高三数学总复习导与练 第二篇第八节配套课件（教师用） 理.ppt

第8节函数与方程 了解函数零点的概念 能判断函数在某个区间上是否存在零点 1 函数的零点 1 定义 对于函数y f x 我们把使f x 0的实数x叫做函数y f x 的零点 2 几个等价关系 方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与x轴有交点 函数y f x 有零点 3 零点存在定理 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有f a f b 0 那么 函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得f c 0 这个c也就是方程f x 0的根 如果函数f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的曲线 并且函数f x 在区间 a b 上是一个单调函数 那么当f a f b 0 那么 函数f x 在区间 a b 内不一定没有零点 如果函数f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的曲线 那么当函数f x 在区间 a b 内有零点时不一定有f a f b 0 例如函数f x x3 5x2 6x在区间 1 4 上有零点2和3 却有f 1 f 4 0 质疑探究 函数的零点是函数y f x 与x轴的交点吗 提示 函数的零点是指方程f x 0的根 是函数y f x 的图象与x轴交点的横坐标 但不是指交点 x f x 勿将 代数点 与 几何点 混淆 2 设x1 x2是实系数一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的两实根 下面列出几种常见根的分布情况 1 2010年高考天津卷 函数f x 2x 3x的零点所在的一个区间是 b a 2 1 b 1 0 c 0 1 d 1 2 解析 由于f 1 f 0 0 故选b 4 若函数f x ax b ab 0 有一个零点是2 则函数g x bx2 ax的零点是 1 求函数零点的基本方法是解方程f x 0 2 判断函数零点所在的区间 可利用函数零点存在定理 3 判断函数零点的个数常用图象法 二次方程根的分布问题 例2 已知函数f x mx2 m 3 x 1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧 求实数m的取值范围 思路点拨 本题涉及二次方程根的分布问题 易联想到根与系数的关系 可根据韦达定理去解决 1 对于 二次 型函数 若二次项的系数不确定 要分系数等于零与不等于零两种情况讨论 2 对于二次方程根的分布 一般借助二次函数的图象比较容易解决 结合 对称轴和端点函数值三方面进行考虑 求函数零点的值 判断函数零点的范围及零点的个数以及已知函数零点求参数取值范围等问题 都可利用方程来求解 但当方程不易甚至不可能解出时 可构造两个函数 利用数形结合的方法进行求解 变式探究31 2009年高考山东卷 若函数f x ax x a a 0 且a 1 有两个零点 则实数a的取值范围是 例1 2010年高考浙江卷 设函数f x 4sin 2x 1 x 则在下列区间中函数f x 不存在零点的是 a 4 2 b 2 0 c 0 2 d 2 4 解析 在同一坐标系中作出函数y 4sin 2x 1 y x的图象 观察图象得在 4 2 上无交点 故选a 例2 已知二次函数f x x2 16x q 3 1 若函数在区间 1 1 上存在零点 求实数q的取值范围 2 是否存在常数t t 0 当x t 10 时 f x 的值域为区间d 且d的长度为12 t 错源 对函数零点存在定理理解不到位 例题 若函数f x 在区间 2 2 上的图象是连续不断的曲线 且f x 在 2 2 内有一个零点 则f 2 f 2 的值 a 大于0 b 小于0 c 等于0 d 不能确定 错解 由函数零点存在定理知 f 2 f 2 0 因此 选d 选题明细表 2 设f x 3x x2 则在下列区间中 使函数f x 有零点的区间是 d a 0 1 b 1 2 c 2 1 d 1 0 解析 x 0时 f x 0 x2 2x 3 0 x 3 x 1舍去 x 0时 f x 0 2 lnx x e2 函数f x 零点个数为2 故选c 5 2011年宁夏银川一中模拟 已知0 a 1 则函数y a x logax 的零点的个数为 b a 1 b 2 c 3 d 4 解析 在同一直角坐标系中分别画出函数y a x y logax 的图象 如图 显然两个函数的图象有两个不同的交点 答案为b 二 填空题6 若函数f x ax2 x 1仅有一个零点 则实数a的取值是 7 2010年厦门质检 函数f x 3x 7 lnx的零点位于区间 n n 1 n n 则n 解析 f 2 1 ln20 f x 的零点位于