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包含因子K 的选择讲授人：中国计量科学研究院研究员 倪育才当得到合成标准不确定度后，获得扩展不确定度Up的前提是确定包含因子k的数值。包含因子的确定方法取决于被测量的分布，因此当被测量Y的分布不同时，应采用不同的方法来确定包含因子。 一、当无法判断被测量Y的分布时 当无法判断被测量Y的分布时，不可能根据分布来确定包含因子k。由于大部分测量均规定要给出扩展不确定度U而不是Up，因此只能假定取k=2或3，绝大部分情况下均取k=2(JJF1059-1999规定，当包含因子取其他值时，应说明其来源)。于是扩展不确定度成为:U=2uc由于不知道被测量的分布，故无法建立置信概率p和包含因子k之间的关系。此时的k值是假设的，而不是由置信概率p导出的，也就是说，无法知道此时所对应的置信概率。二、当被测量Y接近于某种非正态分布 当被测量接近于某种已知的非正态分布时，例如矩形分布、三角分布、梯形分布等，则绝不应该按上面的方法直接取k=2或3，也不能按正态分布的方法。根据计算得到的有效自由度eff，并由t分布表得到kp。此时应根据已经确定的被测量Y的分布，由其概率密度函数具体计算出包含因子k。(1)当可以判定被测量Y接近于矩形分布时，由其概率密度函数可以计算得到包含因子k与置信概率p之间的关系为:当p=0.95时，k95=1.65；当p=0.99时，k99=1.71。(2)当可以判定被测量Y接近于三角分布时，通过类似的计算可以得到包含因子k与置信概率p之间的关系为:当p=0.95时，k95=1.90；当p=0.99时，k99=2.20。(3)当可以判定被测量接近于梯形分布时，通过计算可以得到包含因子k与置信概率p之间的关系为:式中为梯形的角参数，即梯形的上底和下底之比。表1给出当所要求的置信概率分别为95%和99%时，由上式计算得到的不同值梯形分布的包含因子k。三、被测量Y接近于正态分布时 在被测量接近正态分布的情况下，不能直接取正态分布所对应的k值。由于标准不确定度定义为以标准偏差表示的不确定度。而标准偏差是一总体参数，只有通过无限多次测量才能够得到，正态分布也是对应于无穷多次测量的总体分布。也就是说，只有当用总体标准偏差来作为标准不确定度时，才能采用正态分布的k值。但由于在实际测量中不可能进行无限多次测量，只能用有限次测量的实验标准差s作为的估计值，并且这一估计必然会引入误差。由于该误差的存在，如果仍采用正态分布的k值，将达不到所要求的置信概率。反过来说，为了得到对应于所规定置信概率的扩展不确定度，必须适当增大k值。并且随着测量次数的减少，用实验标准差代替标准偏差可能引入的误差将越来越大，包含因子k的值也必将随之增加。因此,这时的包含因子k将是一个与测量次数有关的变量。在数学上，这相当于总体分布满足正态分布时，其样本分布满足t分布。t分布是表征正态分布总体中所取子样的分布。不同的子样大小，对应于不同的t分布，其包含因子k也将不同。因此当被测量Y接近于正态分布时，仅仅根据所要求的置信概率还不足以得到包含因子k，还必须再知道一个与所取样本大小有关的参数，这个参数就称为“自由度”，一般用希腊字母表示。对于不同的自由度，包含因子kp=tp()的数值可以由所规定的置信概率p和估计得到的有效自由度eff通过查表得到。JJF1059-1999规定，当可以判断被测量Y接近于正态分布时，可以采用以下方法得到扩展不确定度。通过计算被测量Y的有效自由度eff，并根据有效自由度和所要求的置信概率p，由t分布临界值表得到包含因子kp=tp(eff)，于是扩展不确定度Up等于合成标准不确定度uc和包含因子kp=tp(eff)的乘积，即：Up=kpuc。此时，由于包含因子k的数值由置信概率通过t分布表得到，因此得到的扩展不确定度必须以Up表示，表明所给的是对应于置信概率为p的扩展不确定度。有时为简单起见，也可以不必考虑比较麻烦的Y的分布情况。此时可采用k=2或3，即:U=kuc(k=2或3)。此时，由于包含因子k的数值是假定的，因此得到的扩展不确定度只能以U表示，表明无法知道与所给扩展不确定度对应的置信概率。这种情况就是无法判断被测量Y的分布差所采取的做法，在已知正态分布的情况下，只要有效自由度不太小，当k分别取2或3时，他们大体上对应于95%或99%的置信概率。但如可估计为正态分布，而有效自由度较小时，在k取2(或3)时，则所给扩展不确定度对应的置信概率可能会与95%(或99%)相去甚远。因此笔者建议仅在确保有效自由度不太小的情况下（例如不小于15）采用该法，除非该领域统一规定直接取k=2而不计算有效自由度。笔者见到过不少测量不确定度评定的实例，在评定得到各不确