中级奥数教程26.doc

博师堂国际教育标准中级奥数教程三角形的等积变形【知识点与基本方法】1.全等形：如果两个平面图形叠合在一起，能够处处重合，则称这两个图形为全等形。2.全等形：面积相等的两个图形称为等积形。3把一个封闭的图形分成若干部分，则这个图形的面积等于分成的所有各个部分面积的总和。4.三角形的等积变形指的是使三角形面积相等的变换。前三条是等积变形理论的基础，同时也为我们计算某些图形的面积提供了方法。5.三角形面积计算公式： 6.三角形的等积变形中常用的几个重要结论：(1)平行线间的距离处处相等.(2)等底等高的两个三角形面积相等.(3)底在同一条直线上并且相等，他们所对的角的顶点是同一个，这样的两个三角形的面积相等.(4)若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形的面积的几倍.(5)若几个三角形的底边相等，并在两条平行线中的同一条直线上，而且相等的底边所对的顶点在两条平行线中的另一条边上，则这几个三角形的面积相等.【例题精讲】例1：用三种不同的方法把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形.方法一：如图1-a，将BC四等分，连AD、AE、AF，则ABD、ADE、AEF和AFC等积.方法二：如图1-b先将BC两等分，连AD，得到两个等积的三角形ADC和ABD，再取AD的中点E，连BE，CE，可将这两个等积的三角形分成两个等积的三角形.方法三：先将BC四等分,即BD=，连AD，再将AD三等分，即AE=EF=FD=所得的四个三角形ABD、CFD、CEF和CEA等积.(如图1-c)例2：（如图）已知正方形ABCD和正方形DEFG，且正方形ABCD的边长为8分米。请问图中阴影部分的面积是多少平方分米？解：连接，由于，所以，而是它们的公共部分，因此，是它们的公共部分，因此，与的面积相等可得例如图，正方形的变长为厘米，长方形的长为为厘米求长方形的宽分析：长方形的长知，为求长方形的宽，须知长方形的面积问题转化为如何从已知正方形的面积（平方厘米）来寻长方形的面积为此，连接在正方形中，的底和高分别为正方形边与所以，它的面积是正方形面积的一半同样，在长方形中，三角形的底为长方形的长，高为长方形的宽，所以它的面积也是长方形面积的一半由此说明长方形的面积与正方形的面积相等即长方形的面积也为平方厘米解：连，由分析可知，长方形的面积长方形的面积（平方厘米），所以，长方形的宽为.（厘米）例.如图，已知正方形的边长是，、分别是AD、CE、BP的中点，求DBF的面积解：如图连接PD和BE. 因为 因为 E是AD的中点，所以 又因为 P是CE的中点，所以 从而 所以 DBF的面积为1.例5.如图7，已知梯形ABCD的面积为5，DA与EB平行，ED与CA平行，求四边形EDAC的面积.解：如图7，连接EA，DB，由 ED/CA,得 由DA/EB,得由DC/AB，得综上述：所以例6.如图8，在ABC中，已知M、N分别在AC、BC上，BM与AN相交与O.若AOM，ABO和OBN的面积分别是3、2、1.求MNC的面积.解：因为所以， 设 ，则由 得 即 解得 x=22.5. 所以MNC的面积为22.5.【课后练习】1在ABC中，E、D、G分别是AB、BC、AD的中点，图中与AGC等积的三角形一共有多少个？.2图10，在ABC中，BD=DE=EC，BF=FA，EDF的面积是1，那么ABC的面积是多少？3.如图11中由等边三角形ABO，AOD，DOC围成的等腰梯形，它的面积是1，又知M是AB的中点，那么COM面积等于 （ ）4.如图12，在ABC中，EF/BC，AB=3AE，那么三角形甲、乙、丙面积的连比是（ ）5.如图13，ABC的面积是52平方厘米，AC=13，FDC是等腰三角形，又ADC与ABD等积，则ADF面积是_ 。6.画图：把任意一个三角形（如图14）分成三个小三角形，使它们的面积比为2：3：5.7.如图15，在平行四边形ABCD中，E为DC的中点.DF=2BF.三角形DEF（图中阴影部分