【名师一号】高中数学 4.2.3直线与圆的方程的应用课件 新人教A版必修2.ppt

1 4 2 3直线与圆的方程的应用 2 1 掌握直线方程 圆的方程 进一步提高知识运用能力 2 掌握用坐标法研究几何问题的基本思想及其解题过程 3 在掌握直线方程与圆方程的基础上 进一步提高知识运用能力 领会将几何问题转化为代数问题的过程 即由坐标方法解决平面几何问题 一般来说此类问题分为如下三步 第一步 用坐标和方程表示问题中的几何元素 将平面几何问题转化为代数问题 第二步 通过 解决代数问题 第三步 把代数运算结果 翻译 成几何结论 注意 方法的灵活运用 建立适当的直角坐标系 代数运算 数形结合思想 4 1 用坐标法解决几何问题的方法步骤 俗称 三步曲 第一步 根据题目的特点 建立适当的直角坐标系 一般坐标原点选在线段的中点 几何图形的对称中心等 建立坐标系适当 可使问题简化 用坐标和方程表示几何问题中的元素 将几何问题转化为代数问题 第二步 用代数运算解决代数问题 第三步 把代数运算的结果 翻译 成几何结论 2 要灵活运用数形结合的思想方法 对于一些代数问题 根据其几何意义 可用几何方法解决 5 题型一数形结合思想方法的应用例1 1 方程表示的曲线是什么 2 若方程有解 求实数b的取值范围 解 1 等价于x2 y2 9 y 0 表示半圆 即以原点为圆心 3为半径的圆在x轴上方的半圆 包括两个端点 6 2 方程有解 即半圆与直线y x b有交点 如下图 易求出 当 3 b 3时 方程有解 7 变式训练1 2008 全国卷 若直线与圆x2 y2 1有公共点 则 a a2 b2 1b a2 b2 1 8 答案 d 9 题型二用坐标法求圆的方程例2 如下图所示 点m是弓形弧的中点 弦 oa 8 弓形的高为2m 求此弧所在圆的方程 分析 只需要求圆心坐标及半径即可 10 解 设圆心坐标为 4 b 圆的半径为r 那么圆的方程是 x 4 2 y b 2 r2 由于原点o 0 0 和圆弧最高点m 4 2 也在圆上解得 b 3 r2 25 所以圆的方程是 x 4 2 y 3 2 25 11 规律技巧 本题也可以选取弦oa的中点为坐标原点建立直角坐标 可求得此弧所在圆的方程为x2 y 3 2 25 由此看来 建立的坐标系不同 所求得的方程不同 12 变式训练2 如图 圆o1和圆o2的半径都等于1 o1o2 4 过动点p分别作圆o1 圆o2的切线pm pn m n分别为切点 使得 建立平面直角坐标系 并求动点p的轨迹方程 13 解 以o1o2的中点o为坐标原点 o1o2所在直线为x轴 建立直角坐标系如图所示 则o1 2 0 o2 2 0 14 由已知得pm2 2pn2 因为圆的半径为1 所以 po21 1 2 po22 1 设p x y 则 x 2 2 y2 1 2 x 2 2 y2 1 即 x 6 2 y2 33 故所求动点p的轨迹方程为 x 6 2 y2 33 15 题型三与圆有关的综合问题例3 已知 aob中 ob 3 oa 4 ab 5 点p是 abo内切圆上一点 求以 pa pb po 为直径的三个圆面积之和的最大值与最小值 分析 三个圆面积之和的最值问题实质上是求 pa 2 pb 2 po 2的最值 由于p是 abo内切圆上的点 若想找到p点坐标 必须先从 abo内切圆的方程入手 16 解 如下图 建立直角坐标系 使a b o三点的坐标分别为a 4 0 b 0 3 o 0 0 17 易求得 abo的内切点半径r 1 圆心 1 1 故内切圆的方程是 x 1 2 y 1 2 1 化简为x2 y2 2x 2y 1 0 设p x y 则 pa 2 pb 2 po 2 x 4 2 y2 x2 y 3 2 x2 y2 3x2 3y2 8x 6y 25 18 由 可知x2 y2 2y 2x 1 将其代入 有 pa 2 pb 2 po 2 3 2x 1 8x 25 2x 22 x 0 2 故 pa 2 pb 2 po 2的最大值为22 最小值为18 三个圆面积之和为 所求面积的最大值为最小值为 19 规律技巧 选定原点 建立恰当的直角坐标系 可以简化几何问题 将几何问题转化为代数问题 20 变式训练3 一艘轮船沿直线返回港口的途中 接到气象台的台风预报 台风中心位于轮船正西70km处 受影响的范围是半径为30km的圆形区域 已知港口位于台风中心的正北40km处 如果这艘船不改变航线 那么它是否会受到台风的影响 