数学学年论文毕业论文数学建模的层次分析法.doc

数学建模的层次分析法摘 要：阐述了数学建模层次分析法的基本思想、方法和核心问题，运用层次分析法建立数学模型的一般步骤和计算方法，并通过实例分析，说明了层次分析法在决策中的有效性。关键词：数学模型 层次分析法 决策分析 排序层次分析法(Analytic Hicrarchy process简记为AHP)是美国著名运筹学家T.L.Saaty在70年代初提出来的，它是将半定性、半定量的问题转化为定量计算的一种行之有效的方法。把复杂的决策系统层次化，通过逐层比较各种关联因素的重要性来为分析、决策提供定量的依据。它特别适用于那些难于完全用定量进行分析的复杂问题。因此层次分析法在工程技术、能源系统分析、经济管理、城市规划和社会科学等众多领域中都得到了广泛的应用。本文阐述了层次分析法的基本思想和步骤、计算问题，针对企业留成利润合理使用问题，利用层次分析法对各项措施进行了最优方案的选择。1、AHP建模的基本思想和步骤1-3AHP的基本思想是先按问题要求建立一个描述系统功能或特征的内部独立的递阶层次结构，通过两两比较因素（或目标、准则、方案）的相对重要性，给出相应的比例标度；构造上层某要素对下层相关元素的判断矩阵，以给出相关元素对上层某要素的相对重要序列。AHP的核心问题是排序问题，包括递阶层次结构原理、标度原理和排序原理。运用AHP解决实际问题，大体可以分为4个基本步骤。1） 建立递阶层次结构模型这是AHP中最重要的一步。将问题所包含的因素按属性不同而分层，可以划分为最高层、中间层和最低层。同一层次元素作为准则，对下一层次的某些元素起支配作用，同时它又受上一层次元素的支配。这种从上至下的支配关系形成一个递阶层次。最高层通常只有一个元素，决策目标标它是问题的预定目标，表示解 目标层决问题的目的，因此也称目标层。准则3准则2准则1中间层为实现总目标而采 准则层 取的措施、方案和政策，它可 以由若干个层次组成，包括所需要考虑的准则、子准则，因子准则m子准则2子准则1此也称为准则层。 子准则层 最低层为实现目标可供选 择的各种措施、决策方案等，用于解决问题的各种途径和方 法，也称为方案层。见图1方案n方案2方案1当某个层次包含因素较多 方案层 时（如超过9个），可将该层 次划分为若干层。 图1 递阶层次结构示意图2） 构造两两比较判断矩阵设要比较n个因素X=,对目标Z的影响，确定它们在Z中所占的比重，每次取两个因素 和,以表示 和对Z的影响之比，得到两两比较判断矩阵： A=()nn (1)其中0 =(ij) i,j=1,2,n =1,i=1,2,n (2)使（2）式成立的矩阵称为正互反矩阵。关于的确定T.L.Saaty引用了数字1-9及其倒数作为标度的标度方法（见表1），如果介于上述相邻判断中间，取值分别为2，4，6，8。表1 比较尺度的取值方法 相等较强强很强绝对强13579 3) 层次单排序及其一致性检验(1)层次单排序 先解出判断矩阵A的最大特值，再利用 AW=W (3)解出所对应的特征向量W，W经过标准化后，即为同一层次中相应元素对于上一层次中某因素相对重要性的排序权值。 （2）一致性检验对于判断矩阵A，要检验它的不一致程度，首先计算其一致性指标CI,定义： CI= (4)式中n为A的阶数，当CI=0即=n时1，A具有完全一致性，CI愈大,A的一致性愈差。 将CI与平均随机一致性指标RI进行比较，令CR=,称CR为随机一致性比率，当CR0.10时，A具有满意的一致性，否则要对A重新调整，直到具有满意的一致性。这时计算出的所对应的特征向量W，经过标准化后，才可以作为层次单排序的权值。表2给出了对于1-9阶判断矩阵的RI值。 表2 随机性指标RI值阶数n123456789RI000.580.901.121.241.321.411.454)层次总排序及其一致性检验利用同一层次中所有层次单排序结果，计算针对上一层次而言本层次所有元素重要性的权值，这就是层次总排序，设上一层次A包含m个因素A1,A2,Am，它的层次总排序权值分别为,下一层次B包含n个因素B1,B2,B，它们对于Aj的层次单排序权值分别记为b,b,b(当B与A无联系时b=0)，此时B层总排序权值就可由表3给出。 表3 B层总排序权值 层次A 层次BA1A2 AmB层次总排序权值 B1 B2 Bn显然 ， 即层次总排序权值仍为标准化向量。层次总排序一致性指标为 CI= (5)式中，CI 为与对应的B层次中判断矩阵的一致性指标。 层次总排序随机一致性指标为 RI= (6)式中RI为与对应的B层次中判断矩阵的随机一致性指标。层次总排序随机一致性比率为 CR= (7)当CR0.10时，认为总排序的计算结果有满意一致性，否则就需要重新调整判断矩阵的元素取值。2、 AHP的计算方法特征根方法是AHP中比较成熟并得到广泛应用的方法，其理论依据是正矩阵的Perron定理3。