基础课 通过本课程的学习 使学生获得微积分和线性代数的基本运算能力 使学生受到基本数学方法的训练和运用变量数学方法解决简单的实际问题的初步训练 为学习后续课程和今后工作的需要打好必要的数学基础 课程的主要内容 预备知识 实数 方程 不等式 集合与区间 函数 函数概念 定义域的求法 函数关系式的建立 一元函数微分学 极限与连续概念 极限计算 导数概念与计算 复合函数求导数 导数应用 单调性判别 极值的应用 二元函数概念 偏导数与全微分的概念及其计算 二元函数的极值 一元函数积分学 原函数与不定积分 换元积分法 分部积分法 定积分概念及计算 积分应用 积分在几何和经济中的应用 行列式 矩阵定义 矩阵乘法 矩阵的初等行变换 求逆矩阵和矩阵的秩 线性方程组 线性方程组解的判定 求方程组的一般解和特解 矩阵代数应用举例 后续课程 西方经济学 统计学原理 经济数学基础 课程教学资源与学习模式简介 经济数学基础是开放教育试点财经类 专科 各专业的统设必修课 课内学时90 共5学分 每年春秋两季滚动开设 通过本课程的学习 使学生对极限的思想和方法有初步认识 对具体与抽象 特殊与一般 有限与无限等辩证关系有初步的了解 培养辩证唯物主义观点 初步掌握微积分的基本知识 基本理论和基本技能 并受到运用变量数学方法解决简单实际问题的初步训练 通过本课程的学习 使学生初步熟悉线性代数的研究方法 培养学生的抽象思维 逻辑推理以及运算能力 从2005年秋开始 本课程的主要教学内容为 函数 一元函数微分学 导数应用 多元函数微分学 不定积分 定积分 积分应用 行列式 矩阵 线性方程组 文字教材为 经济数学基础 微积分 经济数学基础 线性代数 经济数学基础 网络课程学习指南 由李林曙 黎诣远主编 高等教育出版社出版 经济数学基础网络课程主要由三部分组成 即课程序言 教学内容和复习总结 进入教学内容模块后有本章引子 学习方法 教学要求 课堂教学 本章作业 参考资料 本章小结 进入复习总结模块后有阶段复习 专题讲座 课程总结 总复习几部分 网络课程在总体设计时就确立了整合本课程多种教学资源的思想 并在开发过程中充分发挥电大音像资源的优势 在内容讲解 例题讲解 总结 复习等栏目中 将教学内容以知识点为单元对电视录像资源进行巧妙的切割 细分 完善利用 为学生构建了一个聆听名师讲课的虚拟课堂 营造一个个别化学习与协同化学习的良好环境 在课堂教学中学生可以自主地选择学习内容 学习媒体 组建自己的学习模式 而且在 跟我练习 典型例题 栏目中采用模拟 教师 分析指导 人机交互的学习方式 使学生在 老师 的指导下 逐步掌握本课程的基本原理和基本方法 登录课程讨论区 学生可以提出问题 参与讨论 发表自己的学习体会 同时可以得到老师的指导和其他同学的帮助 通过电子信箱和热线电话与教师取得联系 在老师答疑解难的指导下解决学习中的疑难问题 给出了网络课程学习指南 说明网络课程的特点 栏目及使用方法等 在每章的课堂教学前给出教学内容结构 学习方法等 在每章学习结束时 安排了本章小结 综合练习 阶段复习 模拟测验等栏目 帮助学生巩固所学知识 比较完善的模拟测试功能 通过按知识点随机抽取试题 出题时保证覆盖面广 各知识点题量分布均匀合理 通过在题库中增加正确答案和解题过程分析详解的信息 学生做完测试后立即自动批改判分 可以调阅任意题目的解题过程分析 使针对自己的答题情况解决自己学习中的问题 学习模式主要为 选择媒体自主学习和接受面授辅导 组织学习小组 完成作业 参加网上教学活动等要素组成 针对不同的学习对象 在媒体选择上 我们设计了几种类型 完整类型 针对一些基础较弱的学习者 基本类型 针对大多数学习者 简化类型 针对一些基础较好的学习者 网络课程建成以后 又设计了以下几种媒体选择类型 