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中国人民大学附属中学 5 5数列的综合应用 一 例1已知函数数列 an 满足 则数列 an 的通项公式 例2数列 an bn n 1 2 3 由下列条件所确定 1 a10 2 k 2时 ak与bk满足如下条件 当ak 1 bk 1 0时 ak ak 1 bk 当ak 1 bk 1 0时 ak bk bk 1 那么 当a1 5 b1 5时 an 的通项公式为 例3 某工厂生产总值月增长率为p 求该厂年平均增长率是多少 解 设第一年第一个月的产值为a 则该年的产值为s1 a a 1 p a 1 p 2 1 p 11 第二年第一个月的产值为a 1 p 12 第二年的总产值为s2 a 1 p 12 a 1 p 13 a 1 p 23 s1 1 p 12 因此年增长率为 1 p 12 1 例4 下表给出一个 等差数阵 其中每行 每列都是等差数列 aij表示位于第i行第j列的数 1 写出a45的值 2 写出aij的计算公式 3 证明 正整数n在该等差数阵中的充要条件是2n 1可以分解成两个不是1的正整数之积 1 a45 49 2 aij i 2j 1 j 3 证明 必要性 若n在该等差数阵中 则存在正整数i j使得n i 2j 1 j 从而2n 1 2i 2j 1 2j 1 2i 1 2j 1 即正整数2n 1可以分解成两个不是1的正整数之积 充分性 若2n 1可以分解成两个不是1的正整数之积 由于2n 1是奇数 则它必为两个不是1的奇数之积 即存在正整数k l 使得2n 1 2k 1 2l 1 从而n k 2l 1 l akl 可见n在该等差数阵中 综上所述 正整数n在该等差数阵中的充要条件是2n 1可以分解成两个不是1的正整数之积 例5 设等差数列 an 的前n项和为sn 1 如果a2 9 s4 40 问是否存在常数c 使数列
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