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分析力学论文浅谈虚位移原理虚位移原理是应用功的概念分析系统的平衡问题，是研究静力学平衡问题的另一途径。对于只有理想约束的物体系统，由于约束反力不作功，有时应用虚位移原理求解比列平衡方程更方便。 1. 约束及约束方程 约 束物体运动所受到的限制 对物体（质点或质点系）自由运动预定的限制条件（即可以限制位置，也可以限制速度）约束方程:用数学方程描述约束条件的方程 约束分类 几何约束AyxO 限制质点或质点系在空间几何位置的约束 球面摆中质点A的约束方程 运动约束 除限制质点或质点系的几何位置外，还限制质点的速度，那么这种约束就称为运动约束上图车轮沿直线轨道作纯滚动时约束方程为： 定常约束与非定常约束定常约束约束方程中不显含时间的约束非定常约束约束方程中显含时间的约束yxvOM 如图所示，摆长随时间而变化的单摆，约束方程： 完整约束与非完整约束完整约束 约束方程不包含质点速度，或者包含质点速度但约束方程是可以积分的约束(几何约束以及可以积分的运动约束)； 非完整约束 约束方程包含质点速度、且约束方程不可以积分的约束(不能积分的运动约束)。Oyx C圆轮所受约束为完整约束。C*vC约束还可以分为单面约束与双面约束等，这里不过多讨论2. 自由度 广义坐标定义：yxO对具有双面、几何约束的质点系，确定其位置的独立坐标数目称为该质点系的自由度。qlA(x, y) 例如:球面摆中质点 A 有一个约束方程所以其确定A点位置的两个坐标X、Y中只有一个是独立的这样比用直角坐标和约束方程更方便，而用来确定确定质点系位置的独立参变量，叫质点广义坐标， yxOA(x1, y1)B(x2, y2)ab例如qj双摆中摆的约束方程只有2个其确定摆位置的两个坐标X1、X2、Y1、Y2中只有2个是独立的在本例中：可以选择 为质点的广义坐标，摆锤的直角坐标可以表示为：自 由 度 在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参变量的数目等于系统的自由度数N。N=2n-s （二维平面 ） n：质点的数目； s：约束方程的数量N=3n-s （三维空间) n：质点的数目； s：约束方程的数量 qlA(x, y)yxO N=2n-s=2*1-1=1jyxOqA(x1, y1)B(x2, y2)ab N=2n-s=2*2-2=2虚位移 质点系在给定瞬时，为约束所允许的无限小位移虚位移（1）虚位移是假定约束不改变而设想的位移；（2）虚位移不是任何随便的位移，它必须为约束所允许；（3）虚位移是一个假想的位移，它与实位移不同；（4）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。xyOBAMF（1）虚位移是假定约束不改变而设想的位移；各质点虚位移之间的关系的几何法ABPQabOxyOBAMFI 为AB绕I点转过的微小角度理想约束 质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的元功等于零，我们把这种约束系统称为理想约束。FNi d ri = 0式中：FNi 表示第i个质点的约束反力； r i 表示第i个质点的虚位移虚位移原理 质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功虚功。d W = F d r d W = M d jFi + FNi = 0Fi d ri + FNi d ri = 0m1miFiFNiFi d ri + FNi d ri = 0m2d riFi d ri = 0