系统性学习类型 针对没有接触过高等数学知识的学习者 网络课程 文字教材 含学习指南 采用渐进的方法进行系统学习 选择性学习类型 针对对 经济数学基础 知识有一定了解的学习者 网络课程的部分资源 文字教材利用网络版的强大的搜索功能查找和选择相关内容进行针对性学习 研究性学习类型 针对基本掌握了课程内容 而对应用感兴趣的学习者 网络课程中的专题 文字教材 以问题为中心进行学习 根据媒体类型的不同选择 形成了不同的学习模式 学习者通过对适应自身的学习模式的选择 提高自主学习的能力 达到学习目的 开放教育的一个重要标志就是教育对学习者的开放 在开放教育中 学习者的背景呈现多元化的特点 这就决定了他们不同的学习需求和不同的媒体选择取向 经济数学基础 课程多种媒体一体化教材中的各种教学资源应该说基本满足了各种层次 不同需求的学习者的需要 第一编一元函数微分学第一章函数第二章一元函数微分学第三章导数应用第四章多元函数微分学 第一章函数 本章重点函数概念 函数的奇偶性 几类基本初等函数本章难点 建立函数关系式 要掌握本章的内容 我们可以分三个步骤来达到目的 第一步要弄清有关的基本概念 如常量 变量 变域等等 第二步要理解函数的实质 变量之间的对应关系 熟悉构成函数的要素 定义域和对应关系 第三步还要了解函数的基本属性 如单调性 奇偶性 有界性和周期性 可以由定义 也可以借助函数的图形特征来熟悉这些属性 做到以上三步 就会对函数有完整的理解和掌握 本章内容结构 一 函数概念 1 变量与常量P372 函数定义P39 1 组成函数的因素定义域 自变量的取值范围D 对应关系 自变量与因变量的对应关系f 值域 因变量的取值范围Z 三个因素中 前两个一经确定 后一个即随之确定 因此称定义域和对应关系为函数的两要素 所谓要素就是确定函数的首要因素 要素相同则函数相同 例如函数f x 1和函数g x 由于定义域相同且对应关系也相同 所以这两个函数相同 2 掌握求函数定义域的方法 会求初等函数的定义域和函数值 函数的定义域就是使函数有意义的自变量的变化范围 这就需要满足以下几个条件 分式的分母不为0 对数的真数大于0 偶次根式下表达式大于0 如果函数表达式是若干个表达式的代数和的形式 那么先求使每一个表达式有意义的x所构成的集合 或是将每一个表达式看做一个函数 求这个函数的定义域 求出所有表达式所对应的集合后取它们的交集合 这个集合就是所求函数的定义域 对于分段函数 先选定所有分段的区间 然后取这些区间的并集所得到的集合就是分段函数的定义域 对于应用问题中的函数 尽管可能是由解析表达式给出 也要根据它的实际意义来确定它的定义域 收看网络课程的例题 例1求函数y 的定义域 解ln x 1 的定义域是x 1 的定义域是x 2但由于 在分母上 方式的分母不为零 因此x 2 故函数y 的定义域就是上述函数定义域的公共部分 即1 x 2 例2 设f x 的定义域为 0 2 则g x f 2x f 2 x 的定义域为 A 0 1 有意义B 在 0 2 有意义C 在 0 4 有意义D 在 2 4 有意义 答A 例3 函数的定义域 03年7月考试 解 的定义域是但由于在分母上 分式的分母不等于零 因此 3 理解函数的对应关系f的含义 f表示当自变量取值为x时 因变量y的取值为f x 例如 对于函数y f x f表示运算 于是 例2设 求 解由于 说明表示运算 1 因此 4 会判断两函数是否相同 从函数的两个要素可知 两个函数相等 当且仅当他们的定义域相同 对应关系相同 而与自变量或因变量所用的字母无关 例3下列函数中 哪两个函数是相等的函数 A 与B 与解A中的两个函数定义域相同 对应规则也相同 故它们是相等的函数 B中的函数f x 的定义域是 而g x 的定义域是 两个函数的定义域不同 