线性代数第六章第二节二次型化为标准型的三种方法.ppt

第六章第二节 二次型化为标准型的三种方法 用可逆 或正交 变换化二次型为标准形 目标 问题转化为 定理3对任意n元实二次型f x1 x2 xn XTAX A为n阶对称矩阵 则必有正交矩阵P 使 正交变换的特征是保持向量的长度不变 定义若为正交矩阵 则线性变换称为正交变换 在几何中将二次曲线或曲面的方程化为标准型方程时 如果 要求保持图形的几何性质 如保持图形的形状不变 就要使用 正交变换等方法 次型 使变换保持尺度不变 在统计等方面的应用中 也常常使用正交变换的方法处理二 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤 与上一章化相似标准型的做法基本一致 也可以作组内正交化 用正交变换将二次型化为标准形的方法 由 解写出的系数矩阵A 求出A的特征值和特征向量 得 得基础解系 当时 解方程组 得基础解系 当时 解方程组 将特征向量正交化 单位化 再对 1 2 3单位化 得 写出正交变换的矩阵 由构成正交矩阵 显然 f 1表示的二次曲面为单叶双曲面 注意 化f为标准形的正交变换不唯一 则二次型经正交变换x Ty化为标准形 解 例2 拉格朗日配方法的具体步骤 用正交变换化二次型为标准形 其特点是保持几何形状不变 问题 有没有其它方法 也可以把二次型化为标准形 问题的回答是肯定的 下面介绍一种行之有效的方法 拉格朗日配方法 用正交变换能够化实二次型为标准型 这种方法是根据实 对称矩阵的性质 求出二次型的特征值和规范正交的特征向量 条件要求较强 当研究一般数域P上的二次型 包括实二次型 的标准型时 可以用拉格朗日配方法 这种方法不用解矩阵特征值问题 只需反复利用以下两个初等公式 就能将二次型化为平方和 下面首先举例说明 再给出理论证明 1 若二次型含有的平方项 则先把含有的乘积项集中 然后配方 再对其余的变量同样进行 直到都配成平方项为止 经过非退化线性变换 就得到标准形 拉格朗日配方法的步骤 2 若二次型中不含有平方项 但是则先作可逆线性变换 化二次型为含有平方项的二次型 然后再按1中方法配方 解 例3 所用变换矩阵为 例4用配方法化二次型 为标准型 并求出所用的可逆线性变换 解 2 是可逆线性变换 使 2 3 4 9 2 2 2 1 3 2 1 y y y x x x f 解 例5 由于所给二次型中无平方项 所以 记X BY 得 再把所有含y1的项集中 配平方 同样地把含有y2的项集中 配平方 就得到 即 求逆矩阵 记Y DZ 所用变换矩阵为 定理4对于任一n元二次型 都存在非退化的线性变换X CY 使之成为标准型 平方和 证明对变量个数进行归纳 平方项的系数不全为零 不妨设 是n 1元二次型或零多项式 由归纳假设 存在非退化线性变换 则非退化线性变换为 是非退化的线性变换 使得 可化为标准型 推论1任意n阶对称矩阵A都与对角形矩阵合同 证明由定理4 存在非退化线性变换X CY 使得 右端标准型的矩阵为 新旧变量二次型的矩阵A与B满足CTAC B 即A与对角形矩阵 B合同 3初等变换法 根据实对称矩阵及合同变换的特征得到 只作列变换 C为所求 1 化二次型为标准形的正交变换是否唯一 2 二次型的标准形是否唯一 3 二次型的平方和和标准形主要区别是什么 4 在实数域里考虑 正交变换法和配平方法没有改变二次型的那些特征 思考 1 正交变换不唯一 2 标准形不计顺序的话是唯一的 3 标准形的