行列式的的解法技巧论文.doc

I 目 录 1 行列式的基本理论 3 1 1 行列式定义 3 1 2 行列式的性质 3 1 3 基本理论 5 1 4 几种特殊行列式的结果 5 2 行列式的计算技 6 2 1 定义法 6 2 2 化成三角形行列式法 7 2 3 两条线型行列式的计算 8 2 4 箭型行列式的计算 9 2 5 三对角行列式的计算 10 2 6 利用范德蒙行列式 11 2 7 HESSENBERG 型行列式的计算 12 2 8 降阶法 13 2 9 加边法 升阶法 14 2 10 计算行 列 和相等的行列式 15 2 11 相邻行 列 元素差 1 的行列式计算 16 2 12 线性因子法 16 2 13 辅助行列式法 18 2 14 n阶循环行列式算法 18 2 15 有关矩阵的行列式计算 20 2 16 用构造法解行列式 21 2 17 利用拉普拉斯展开 22 3 用多种方法解题 22 参考文献 参考文献 26 2 内容摘要 行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一 在 数学中有着广泛的应用 懂得如何计算行列式显得尤为重要 本文先 阐述行列式的基本理论 然后介绍各种具体的方法 最后由行列式与 其它知识的联系介绍其它几种方法 通过这一系列的方法进一步提高 我们对行列式的认识 对我们以后的学习带来十分有益的帮助 关键词 行列式 矩阵 范德蒙行列式 递推法 Abstract Determinant is an basic and important subject in advanced algebra it is very useful in mathematic It is very important to know how to calculate determinant The paper first introduced the basic nature of determinant then introduced some methods Finally with the other determinant of knowledge on the links in several other ways through this series of methods will futher enhance our understanding of the determinant on our learning will bring very useful help Keywords Determinant matrix Vandermonde Determinant recurrence method 3 引 言 行列式在高等代数课程中的重要性以及在考研中的重要地位使 我们有必要对行列式进行较深入的认识 本文对行列式的解题技巧 进行总结归纳 作为行列式本身而言 我们除了利用行列式的性质化三角行列式 和按行或列展开公式使行列式降阶这些常用的手法外 要根据行列 式不同的特点采用特殊的方法 如递推法 数学归纳法 加边法 升阶法 以及利用范德蒙行列式的结论等等 1 行列式的基本理论 1 1 行列式定义 定义定义 行列式与矩阵不同 行列式是一个值 它是所有不同行不 同列的数的积的和 那些数的乘积符号由他们的逆序数之和有 关 逆序数之和为偶数符号为正 逆序数之和为奇数符号为负 这一定义可以写成 这里 1 2 12 1 2 11121 21222 12 12 1 n n n n j jj n jjnj j jj nnnn aaa aaa a aa aaa 表示对所有级排列求和 1 2n j jj n 4 1 2 行列式的性质 1 行列式的行列互换 行列式不变 nnnn n n nnnn n n aaa aaa aaa aaa aaa aaa 21 22212 12111 21 22221 11211 2 互换行列式中的两行或者两列 行列式反号 nnnn inii knkk n nnnn knkk inii n aaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa 21 21 21 11211 21 21 21 11211 3 行列式中某行乘以一个数等于行列式乘以这个数 nnnn inii n nnnn inii n aaa aaa aaa k aaa kakaka aaa 21 21 11211 21 21 11211 4 行列式的某两行或者某两列成比例 行列式为零 0 21 21 21 11211 21 21 21 11211 nnnn inii inii n nnnn inii inii n aaa aaa aaa aaa k aaa kakaka aaa aaa 5 行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和 时 行列式可拆另两个行列式的和 5 nnnn n n nnnn n nn nnnn nn n aaa ccc