故它们是不相等的函数 5 了解分段函数概念 掌握求分段函数定义域和函数值的方法 例4设 求函数的定义域及 解函数的定义域是 二 掌握函数奇偶性的判别 知道它的几何特点 判断函数是奇函数或是偶函数 可以用定义去判断 即 1 若 则为偶函数 2 若则为奇函数 也可以根据一些已知的函数的奇偶性 再利用 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数仍为奇函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数为偶函数 的性质来判断 例5下列函数中 是偶函数 A B C D 解根据偶函数的定义以及奇函数 奇函数是偶函数的原则 可以验证A中和都是奇函数 故它们的乘积是偶函数 因此A正确 既然是单选题 A已经正确 那么其它的选项一定是错误的 故正确选项是A 请大家判断以下 选项B C D是不是奇函数 三 函数的运算函数的运算当然有加 减 乘 除运算 这些就不需要讲了 在这里我们主要将函数的复合运算 1 函数的复合运算P51所谓复合运算 就是指如果y是u的函数 u是x的函数 y通过u作为中间媒介就成为x的函数 这就是函数的复合运算 如下面这个例子表示的这里y是u的函数 u是v的函数 v是x的函数 y通过u v作为中间媒介就成为x的函数 这就是函数的复合运算注意 复合的条件就是使函数u x 的值域包含在函数y f u 的定义域U中 会对复合函数进行分解 例6将复合函数分解成简单函数 解 四 知道初等函数的概念 牢记常数函数 幂函数 指数函数 对数函数和三角函数 正弦 余弦 正切和余切 的解析表达式 定义域 主要性质及图形 基本初等函数的解析表达式 定义域 主要性质及图形微积分常要用到 一定要熟练掌握 由基本初等函数经过有限次加 减 乘 除或复合而得到的函数称为初等函数 这样的分类把函数分成了初等函数和非初等函数 我们在前面所见到的分段函数就是非初等函数的例子 五 了解需求 供给 成本 平均成本 收入和利润函数的概念 一种产品的成本可以分为两部分 固定成本C0 比如 生产过程中的设备投资 或使用的工具 不管生产产品与否 这些费用都是要有的 它是不随产量而变化的 这种成本称为固定成本 变动成本C 比如每一件产品的原材料 这些费用依赖于产品的数量 这种成本称为变动成本 总成本就是固定成本加上变动成本C C0 C 成本应与产品的产量有关 这种函数表示为C q c0 C q 这就是成本函数 其中总成本C q 是产量q的函数 c0与产量无关 变动成本C q 也是产量q的函数 我们在引入平均成本的概念总成本除以产量q 就是产量为q时的平均成本 用来表示 下面我们来讲收入函数 一种产品销售之后就会有销售收入 销售收入应该是价格乘以产量 但价格与产量之间也有一定的关系 这样就得到R qp q 其中p q 是价格与产量之间的函数关系 相应地有平均收入函数现在我们来研究一种最简单的情况 把收入看作产量的线性函数 价格不随产量而变化 也就是R pq它的图形就是一条单调增加的直线 还有一个函数就是利润函数 利润函数大家也容易理解 因为在收入中减去成本得到的就是利润 既然成本是产量q的函数 收入也是q的函数 那么利润也是q的函数 即L q R q C q 地有平均利润函数的概念 1 L q 0盈利 2 L q 0亏损 3 L q 0盈亏平衡满足L q 0的q0称为盈亏平衡点 又称保本点 在假设成本函数和收入函数都是线性函数的情况下来做一些分析 C c0 c qR pq 例7生产某种产品的固定成本为1万元 每生产一个该产品所需费用为20元 若该产品出售的单价为30元 试求 1 生产件该种产品的总成本和平均成本 2 售出件该种产品的总收入 3 