线性代数课件--13方阵的对角化.ppt

1 主要内容 第十三讲方阵的对角化 相似矩阵的概念和性质 方阵与对角阵相似的条件 对称阵的特征值与特征向量的性质 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的方法 基本要求 了解相似矩阵的概念和性质 了解方阵可相似对角化的充要条件 了解对称阵的特征值与特征向量的性质 掌握利用正交阵将对称阵化为对角阵的方法 2 一 相似矩阵的概念 第三节相似矩阵 1 概念的引入 已知矩阵 求 我们可以找到一个可逆矩阵 相似矩阵 使 3 2 相似矩阵的概念 定义设都是阶矩阵 若有可逆矩阵 使 则称是的相似矩阵 或称矩阵与相似 对进行运算称为对进行相似变换 可逆矩阵称为把变成的相似变换矩阵 4 说明 能对角化最突出的作用表现在的多项式的计算上 若存在可逆矩阵 使 为对角阵 则有 这表明的多项式可通过同一多项式的数值计算而得到 当能对角化时 可以容易证明下面结论 设是的特征多项式 则 5 二 相似矩阵的性质 定理3 若是的相似矩阵 则也是的相似矩阵 若与相似 则它们的行列式相等 若与相似 则与也相似 若阶矩阵与相似 则与的特征多项式相同 从而与的特征值也相同 相似 若阶矩阵与对角阵 则即是的个特征值 证明 证明 6 说明 推论表明 若 则的对角元必定是的全部特征值 于是在不计较的对角元次序的意义下 由惟一确定 问题 可逆矩阵是不是也由确定 能不能用特征值和特征向量来刻画矩阵能对角化的 特性 定理3的逆命题不成立的 若矩阵和的特征值相同 它们可能相似 也可能不相似 例如 7 三 方阵可对角化的充要条件 1 方阵对角化的概念 寻找相似变换矩阵 使 这就称为把方阵对角化 说明 如果能找到可逆矩阵 使 则可对角化 如果找不到这样可逆矩阵 则不可对角化 8 2 定理的引入 设有可逆矩阵 使为对角阵 下面回答能否由确定 9 因而由和确定 也就是由确定 由于特征向量不是惟一的 所以矩阵也不是惟一确定的 10 反过来 是依次与之对应的特征向量 则 设矩阵的个特征值为 当可逆 即线性无关时 有 这表明方阵能否对角化完全可用的特征值和特征向量来刻画 11 3 方阵可对角化的充要条件 定理4阶矩阵与对角阵相似 即能对角化 的充要条件是有个线性无关的特征向量 推论 若阶矩阵的个特征值互不相等 则与对角阵相似 说明 当的特征方程有重根时 不一定有个线性无关的特征向量 从而不一定能对角化 但是 有重根时 也有可能能对角化 所以 特征值互不相等只是与对角阵相似的充分条件 12 例1设 问为何值时 矩阵能对角化 解析 此例是定理4的应用 定理4表明 阶矩阵可对角化 有个线性无关特征向量 由此可推得另一个充要条件 对应于的线性无关特征向量的个数 13 所以的特征值为1 二重 对应于单根 可求得线性无关的特征向量1个 对应于二重特征值1 若能对角化 则 14 要使 则 即 说明 解答此题的关键是将取值条件 可对角化 转化为 二重特征值1应满足 从而求得 矩阵能否对角化 取决于它的线性无关特征向量的个数 而与的秩 的行列式都无关 15 例2设 若能 找出一个相似变换矩阵将化为对角阵 试问能否对角化 解析 这是前面提到的一个例题 现在再讲 目的是为了熟悉找相似变换矩阵的方法 先求的特征值 所以的特征值为 再求特征向量 16 当时 对应的特征向量满足 解之 得基础解系 所以对应于的线性无关的特征向量可取为 解之 得基础解系 当时 对应的特征向量满足 所以对应于的线性无关的特征向量可取为 17 由以上可知 有两个线性无关特征向量 令 则就是所求相似变换矩阵 且有 说明 求相似变换矩阵的步骤 求特征值 求特征向量 若线性无关的特征向量的个数等于矩阵的阶数 则相似变换矩阵存在 否则不存在 由线性无关的特征向量构成的矩阵就是所求 所以可以对角化 18 四 小结 对于阶矩阵和 若有可逆矩阵 使 则称与相似 阶矩阵与相似 则和的特征值相同 反之不然 阶矩阵与对角阵相似的充要条件是有个线性无关的特征向量 19 一 实对称阵的性质 第四节实对称阵的对角化 定理5实对称阵的特征值为实数 定理6 设是对称阵的两个特征值 是 若 则与正交 对应的特征向量 证明 证明 证明 定理7 设为阶实对称阵 则必有正交阵 使 其中是以的个特征值为对角元的对角阵 推论 设为阶对称阵 是的特征方程的重根 则矩阵的秩 从而对应特征值恰有个线性无关的特征向量 20 说明 定理5表明 实对称阵的特征向量可取实向量 这是因为 当特征值为实数时 齐次方程 的系数矩阵是实矩阵 