aaa aaa bbb aaa aaa cbcbcb aaa 21 21 11211 21 21 112 21 2211 11211 6 把一行的倍数加到另一行 行列式不变 7 行列式有两行 列 相同 则行列式为零 1 3 基本理论 1 其中为元素代数余子式 ji jiD AaAaAa jninjiji 0 2211 ij A ij a 2 降阶定理BCADA DC BA 1 3 CA CO BA 4 BAAB 5 非零矩阵 k 左乘行列式的某一行加到另一行上 则新的分块 行列式与原来相等 1 4 几种特殊行列式的结果 1 三角行列式 上三角行列式 nn nn n n aaa a aa aaa 2211 222 11211 00 0 下三角行列式 nn nnnn aaa aaa aa a 2211 21 2221 11 0 00 2 对角行列式 6 nn nn aaa a a a 2211 22 11 00 00 00 3 对称与反对称行列式 满足 D 称为对 nnnn n n aaa aaa aaa D 21 22221 11211 2 1 2 1 njniaa jiij 称行列式 满足 D 称为 0 0 0 0 321 33231 22321 11312 nnn n n n aaa aaa aaa aaa D 2 1 njiaa jiij 反对称行列式 若阶数 n 为奇数时 则 D 0 4 1111 1 11 3 1 2 1 1 22 3 2 2 2 1 321 j nij i n n nnn n n n aa aaaa aaaa aaaa D 2 行列式的计算技巧 2 1 定义法 例 1 计算行列式 000 000 000 5352 4342 3534333231 2524232221 1312 aa aa aaaaa aaaaa aa D 解 由行列式定义知 且 n n n jj njjj jjj aaaD 1 21 21 21 1 0 151411 aaa 所以 D 的非零项 j 只能取 2 或 3 同理由 0 5514454441 aaaaa 7 因而只能取 2 或 3 又因要求各不相同 故项中 54j j 51 jj 521jjj aaa 至少有一个必须取零 所以 D 0 2 2 化成三角形行列式法 将行列式化为上三角形行列式计算步骤 如果第一行第一个元 素为零 首先将第一行 或第一列 与其它任一行 或列 交换 使第一 行第一个元素不为零 然后把第一行分别乘以适当数加到其它各行 使第一列除第一个元素外其余元素全为零 再用同样的方法处理除 去第一行加第一列余下的低阶行列式依次做下去 直至是它成为上 三角形行列式 这时主对角线上元素的乘积就是行列式的值 例 2 计算行列式 abbb babb bbab bbba Dn 解 各行加到第一行中去 abbb babb bbab bna abb bab bnabnabna Dn 1111 1 1 1 1 1 1 00 00 00 0001 1 n babna bab bab bab bna 例 3 计算行列式 8 1221 21543 1432 1321 nnn n nn D 解 从倒数第二行 1 倍加到第 n 行 11110 11110 11110 132 2 1 11111 11111 11111 1321 n n nn nn n n n nn 将所有列加到第一列上 nn nn n nn n n nn 0 0 111 2 1 1 111 111 111 2 1 倍加各行上第一行的 n n nn n n nn n 1 1 2 1 0 0 111 2 1 1 2 1 2 1 1 nnn nn 2 3 两条线型行列式的计算 除了较简单的行列式 如上 下三角行列式等 可以用定义直 接计算 少数几类行列式可利用行列式性质直接计算外 一般行列 式计算的主要方法是利用行列式的性质做恒等变形化简 使行列式 中出现较多的零元素 然后直接用特殊的行列式的值来计算 如上 下 三角行列式等 或利用按行 列 展开定理降低行列式的阶 数 9 例 4 nn nn ab ba a ba Dn 00 00 000 00 11 2 11 阶行列式 计算 解 解 按第 1 列展开得 1 33 22 1 1 11 3 22 1 000 00 00 000 1 000 00 000 00 n n n n nn b ba ba b b a ba a ba aD n n n bbbaaa 21 1 21 1 2 4 箭型行列式的计算 对于形如 的所谓箭型 或爪形 行列式 可以直接利用行列式性质化为三角或次三角形 行列式来计算 即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零 例例 5 5 计算行列式 100 1010 1200 1111 n n Dn 解 解 10 1 2 1 1 1 000 0010 0200 1 2 1 1111 1 2 1 2 1 1 1 n n n n n c n c cc nn n nn nD 2 5 三对角行列式的计算 