采用数值计算中的幂法求正矩阵A的及特征向量，其基本原理如下：设正矩阵A的特征根为，满足，并假设A有线性无关的特征向量v,v ,v ,满足 Av=v任取n维向量x,并设可表示为x=式中c,c,c为常数，用A进行迭代得AX=继续迭代，当k充分大时有：AX ， AX故AX或AX的方向就是的方向，并且 = (i=1,2,n)特别地，当(AX)=1时，用幂法求正矩阵A的最大特征值及相应特征向量的步骤如下：1) 任取初始正向量=（,）,允许误差，令k=0,计算m=,及，并满足： （的最大分量为1）2） 迭代计算，m=, 3)判断成立否？若成立进行下一步，否则令k+1k转2)步.4)将标准化,得W=, 和W为所要求的最大特征值和相应的特征向量,再利用式(47)便可进行一致性检验,从而知道总排序权值,进行方案选择.3、 AHP建模实例某工厂在扩大企业自主权后,有一笔企业留成利润要由厂领导和职工代表会决定如何使用.可供选择的方案有:作为奖金发给职工;扩建职工食堂,托儿所等福利设施;开办职工业余学校和短训班;建立图书馆,职工俱乐部和业余文工队;引进新技术设备,进行企业技术改造等.为进一步促进企业发展,如何合理使用这笔利润.C1:调动职工劳动生产积极性C2:提高企业技术水平C3:改善职工物质文化生活状况合理使用企业留成利润P5:引进新设备P2:扩建集体福利设施P3:办职工学校P4:建图书馆俱乐部P1:发奖金建模 按照各类因素之间的隶属关系把它们分成3个层次,对问题建立的递阶层次结构模型如图2图2 递阶层次结构图目标层A:合理利用企业利润准则层C:调动职工劳动生产积极性C1，提高企业技术水平C2，改善职工物质文化生活状况C3措施层P:发奖金P1，扩建集体福利设施P2，办职工学校P3，建图书馆、俱乐部P4，引进新设备P5根据各因素的重要性关系构造判断矩阵,进行计算,所得判断矩阵及相应计算结果如下:(1) 判断矩阵ACAC1C2C3WC110.1052C25130.6372C3310.2583=3.0385, CI=0.0193, RI=0.58, CR=0.03320.10, 可见判断矩阵具有满意的一致性.(2) 判断矩阵C1PC1P1P2P3P4P5WP1135470.491P213250.232P3130.092P42130.138P510.046=5.126, CI=0.038, RI=1.12, CR=0.0280.10(3) 判断矩阵C2PC2P2P3P4P5WP210.055P331530.564P4710.118P55310.263=4.117, CI=0.039, RI=0.90, CR=0.0430.10(4) 判断矩阵C3PC3P1P2P3P4WP111330.406P211330.406P3110.094P4110.094=4, CI=0, RI=0层次C层次P层次总排序及一致性检验,其结果如下:C1C2C3层次P总排序结果0.1050.6370.258P10.49100.4060.157P20.2320.0550.4060.164P30.0920.5640.0490.393P40.1380.1180.0490.113P50.0460.26300.172层次总排序一致性指标: CI=0.028层次总排序随机一致性指标: RI=0.58层次总排序随机一致性比率: CR=0.0305P5 P2 P1 P4 （“”表示优于）领导者可根据上述排序结果进行决策.4、结论1)AHP把研究对象作为一个系统,按照分解,比较判断,综合的思维方式进行决策,成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具.2)AHP把定性和定量方法结合起来,能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题,应用范围很广.同时,这种方法将决策者与决策分析者相互沟通,决策者甚至可以直接应用它,这增加了决策的有效性.3)具有中等文化的人即可了解层次分析的基本原理和掌握它的基本步骤,计算也非常简便,并且所得结果简单明确,容易为决策者了解和掌握.4)AHP从建立层次结构模型到构造两两比较判断矩阵,人的主观因素的作用较大,采用专家群体判断的方法是克服这一局限性的有效途径,对系统的分析及问题的因素了解得愈透彻,愈能得到合理的判断和正确的排序结果.参考文献1、 陈义华. 数学模型. 重庆:重庆大学出版社,1995,1171242、 姜启源. 数学模型. 北京:高等教育出版社,1993,3053353、 王莲芬,许树柏. 层次分析法引论. 北京:中国人民大学出版社,1990, 103108，350384The analytic hierarchy process for mathematical modelingAbstract: The main idea, methodology, and kernel of the analytic hierarchy process for mathematical modeling are described . The general modeling procedure and calculation method using the analytic hiera