积分变换第6讲拉氏变换的性质及应用.ppt

1 积分变换第6讲 2 拉氏变换的性质 本讲介绍拉氏变换的几个性质 它们在拉氏变换的实际应用中都是很有用的 为方便起见 假定在这些性质中 凡是要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理中的条件 并且把这些函数的增长指数都统一地取为c 在证明性质时不再重述这些条件 3 1 线性性质 若a b是常数L f1 t F1 s L f2 t F2 s 则有L af1 t bf2 t aF1 s bF2 s L 1 aF1 s bF2 s af1 t bf2 t 此线性性质根据拉氏变换的定义就可得出 4 2 微分性质若L f t F s 则有L f t sF s f 0 2 3 证根据分部积分公式和拉氏变换公式 5 推论若L f t F s 则L f t sL f t f 0 s sL f t f 0 f 0 s2L f t sf 0 f 0 L f n t sL f n 1 t f n 1 0 snF s sn 1f 0 sn 2f 0 f n 1 0 2 4 特别 当初值f 0 f 0 f n 1 0 0时 有L f t sF s L f t s2F s L f n t snF s 2 5 此性质可以使我们有可能将f t 的微分方程转化为F s 的代数方程 6 例1利用微分性质求函数f t coskt的拉氏变换 由于f 0 1 f 0 0 f t k2coskt 则L k2coskt L f t s2L f t sf 0 f 0 即 k2L coskt s2L coskt s移项化简得 7 例2利用微分性质 求函数f t tm的拉氏变换 其中m是正整数 由于f 0 f 0 f m 1 0 0 而f m t m 所以L m L f m t smL f t sm 1f0 sm 2f 0 f m 1 0 即L m smL tm 8 此外 由拉氏变换存在定理 还可以得到象函数的微分性质 若L f t F s 则F s L tf t Re s c 2 6 和F n s L t nf t Re s c 2 7 这是因为对于一致绝对收敛的积分的积分和求导可以调换次序 9 例3求函数f t tsinkt的拉氏变换 10 3 积分性质若L f t F s 11 重复应用 2 8 式 就可得到 12 由拉氏变换存在定理 还可得象函数积分性质 若L f t F s 则 13 例4求函数 的拉氏变换 14 其中F s L f t 此公式常用来计算某些积分 例如 15 4 位移性质若L f t F s 则有L eatf t F s a Re s a c 2 12 证根据拉氏变换式 有 上式右方只是在F s 中将s换为s a 因此L eatf t F s a Re s a c 16 例5求L eattm 例6求L e atsinkt 17 5 延迟性质若L f t F s 又t 0时f t 0 则对于任一非负数t 0 有L f t t e stF s 2 13 证根据 2 1 式 有 18 函数f t t 与f t 相比 f t 从t 0开始有非零数值 而f t t 是从t t开始才有非零数值 即延迟了一个时间t 从它的图象讲 f t t 是由f t 沿t轴向右平移t而得 其拉氏变换也多一个因子e st 19 例7求函数 的拉氏变换 1 u t t t t O 20 例8求如图所示的阶梯函数f t 的拉氏变换 利用单位阶跃函数u t 可将f t 表示为 f t 4A 3A 2A 1A O t t 2t 3t 21 利用拉氏变换的线性性质及延迟性质 可得 当Re s 0时 有 e st 1 所以 上式右端圆括号中为一公比的模小于1的等比级数 从而 22 一般地 若L f t F s 则对于任何t 0 有 函数的周期拓展 23 例9求如图所示的单个半正弦波f t 的拉氏变换 O t E f t O O E E T T t f1 t f2 t t 24 由前图可知 f t f1 t f2 t 所以 25 例10求如下图所示的半波正弦函数fT t 的拉氏变换 3T 2 5T 2 t T 2T O E fT t 26 由例9可得从t 0开始的单个半正弦波的拉氏变换为 从而 27 这是一个求周期函数拉氏变换的简单方法 即设fT t t 0 是周期为T的周期函数 如果 且L f t F s 则 28 初值定理与终值定理 29 证根据拉氏变换的微分性质 有L f t L f t f 0 sF s f 0 两边同时将s趋向于实的正无穷大 并因为 30 2 终值定理若L f t F s 且sF s 在Re s 0的区域解析 则 31 证根据定理给出的条件和微分性质L f t sF s f 0 两边取s 0的极限 并由 32 这个性质表明f t 在t 时的数值 稳定值 可以通过f t 的拉氏变换乘以s取s 0时的极限值而得到 它建立了函数f t 在无限远的值与函数sF s 在原点的值之间的关系 在拉氏变换的应用中 往往先得到F s 再去求出f t 但经常并不关心函数