对于形如的所谓三对角行列式 可直接展开得到 两项递推关系 然后采用如下的一些方法求解 21 nnn DDD 方法 1 如果 n 比较小 则直接递推计算 方法 2 用第二数学归纳法证明 即验证 n 1 时结论成立 设 时结论也成立 若证明 n k 1 时结论也成立 则对任意自然数kn 相应的结论成立 方法 3 将变形为 其 21 nnn DDD 211 nnnn pDDqpDD 中 由韦达定理知 p 和 q 是一元二次方程 qp pq 的两个根 确定 p 和 q 后 令 则利用0 2 xx 1 nn pDDxf 递推求出 再由递推求出 1 nqfnf nf nfpDD nn 1n D 方法 4 设 代入得 称 n n xD 0 21 nnn DDD 0 xxn 之为特征方程 求出其根和 假设 则 1 x 2 x 21 xx nn n xkxkD 2211 这里 可通过 n 1 和 n 2 来确定 1 k 2 k 11 例例 6 6 计算行列式 1000 000 0010 001 000 n D 解解 将行列式按第展开 有n 21 nnn DDD 112 nnnn DDDD 112 nnnn DDDD 得 nn nnnn DDDDDD 12 2 32 2 1 同理 得 n nn DD 1 所以 1 11 nn n n n D 2 6 利用范德蒙行列式 范德蒙行列式具有逐行元素递增的特点 因此遇到具有逐行 或列 元素方幂递增或递减的所谓范德蒙型的行列式时 可以考 虑将其转化为范德蒙行列式并利用相应的结果求值 例例 7 7 计算行列式 21 n2 2 1 n 2 2 1 1 n 1 2 2 2 21 2 1 21 111 111 n nn nn nn n xxxxxx xxxxxx xxx D 解 解 把第 1 行的 1 倍加到第 2 行 把新的第 2 行的 1 倍加到 第 3 行 以此推直到把新的第行的 1 倍加到第 行 便得范德1 nn 12 蒙行列式 12 222 12 1 111 12 111 n nij n ij nnn n xxx Dxxxxx xxx 2 7 Hessenberg 型行列式的计算 对于形如 的所谓 Hessenberg 型行列式 可直接展开得到递推公 式 也可利用行列式的性质化简并降阶 例例 8 8 计算行列式 1 1 2 2 22 11 1321 nn nn nn Dn 解 解 将第 1 2 n 1 列加到第 n 列 得 01 2 2 22 11 2 1 1321 n nn nn n Dn 13 1 2 2 11 1 2 1 1 n n nn n 2 1 1 1 n n 2 8 降阶法 将行列式的展开定理与行列式性质结合使用 即先利用性质将 行列式的某一行 或某一列 化成仅含一个非零元素 然后按此行 列 展开 化成低一阶的行列式 如此继续下去 直到化为三阶或二阶 行列式直接计算出结果 1111 4444 2222 dcbadcdbcbdacaba dcba dcba dcba 左边 0001 222222222222 222222 4444444 2222222 adadacacabab adacab adacab adacaba adacaba adacaba 111 222222 addaacacbaab daacabadacab 11 2222 dbabbdabcabbcc bdadacab dcbadcdbcbdacaba 例例 9 计算行列式 其中 0 0 0 21 212 121 aaaa aaaa aaaa D nn n n n 2 n0 1 i i a 解 14 nnnn n n n n aaaaaa aaaaaa aaaaaa a a a D 21 22212 12111 2 1 2 2 2 n n n aaa a a a a a a 21 1 2 1 2 1 111 10 01 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 11 10 01 10 01 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 n n n n n a a a a a aa a a a D 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 kj kj n i i n n j j n k k i i n aana n a a n a 2 9 加边法 升阶法 行列式计算的一般方法是降阶 但对于某些特殊的 n 阶行列式 如除对角元 或次对角元 外 其余元素相同或成比例的行列式 有时加上一行一列变成 n 1 阶的行列式 特别是第 1 列为 并适当选择第 1 行的元素 就可以使消零化简单方便 且 T 0 0 1 化简后常变成箭型行列式 这一方法称为升阶法或加边法 例例 1010 计算阶行列式 n n n n n n axaaa aaxaa aaaxa aaaax D 321 321 321 321 15 解解 0 0 1 1 1 n n n D