若生产的产品都能够售出 则生产件该种产品的利润是多少 解 1 生产件该种产品的总成本为 平均成本为 2 售出件该种产品的总收入为 3 生产件该种产品的利润为 L q R q C q 第2章一元函数微分学 本章重点 导数概念 极限 导数和微分的计算 本章难点 极限的概念 复合函数求导 本章内容结构 一 极限概念P711 极限概念注意 函数在自变量的某个变化过程中是否有极限存在 决定于在自变量的这个变化过程中函数是否有固定的变化趋势 这个变化趋势与自变量的变化过程及函数的结构有关 而与函数在此点处是否有定义无关 看网络课程 例如其中函数在x 0处无定义 又如 无穷小 有界量 当x 时 虽然这个极限式中求极限的函数与前面极限式中完全相同 但是它们的自变量的变化过程不同 导致极限不相同 记住P76例9 10的结论 2 左极限和右极限P76极限存在的充分必要条件 定理2 13 无穷小量 1 无穷小量是一个特殊的变量 以0为极限的变量 2 无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量 3 在某个变化过程中 绝对值无限增大且可大于任意给定的正实数的变量称为无穷大量 4 无穷大量的倒数是无穷小量 而非零无穷小量的倒数是无穷大量例1 已知 若f x 为无穷小量 则x的趋向必须是 A B C D 答案D 例2填空 选择题 1 下列变量中 是无穷小量的为 A B C D 解选项A中 因为时 故 不是无穷小量 选项B中 因为时 故是无穷小量 选项C中 因为时 故 但是时 故 因此当时不是无穷小量 选项D中 因为 故当时 不是无穷小量 因此正确的选项是B 二 函数的连续性1 定义P86 函数在一点处的连续 由函数连续性的定义可知 函数f x 在点处连续的充分必要条件是 函数f x 在点处同时满足下列条件 1 f x 在点处有定义 2 f x 在点处有极限存在 3 f x 在点处的极限值为该点处的函数值 即 如果函数f x 在点处上述三个条件之一不满足 则函数f x 一定在点发生间断 2 左连续与右连续P86f x 在点处连续的充分必要条件是 在点处既左连续又右连续 3 函数在区间的连续性P874 初等函数在其定义区间内都是连续 记住 5 函数的间断点P88例3 3 当k 时 在x 0处连续 A 0B 1C 2D 1解函数在一点连续必须满足既是左连续又是右连续 因为函数已是右连续 且f 0 0 1 1而左连续故当k 1时 f x 在x 0处连续 正确的选项是D 三 掌握求简单极限的常用方法 求极限的常用方法有 1 利用极限的四则运算法则 P79 2 利用两个重要极限 P82 3 利用无穷小量的性质 无穷小量乘以有界变量还是无穷小量 4 利用连续函数的定义 例4 求下列极限 1 2 3 4 5 解 1 对分子进行有理化 然后消去零因子 再利用四则运算法则和第一重要极限计算 即 2 利用第一重要极限和函数的连续性计算 即 3 利用第二重要极限计算 即 4 利用无穷小量的性质 无穷小量乘以有界变量还是无穷小量 计算 即 1注 其中当时 都是无穷小量乘以有界变量 即它们还是无穷小量 5 利用函数的连续性计算 即 例5 下列极限计算正确的是 A B C D 解选项A不正确 因为不存在 故不能直接用乘积的运算法则 即选项B正确 将分子 分母同除以2x 再利用第一个重要极限的扩展形式 得到选项C不正确 因为 故不能直接用极限的减法运算法则 即 选项D不正确 可以分成两项乘积 即 其中第一项 而第二项故原算法错误 正确选项应是B 四 导数 一 导数定义P92 牢记导数定义的极限表达式 函数的导数是增量之比的极限 即我们把称为函数的平均变化率 把称为变化率 若极限存在 则函数可导 否则不可导 导数是由极限定义的 