必有实的基础解系 定理6表明 实对称阵的特征向量可取为两两正交的向量 这是因为 对的每一个不同的特征值 对应于的特征向量可取为两两正交向量 到的线性无关的特征向量就是两两正交的 定理7表明 实对称阵一定可以对角化 而且是正交相似对角化 这样所得 21 二 实对称阵的对角化 理论依据 定理7和其推论 实对称阵正交相似对角化的步骤 求出的全部互不相等的特征值 它们的重数依次为 对于实对称阵 一定在正交阵 使 对于对称阵 重特征值对应的线性无关特征向量恰好有个 22 对应于重特征值 求方程 由推论 再把它们正交化 单位化 得个两两正交的单位特征向量 可得个两两正交的单位特征向量 由定理6 用这个两两正交的单位特征向量构成正交阵 便有 注意中对角元的排列次序应与中列向量的排列次序相对应 的基础解系 得个线性无关的特征向量 故总共 23 例3设 求一个正交阵 使为对角阵 解析 对称阵正交相似对角化的原理和步骤是本章的中心问题 此例是这一问题的示范 目的是熟 悉对称阵正交相似对角化的步骤 并明了每个步骤的必要性和依据 求特征值 24 求得的特征值为 由 25 求两两正交的单位特征向量 对应于 解方程 由 得基础解系 从而得单位特征向量 解方程 对应于 26 由 得基础解系 将正交化 取 从而得两两正交的单位向量为 27 写出正交阵和对角阵 令 就是所求正交阵 且有 28 注意 若令则 若令则 29 例4设 求 解析 此例的目的是掌握利用矩阵对角化理论计算方阵的幂及多项式 求的特征值 由 得的特征值为 求特征向量 对应 解方程 30 由 得 对应 解方程 由 得 写出相似变换矩阵 将化为对角阵 令 则 且 即 31 根据的相似对角阵 求 32 此例体现了方阵对角化的作用 如前面所述 将此例与第二章中的有关的例题相比较 后者给出关系式 矩阵和 也就是给出条件 可对角化 的相似对加阵 相似变换矩阵 前者则更具有理论性和实践性 已知 通过计算和 求 因此尽管两者都是求的幂 形象地说后者是矩阵乘法的练习 前者是理论指导下的实践 说明 33 三 小结 对于实对称阵 一定在正交阵 使 将对称阵正交相似对角化的步骤 求特征值 求两两正交的单位特征向量 写出正交矩阵和对角阵 34 思考题 1 设是阶矩阵的重特征值 对应线性无关的特征向量恰有个 证明 2 如果是矩阵的两个不同的特征值 是对应于特征值的线性无关的特征向量 是对应于特征值的线性无关的特征向量 那么 也线性无关 3 设是阶矩阵 是的个特征向量 求 4 若 则可对角化 若 且 则不可对角化 思考题 35 思考题解答 1 证设这个线性无关的特征向量为 因它们是齐次方程的基础解系 故 选取使这个向量线性无关 可选矩阵的列向量组的最大无关组 并把它们构成可逆矩阵 因 故 36 思考题解答 则与相似 且的特征多项式为 可见的特征值的重数 而的特征值与的特征值一一对应 因此的特征值的重数 因而的特征值0的重数 37 思考题解答 2 证 设有 使 两边左乘 得 又 所以 因为线性无关 所以必有 同理必有 于是 线性无关 38 思考题解答 3 解 因为是阶矩阵的特征值 所以存在可逆矩阵 使 所以 39 思考题解答 4 证 设为阶矩阵 由 得 先证的特征值知可能是0或1 设是的一个特征值 由关系式可知 应有所以或1 再证有个线性无关特征向量 设则 于是 由知 对应于0的线性无关的特征向量有个 由知 对应于1的线性无关的特征向量有个 所以共有个线性无关特征向量 故可对角化 40 用反证法 假设能对角化 即存在可逆矩阵 使 为对角阵 所以 而已知 故 与矛盾 因此不能对角化 思考题解答 41 作业 作业 P13813 14 15 16 2 P13917 18 22 24 2 42 例如设 则有 其中 所以与相似 又设 显然与的特征值相同 但是它们不相似 43 这是因为 如果与相似 存在可逆矩阵 使 矛盾 注意 当阶矩阵都能对角化时 若它们有相同的特征值 则它们是一定相似的 若把对角阵的对角元交换次序变为对角阵 则与相似 与单位阵相似的矩阵一定是单位阵 Back 44 证 因为与相似 所以存在可逆矩阵 使 于是 即 因此与相似 证毕 45 证毕 析 要证与的特征值相同 只需证它们的特征多项式相同 即 因为与相似 所以与相似 则 存在可逆矩阵 使 于是 证 46 证设为实对称阵的特征值 要证为实数 即证 因为为的特征值 所以存在非零向量 使 于是有 实对称阵的性质的证明 实对称阵的特征值为实数 47 因此 而当时 故 即 所以是实数 实对称阵的性质的证明 证毕 48 实对称阵的