aa D x x x aaa nirr n i 001 001 001 1 1 2 21 1 n j jn n n j j x a x x x aa x a 1 1 1 1 00 00 1 2 10 计算行 列 和相等的行列式 对于各行 或各列 之和相等的行列式 将其各列 或各行 加到第 1 列 或行 或第 n 列 或行 然后再化简 例例 1111 计算 n 阶行列式 1110 1101 1011 0111 n D 解解 1110 1101 1011 1111 12 1 n n n n nicc in nD 0001 0010 0100 1111 3 2 1 n nirri 1 1 1 1 2 1 n n nn 1 1 2 1 2 n nn 16 以下不作要求 2 11 相邻行 列 元素差 1 的行列式计算 以数字 1 2 n 为 大部分 元素 且相邻两行 列 元 素差 1 的 n 阶行列式可以如下计算 自第 1 行 列 开始 前行 列 减去后行 列 或自第 n 行 列 开始 后行 列 减去 前行 列 即可出现大量元素为 1 或 1 的行列式 再进一步化 简即出现大量的零元素 对于相邻行 列 元素相差倍数 k 的行列式 采用前行 列 减去后行 列 的 k 倍 或后行 列 减去前行 列 的 k 倍的 步骤 即可使行列式中出现大量的零元素 例例 1212 计算 n 阶行列式 1 1 1 1 1 132 432 3412 231 122 n nnnn nnn nn n aaaa aaaa aaaa aaaa aaaa D 解解 1 132 1 1 1 01000 00100 00010 00001 12 1 nn n n n n n ii n a aaaa a a a a niarr D 2 12 线性因子法 17 例例 1313 计算行列式 1 2 0 0 0 0 xyz xzy yzx zyx z z x x 1111 1111 1111 1111 解 1 由各列加上第一列可见 行列式 D 可被整除 zyx 由第二列加到第一列 并减去第三 四列可见 可被整除 Dxzy 由第三列加于第一列 并减去第二 四列可见 被整除 Dzyx 最后由第四列加于第一列 并减去第二 三列可见 可被D 整除 我们把视为独立未知量 于是上述四个线性因子zyx zyx 式是两两互素的 因此 可被它们的乘积D 整除 zyxzyxxzyzyx 此乘积中含有一项 而中含有一项 4 z D 44 2 4 1 zz c 所以 zyxzyxxzyzyxD 222222444 222zyzxyxzyx 2 将行列式的前两行和两列分别对换 得D z z x x D 1111 1111 1111 1111 如果以代替 又得原来形式的行列式 因此 如果含有x xD 因式 必含有因式 由于当时 有两列相同 故确有xx 0 xDD 因式 从而含有因式 同理又含有因式 而的展开式中xD 2 xD 2 zD 有一项 从而 22z x 22z xD 例例 1414 计算行列式 xn x Dn 1 11 111 111 18 解 由 阶行列式定义知 的展开式是关于 的首项系数为n n Dx 的次多项式当时 因此 1 1 n 1 n xDn 22 1 0 nkkx 0 kDn 有个互异根 0 1 2 由因式定理得 xDn1 n2 n 2 0 n k n xDkx 故 0 2 1 1 kx k n D n n 2 13 辅助行列式法 例例 1515 计算行列式 1 111 nnn n n afaf afaf D 其中为次数 的数域 F 上多项式为 F 1 nixfi 2 n n aa 1 中任意 个数 n 解 若中有两个数相等 则 n aa 1 0 n D 若互异 则每个 阶行列式 n aa 1 n 是 2 1211 nnnn n afafxf affxf xG 的线性组合 据题的次数 因而 21 xfxfxf n xfi 1 2nin 的次数 但 xG 2 n 0 2 n aGaG 这说明至少有个不同的根 故所以即 xG 1 n 0 xG0 1 aG 0 xDn 2 14 阶循环行列式算法n 19 例例 1616 计算行列式其中 accc bacc bbac bbba Dn cbabc 0 解 设且令的 个根为 12 n xxxbaxf 0 b c xnn 则 1 nixi n i in xfD 1 由有 11 1 x x b c x b c x ba x xx baxf n n 1 1 i i i i i x acxba x x b c baxf 利用关系式 0 1 21niiijii xxxxxx b c xxx n n 1 21 1 得 n i i n i i i i n i n x acxba x acxba D 1 1 1 1 1 bc cabbac b c acba b c nn nn nnn 1 1 1 1 1 例例 1717 设都是 的可微函数 2 1 njixfij x 证明 n i nnn ini n nnnn n n xfxf xf dx d xf dx d