【学海导航】高考数学第1轮总复习 全国统编教材 3.2等差数列（第2课时）课件 理.ppt

第三章数列 等差数列 第讲 2 第二课时 考点3 等差数列中的证明问题1 设 an 是公差为d的等差数列 1 求证 以bn n n 为通项的数列 bn 是等差数列 1 证明 因为等差数列 an 的公差是d 常数 所以所以 bn 是等差数列 2 若a1d 0 问数列 an 中的任一项an是否一定在 1 中数列 bn 中 如果是 设此项为bm 探求此时n与m的关系式 如果不是 请说明理由 由 1 知 bn b1 n 1 且b1 a1 即bn a1 n 1 an a1 d n 1 假设存在符合题意的项 则由an bm 可得a1 d n 1 a1 m 1 所以 m 1 n 1 即m 2n 1 由m n都是正整数可得此式成立 故数列 an 中的任一项an一定在数列 bn 中 点评 一个数列为等差数列的充要条件可以是 an 1 an d an an b sn an2 bn sn是前n项和 an 2 an 2an 1 判断一项a是否为某数列 an 的项 就是方程an a是否有对应的正整数解 已知首项不为零的数列 an 的前n项和为sn 若对任意的r t n 都有判断 an 是否为等差数列 并证明你的结论 an 是等差数列 证明如下 因为a1 s1 0 令t 1 r n 由得即sn a1n2 所以 当n 2时 an sn sn 1 a1 2n 1 且n 1时此式也成立 所以an 1 an 2a1 n n 即 an 是以a1为首项 2a1为公差的等差数列 题型4 等差数列性质的应用2 在等差数列 an 中 a4 a6 a8 a10 a12 120 求2a9 a10的值 分析 本题主要考查等差数列的通项公式及等差数列性质的运用 运用等差数列的通项公式把任意项转化到首项与公差上来是解决数列问题的通性通法 1 因为2a9 a10 a9 a9 a10 a9 d a8 而a4 a12 a6 a10 2a8 即5a8 120 故a8 24 所以2a9 a10 24 2 由a4 a6 a8 a10 a12 120 得5a1 3 5 7 9 11 d 120 即a1 7d a8 24 所以2a9 a10 a9 d a8 24 点评 根据等差数列的项与项数的关系 灵活运用等差数列的性质解题 可以简化思维过程 优化解题步骤 若 an 是等差数列 根据条件解下列各题 1 已知a3 a4 a5 a6 a7 450 求a2 a8 2 已知a5 11 a8 5 求an 3 已知a2 a5 a8 9 a3a5a7 21 求an 1 解1 a3 a7 a4 a6 2a5 a2 a8 所以a3 a4 a5 a6 a7 5a5 450 所以a5 90 所以a2 a8 2a5 180 解2 因为 an 是等差数列 设首项为a1 公差为d 所以a3 a4 a5 a6 a7 a1 2d a1 3d a1 4d a1 5d a1 6d 5a1 20d 即5a1 20d 450 所以a1 4d 90 所以a2 a8 a1 d a1 7d 2a 8d 180 2 因为a8 a5 3d 所以d 2 an a8 n 8 d 5 n 8 2 21 2n 3 因为a2 a5 a8 9 a3a5a7 21 又因为a2 a8 a3 a7 2a5 所以3a5 9 故a5 3 所以a3 a7 2a5 6 a3a7 7 由 解得a3 1 a7 7或a3 7 a7 1 所以a3 1 d 2或a3 7 d 2 由an a3 n 3 d 得an 2n 7或an 2n 13 题型5 等差数列与函数交汇3 已知二次函数y f x 的图象经过坐标原点 其导函数为f x 6x 2 数列 an 的前n项和为sn 点 n sn n n 均在函数y f x 的图象上 1 求数列 an 的通项公式 2 设tn是数列 bn 的前n项和 求使得对所有n n 都成立的最小正整数m 1 设二次函数f x ax2 bx a 0 则f x 2ax b 由f x 6x 2 得a 3 b 2 所以f x 3x2 2x 又因为点 n sn n n 均在函数y f x 的图象上 所以sn 3n2 2n 当n 2时 an sn sn 1 3n2 2n 3 n 1 2 2 n 1 6n 5 当n 1时 a1 s1 3 12 2 6 1 5 所以an 6n 5 n n 2 由 1 知故 因此 要使都成立 必须且仅须满足即m 10 所以满足要求的最小正整数m为10 点评 数列是特殊的函数 有关数列中的一些问题 可以利用函数的方法来解决 如求数列中的最值项 先把定义域看为正整数集 然后利用求函数最值的方法进行求解 已知等差数列 an 中 公差d 0 sn为其前n项和 且满足a2 a3 45 a1 a4 14 1 求数列 an 的通项公式 由于a1 a4 a2 a3 14 故a2 a3是方程x2 14x 45 0的两根 且a2 a3 所以a2 5 a3 9 故d 4 a1 1 所以an 4n 3 n n 2 通过构成一个新的数列 bn 使 bn 也是等差数列 求非零常数c 由 1 可知 sn n 2n 1 因为 bn 也是等差数列 所以2b2 b1 b3 所以化简得2c2 c 0 解得或c 0 舍去 所以 3 求的最大值 由 2 可知 所以当且仅当n 5时取等号 故当n 5时 f n 的最大值为 设sn和tn分别为两个等差数列 an bn 的前n项和 若对任意n n 都有则数列 an 的第11项与数列 bn 的第11项的比是 a 4 3b 3 2c 7