故有左导数和右导数 f x 在点处可导必有f x 在点处左导数和右导数都存在且相等 反之也成立导数的几何意义是曲线切线的斜率 物理意义是变速运动的速率 经济意义是经济函数的边际经济量 注意 会求曲线的切线方程 二 微分的定义P99设y f x 导数两边同乘 得到函数的微分 微分 三 可导 微分和连续的关系由微分定义可知1 函数的可导与可微是等价的 即若函数f x 可导 则一定可微 反之亦然 2 计算函数f x 的微分 只要计算出函数的导数 再乘以自变量的微分dx即可 反之 如果知道了函数的微分 则dx前面的因子即为函数的导数 可导的函数一定连续 可微的函数也一定是连续函数 连续的函数不一定可导 可微 因此 若函数f x 是可微函数 则答案 例6 若函数f x 在点处可导 则 是错误的A 函数f x 在点处有定义B 但C 函数f x 在点处连续D 函数f x 在点处可微答案 B 例7 填空 选择题 1 设 则 A 不存在B 1C 0D 1解因为时 0是常数函数 而点在范围内 故0 正确的选项是C 2 设 则 A B C D 不存在解如果单看求极限 很难求出结果 但是若联想到以及导数的定义 即有 0故正确的选项是C 3 极限A 1B cosx0C sinx0D 不存在解这个极限的表达式正是函数sinx在点x0处导数的定义 即有cosx0故正确的选项是B 4 设在处可导 且 则 A 不存在B C 0D 任意解因已知在处可导 且将看成看成 则就是在处的导数 故正确选项是B 5 曲线在点 1 0 处的切线是 A B C D 解根据导数的几何意义可知 是曲线在点 1 0 处的切线斜率 故切线方程是 即故正确的选项是A 6 函数在点x0 16处的导数值 解因 故 四 熟练掌握导数或微分的计算方法 具体方法有1 利用导数 或微分 的基本公式P812 利用导数 或微分 的四则运算法则P88在运算中 1 一般是先用法则 再用基本公式 2 若把根式写成幂次 如 的形式 这样便于运用公式且减少出错 例1 教材P81 83例2 求下列函数的导数或微分 1 设y sinxlnx 5 求 2 设 求dy解 教材P112 3 利用复合函数微分法 1 复合函数求导法则 2 复合函数求导步骤 复合函数的求导关键 1 分清函数的复合层次 找出所有的中间变量 2 依照法则 由外向内一层层的直至对自变量求导 再把相应的导数相乘看网络课程例3 求下列导数或微分 1 设 求 解利用导数乘法法则 2 设 求y 解 4 设 求 解因为所以 4 隐函数求导法则分为下列两步 1 方程两边对自变量x求导 视y为中间变量 得到一个关于y 的一次方程 2 解方程求出y对x的导数y 例4 设函数由方程确定 求 解方程两边对x求导 得 整理得 五 知道高阶导数概念 会求函数的二阶导数 一 高阶导数概念 连续两次或两次以上对某个函数求导数 所得结果称为这个函数的高阶导数 如果f x 导函数可以连续对x求导数 称一阶导数的导数为二阶导数 二阶导数的导数为三阶导数 记号教材P111 二 求函数的二阶导数 就是利用导数的基本公式和运算法则对函数一次次地求导 例5填空 选择题 1 已知y 则 A B C 6xD 6解直接利用导数的公式计算 故正确的选项是B 2 已知函数y f x 的微分dy 2xdx 则y A 0B 2xC 2D x2解由于函数y f x 的微分为dy 2xdx 即 于是y 2 故正确的选项是C 3 A tanxB tanxC cotxD cotx解根据复合函数求导法则 得故正确选项应是A 4 若f x 可导且f x 0 则下列等式不正确的是 A B C D 解首先要注意 这里要选择的是不正确的式子 先看A 根据复合函数的求导法则可知故A不正确 因此正确的选项是A 第3章导数应用 1 