21 解 如图所示 22 以台风中心为坐标原点 以正东方向为x轴正方向建立直角坐标系 其中取10km为单位长度 则受台风影响的圆形区域所对应的方程为x2 y2 9 港口所在位置的坐标 0 4 轮船的位置坐标 7 0 则轮船航线所在直线方程为即4x 7y 28 0 圆心到直线的距离而r 3 d r 直线与圆相离 所以轮船不会受到台风影响 23 易错探究例4 已知圆x2 y2 2x 2y 1 0 x2 y2 6x 8y 9 0 求两圆的位置关系 得4x 3y 4 0 即代入x2 y2 2x 2y 1 0 并整理得25x2 10 x 1 0 100 4 25 0 两圆只有一个公共点 故两圆相切 24 错因分析 两圆方程联立 0说明两圆只有一个公共点 此时两圆有可能外切 也有可能内切 正解 把两圆的方程分别配方 化为标准方程为 x 1 2 y 1 2 1 x 3 2 y 4 2 16 两圆心坐标c1 1 1 c2 3 4 半径r1 1 r2 4 圆心距 c1c2 5 r1 r2 两圆相外切 25 技能演练 学生用书p95 26 基础强化1 已知直线ax by c 0 abc 0 与圆x2 y2 1相切 则三条边长分别为 a b c 的三角形 a 是锐角三角形b 是直角三角形c 是钝角三角形d 不存在解析 直线与圆相切 则 a2 b2 c2 答案 b 27 2 已知点a b分别在两圆x2 y 1 2 1与 x 2 2 y 5 2 9上 则a b两点之间的最短距离为 解析 两圆心之间的距离为 两圆相离 a b两点之间的最短距离为答案 c 28 3 方程x x2 y2 1 0和x2 x2 y2 1 2 0表示的图形是 a 都是两个点b 一条直线和一个圆c 前者是一条直线和一个圆 后者是两个圆d 前者为两个点 后者是一条直线和一个圆 29 解析 x x2 y2 1 0 x 0或x2 y2 1 0 则它表示一条直线x 0和一个圆x2 y2 1 x2 x2 y2 1 2 0 x x2 y2 1 x x2 y2 1 0 x x2 y2 1 0或x x2 y2 1 0 即它表示两个圆 因此 选c 答案 c 30 4 过原点的直线与圆x2 y2 4x 3 0相切 若切点在第三象限 则该直线的方程是 解析 设切线方程为y kx 圆的方程化为 x 2 2 y2 1 而圆心 2 0 到直线y kx的距离为1 又 切点在第三象限 答案 c 31 5 2007 重庆 若直线y kx 1与圆x2 y2 1相交于p q两点 且 poq 120 其中o为原点 则k的值为 解析 poq 120 点o到直线y kx 1的距离又答案 a 32 6 2007 湖南 圆心为 1 1 且与直线x y 4相切的圆的方程是 解析 半径则圆的方程为 x 1 2 y 1 2 2 x 1 2 y 1 2 2 33 7 两圆x2 y2 1和 x 4 2 y a 2 25相切 则实数a的值为 解析 当两圆内切时有 4 a 0 当两圆外切时 有 a 34 8 与圆x2 y2 4切于点的切线方程为 解析 圆心 0 0 切线的斜率又切点为 切线方程为即 35 能力提升9 已知圆c x 2 2 y2 2 1 求与圆c相切 且在x轴 y轴上截距相等的直线方程 2 从圆c外一点p作圆c的一条切线 切点为m o为坐标原点 且 pm po 求使 pm 最小时点p的坐标 36 解 1 设横 纵截距相等的切线方程为kx y 0 与x y c 0 则与解得k 1 c 4或c 0 故切线方程为x y 0 x y 0 x y 4 0 2 设p x y 由 pm po 得化简得点p的轨迹为直线要使 pm 最小 即要使 po 最小 过o作直线的垂线 垂足是所要求的点 37 10 已知实数x y满足方程x2 y2 4x 1 0 1 求的最值 2 求y x的最值 3 求x2 y2的最值 解 1 圆的标准方程为 x 2 2 y2 3 其圆心为 2 0 半径为设即y kx 当直线y kx与圆相切时 斜率k取最大值和最小值 此时解得k 的最大值为最小值为 38 2 设y x b 即y x b 当y x b与圆相切时 纵截距b取得最大值和最小值 此时即b 2 y x的最大值为最小值为 2 3 x2 y2表示圆上一点与原点距离的平方 由平面几何知识可知 它在过原点的连心线与圆的交点处取得最大值和最小值 又圆心到原点的距离为2 x2 y2的最大值为最小值为 39 品味高考