【学海导航】高考数学第1轮总复习 全国统编教材 12.1数学归纳法及其应用（第2课时）课件 理.ppt

第十二章极限与导数 数学归纳法及其应用 第讲 1 第二课时 题型3用数学归纳法探求数列的通项公式 1 已知数列 an 满足 a1 1 a2 an an 1 1 n an 1 an n 2 求数列 an 的通项公式 解 由已知可得因为a1 1 a2 所以由此猜想 证明 1 当n 1时 结论成立 2 假设当n k时结论成立 即则当n k 1时 所以当n k 1时 结论也成立 综合 1 2 知 数列 an 的通项公式是 点评 归纳 猜想 证明 是求数列的通项公式与前n项和公式的常用方法 也是近几年高考理科数学试卷中数列问题的一个主要类型 应引起足够的重视 数列 an 满足sn 2n an n n 1 计算a1 a2 a3 a4 并由此猜想通项公式an 2 用数学归纳法证明 1 中的猜想 解 1 当n 1时 a1 s1 2 a1 所以a1 1 当n 2时 a1 a2 s2 2 2 a2 所以a2 当n 3时 a1 a2 a3 s3 2 3 a3 所以a3 当n 4时 a1 a2 a3 a4 s4 2 4 a4 所以a4 由此猜想 2 证明 当n 1时 a1 1 结论成立 假设n k k 1且k n 时 结论成立 即那么当n k 1 k 1且k n 时 ak 1 sk 1 sk 2 k 1 ak 1 2k ak 2 ak ak 1 所以2ak 1 2 ak 所以这表明n k 1时 结论也成立 由 知 猜想成立 题型4用数学归纳法探求数列的有关性质 2 已知两个数列 an bn 满足 a1 2 b1 1 且an an 1 b 试推测an bn的变化规律 并证明你的结论 解 当n 1时 a1 b1 1 因为所以a2 b2 1 由此猜测 an bn 1 证明 1 当n 1时 a1 b1 1显然成立 2 假设当n k时 ak bk 1 即bk 1 ak成立 则ak 1 bk 1 akbk 1 bk 1 ak 1 bk 1所以当n k 1时 结论成立 综合 1 2 知 对任意n n 都有an bn 1 故an bn 1 为定值 点评 探求数列中的有关性质 一般是先观察n 1 2 3时的命题的性质 对这几项进行归纳 分析 猜想出一般性的结论 然后用数学归纳法来证明 已知数列 an 是公差不为零的等差数列 且a4是a2与a8的等比中项 设bn anan 1an 2 sn为数列 bn 的前n项和 试推断是否存在常数p 使对一切n n 都有pa1sn bnan 3成立 说明你的理由 解 设数列 an 的公差为d d 0 由已知 得a2a8 a42 所以 a1 d a1 7d a1 3d 2 则a1 d 所以an nd 1 当n 1时 所以4a1s1 b1a4成立 2 假设当n k时 4a1sk bkak 3成立 即则 所以4a1sk 1 bk 1ak 4 即n k 1时 有4a1sn bnan 3成立 综合 1 2 知 存在常数p 4 使对一切n n 都有pa1sn bnan 3成立 3 已知数列 an 满足 证明 证法1 1 当n 1时 因为所以不等式成立 2 假设当n k时不等式成立 即则 题型5用数学归纳法证数列不等式 因为所以 所以即当n k 1时 不等式成立 综合 1 2 知 对任意n n 都成立 证法2 1 当n 1时 所以不等式成立 当n 2时 所以不等式成立 2 假设当n k k 2 时不等式成立 即因为函数在 0 上是增函数 所以 即所以当n k 1时不等式成立 综合 1 2 知 对任意n n 都成立 证法3 1 同证法1 2 假设当n k时 不等式成立 即若则若 则所以当n k 1时 不等式成立 综合 1 2 知 对任意n n 都成立 点评 用数学归纳法证明不等式的关键是 变形 即在归纳假设的基础上通过放缩 比较 综合等证明不等式的方法 得到要证明的目标不等式 已知数列 an 的通项求证 证明 1 当n 1时 所以不等式成立 2 假设n k时 不等式成立 即成立 则当n k 1时 所以当n k 1时 不等式成立 综合 1 2 知 对任意n n 不等式都成立 1 数学归纳法原理类似于 多米诺骨牌游戏 其实质是逐一验证对一切从n0开始的正整数 命题都成立 它是一种从有限验证无穷的数学方法 2 归纳法是推理的方法 数学归纳法是证明的方法 由归纳法得出的结论不一定正确 只有用数学归纳法证明后才能确定其真实性 3 归纳 猜想 证明 是求解某些探索性问题的一种重要的思想方法 它在数列问题中有着广泛的应用 必须熟练掌握 4 数学归纳法应用中的存在性问题 应先取特殊值 求得参数取值 然后再用数学归纳法严格证明 不需再考虑参数其他取值情况 5 在用数学归纳法证明数列不等式时 需要从问题要证的结论出发去