掌握函数单调性的判别方法 2 了解极值概念和极值存在的必要条件 掌握极值判别的方法 3 掌握求函数最大值和最小值的方法 4 了解边际及弹性概念 会求经济函数的边际值和边际函数 会求需求弹性 本章内容结构 一 单调性判别下面首先讨论3 1函数的单调性 什么叫函数的单调性 1 1节中定义函数的单调性为 一个函数在一个区间之间随着自变量的增加 函数值也在增加 叫做单调增加的 如果随着自变量的增加 函数值却在减少 叫做单调减少的 从函数本身或图形 都能判断函数的单调性 但有时还需要用导数工具判别单调性 定理设函数y f x 在区间 a b 上连续 在区间 a b 内可导 1 如果x a b 时 x 0 则f x 在 a b 上单调增加 2 如果x a b 时 x 0 则f x 在 a b 上单调减少 意义 利用导数的符号判别函数的单调性 说明 闭区间 a b 换成其它区间 如 a b b a 使定理结论成立的区间 称为y f x 的单调区间 例1判别y x3 1的单调性 分析 函数的单调性可以用函数单调性定义或函数图形来判断 在学了定理3 1后 就可以用导数来判断 解 定义域为 x 3x2 0 x 且x 0 y在 上单调增加 例2 1 在指定区间 10 10 内 函数y 是单调增加的 A sinxB C D ln x 20 解这个题目主要考察同学们对基本初等函数图形的掌握情况 因它们都是比较简单的函数 从图形上就比较容易看出它们的单调性 选项A中sinx是正弦函数 它的图形在指定区间 10 10 内是波浪形的 因此不是单调增加函数 选项B中是指数函数 故它是单调减少函数 选项C中x2是幂函数 它在指定区间 10 10 内的图形是抛物线 因此不是单调增加函数 根据排除法可知正确答案应是D 也可以用求导数的方法验证 在指定区间 10 10 内 只有故是单调增加函数 正确的选项是D 2 函数的单调增加区间是解用求导数的方法 因令即x 1 则 所以函数的单调增加区间是 1 二 函数极值 一 什么叫函数极值 先看定义 定义3 1设函数f x 在点x0的某邻域内有定义 如果对该邻域内的任意一点x x x0 恒有f x f x0 则称f x0 为函数的极大 小 值 称x0为函数的极大 小 值点 函数的极大值与极小值统称为函数的极值 极大值点与极小值点统称为极值点 二 极值存在的条件定理3 2如果点是函数f x 的极值点 且 x0 存在 则 x0 0使 x0 0的点 称为函数f x 的驻点 定理3 2表示 如果一个点是极值点 而且在可导的条件下 这个点一定是驻点 这样 极值点可以在驻点或不可导点处找到 说明 若 x0 不存在 则x0不是f x 的驻点 定理3 2是极值存在的必要条件 判别极值点的充分条件 定理3 3设函数f x 在点x0的邻域内连续并且可导 f x0 可以不存在 如果在点x0的左邻域内 x 0 那么x0是f x 的极大 小 值点 且f x0 是f x 的极大 小 值 如果在点x0的邻域内 x 不变号 那么x0不是f x 的极值点 例1设函数y ex x 1 求驻点 分析 驻点就是使导数等于0的点 解 ex 1 由 ex 1 0 得x 0注意 这里求出的x 0不能说是函数的一个极值点 只能说是函数的一个驻点 可导函数 x0 0是点x0为极值点的必要条件 但不是充分条件 例2设y x ln 1 x 求极值点 分析 首先求定义域 然后利用必要条件求驻点和不可导点 再利用充分条件进行判别 确定极值点 解 定义域 1 解得x 0 驻点 在x 0的左右两边 的符号由负变正 故x 0是极小值点 例3设y x 7 求极值点 分析 首先求定义域 然后利用必要条件求驻点和不可导点 再利用充分条件进行判别 确定极值点 解 定义域 x 0处导数不存在 x 1是