xfxf xfxfxf xfxfxf xfxfxf dx d 1 1 1 111 21 22221 11211 证明 20 1 2211 21 22221 11211 1 21 xfxfxf dx d xfxfxf xfxfxf xfxfxf dx d njnjj jj jjj nnnn n n n n 1 2211 21 21 xfxfxf dx d njnjj jjj jjj n n 1 1122112211 21 21 xf dx d xfxfxfxfxfxf dx d njnjnnjjnjn jjj jj jjj n n 1 1 2121 2121 1111 2211 nn nn jjj njnjnn jjj j jjj njnjj jjj xf dx d xfxfxfxfxf dx d 21 22221 11211 21 22221 11211 xfxfxf xf dx d xf dx d xf dx d xfxfxf xfxfxf xfxfxf xf dx d xf dx d xf dx d nnnn nn n nnnn n n 1 21 21 11211 21 12 11 1 2 2221 11211 xfxfxf xf dx d xf dx d xf dx d xfxfxf i n xf dx d xf dx d xf dx d xfxfxf xf xfxf xfxfxf nnnn inii n nnnn nnnn n n 2 15 有关矩阵的行列式计算 例例 1818 设 A 与 B 为同阶方阵 证明 BABA AB BA 21 证明 BABA BAB BA AB ABBA AB BA 0 例例 1919 设 A 为 阶可逆方阵 为两个 维列向量 则n n AaAA 1 1 证明 1 101 1 1 1 1 AA A AA nn 例例 2020 若 阶方阵 A 与 B 且第 列不同 nj 证明 BABA n 1 2 证明 2 2 22 11 nn ba ba ba BA 2 2 2 2 2 1 2 1 bn b b an a a 2 2 1 1 1 1 bn b an a nn 2 1 BA n BABA n 1 2 2 16 用构造法解行列式 例例 2121 设baxaxaxaxf 321 证明 ba abfbfa abb aab aaa D 3 2 1 证明 构造出多项式 baxb babaxb aaaaxa xaxbxb xaxaxb xaxaxa xD 3 2 111 3 2 1 0 ba baba aaaa x bab babab aaaaa 3 2 11 3 2 111 01 1 1 0 22 ba baba aaaa x abb aab aaa 3 2 31 3 2 1 01 1 1 1 xDDxD 00 0 0 00 1321 3 2 1 1321 3 2 1 bfbDDbababa ba baba bababa bDbx afaDDaaaaaa aaabab aaab aa aDax 当 当 ba abfbaf D 2 17 利用拉普拉斯展开 例例 2222 证明 级行列式n xaaaaa x x x D nnn 1221 1000 0010 0001 证明 利用拉普拉斯展开定理 按第 行展开有 n nnn nnn nnnnnnn n nn n n nnnn n n n n n xxaxaxaxaa xxaxaxaa x x x x xa x x x a x x a x x aD 1 1 2 2 2 21 1 1 1 2 2 2 2 1 211 1 1 2 2 1 21 1 1 1 1 1 1 1 0000 1000 0010 0001 1 10000 0000 0010 0001 1 1000 01000 00010 0000 1 1000 01000 0001 00001 1 以上等式右端的级行列式均为 三角形行列式 1 n 计算行列式的方法很多 也比较灵活 上面介绍了计算行列式 23 的几种方法 计算行列式时 我们应当针对具体问题 把握行列式 的特点 灵活选用方法 3 用多种方法解题 下面我们运用上面的介绍的各种方法 选用多种方法解题 例例 23 计算 xaaa axaa aaxa aaax Dn 法 1 将第 2 3 n 行都加到第 1 行上去 得 xaa aaa axa anx xaa aaa axa anxanxanx Dn 111 1 1 1 1 再将第一行通乘 然后分别加到第 2 3 n 行上 得a 1 00 000 00 111 1 1 anxax ax ax anxD n n 法 2 将 2 3 n 行分别减去第 1 行得 axxa axxa axxa aaax Dn 00 00 00 再将第 2 3 n 列都加到第 1 列上去 24 便有 1 1 000 000 000 1 n n axanx ax ax ax aaaanx D 法 3 将添加一行及一列 构成阶行列式 n D 1 n xaa axa aax aaa Dn 0 0 0 1 再将第 2 3 n 1 行分别减