【名师一号】高中数学 第四章 本章回顾课件 新人教A版必修2.ppt

本章回顾 一 知识结构 二 方法总结1 求圆的方程应注意根据所给条件 恰当选择方程的形式 用待定系数法求解 2 讨论点与圆 直线与圆 圆与圆的位置关系时 一般从代数特征 方程组解的个数 或几何特征 点或直线到圆心的距离和两圆的圆心距与半径关系 去考虑 其中用几何法较为简捷 实用 3 解决空间问题注意利用类比的思想 三 数学思想1 数形结合思想例1 圆 x 3 2 y 3 2 9上到直线3x 4y 11 0的距离为1的点有几个 分析 探讨圆半径 圆心到直线的距离以及二者之间的大小关系 解 解法1 圆 x 3 2 y 3 2 9的圆心o1 3 3 半径r 3 设圆心o1到直线3x 4y 11 0的距离为d 则如图 在圆心o1同侧与直线3x 4y 11 0平行且距离为1的直线l1与圆有两个交点 则这两个交点符合题意 又r d 3 2 1 与直线3x 4y 11 0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意 符合题意的点共有3个 解法2 符合题意的点是平行于直线3x 4y 11 0 且与之距离为1的直线和圆的交点 设所求直线为3x 4y m 0 则 m 11 5 即m 6 或m 16 即l1 3x 4y 6 0 或l2 3x 4y 16 0 设圆o1 x 3 2 y 3 2 9的圆心到直线l1 l2的距离为d1 d2 则 l1与o1相切 与圆o1有一个公共点 l2与圆o1相交 与圆o1有两个公共点 即符合题意的点共有3个 规律技巧 到一条直线的距离等于定值的点 在与此直线距离为该定值的两条平行直线上 因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点 求直线与圆的公共点个数 一般根据圆与直线的位置关系来判断 即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断 2 转化与化归思想例2 若实数x y满足x2 y2 8x 6y 16 0 求x y的最小值 解 将方程化为 x 4 2 y 3 2 9设x y b 则y x b可见求x y的最小值转化为求直线y x b在y轴上的截距最小 因为 x y 在圆上 这时只要直线与圆相切 如图由点到直线的距离公式可得 规律技巧 把求x y的最值问题转化为几何问题 利用点到直线的距离得以解决 3 函数与方程思想例3 已知 c x 3 2 y 4 2 1 点a 1 0 b 1 0 点p是圆上动点 求d pa 2 pb 2的最大 最小值及对应的p点坐标 解 设点p为 x0 y0 则d x0 1 2 y x0 1 2 y 2 x y 2 欲求d的最大 最小值 只需求u x y的最大 最小值 此即求 c上点到原点距离之平方的最大 最小值 作直线oc 设其交 c于p1 x1 y1 p2 x2 y2 则u最小值 oc 1 2 16 op1 2 此时op1 p1c 4 d最小值 34 对应点p1的坐标为同理可得d最大值 74 对应点p2的坐标为 规律技巧 圆上点到定点或定直线的距离的最值 都在点与定点的连线 点与直线的垂线过圆心时取得 本题解法充分反映了解析几何的解题思路 一方面 将几何问题代数化 另一方面 将代数问题几何化 四 专题 一 巧用直线与圆的位置关系设圆c的半径为r 圆心到直线l的距离为d 则直线与圆的位置关系为 1 l与圆相交 dr 恰当地运用这一结论解题 往往给人以推陈出新之感 请看下面的例子 1 应用于求斜率例4 已知直线l经过点 3 2 且与圆心在原点的单位圆相切 求直线l的斜率 解 设l的斜率为k 则直线l的方程为 y k x 3 2 圆心到直线的距离为由于直线与圆相切 因而解得 2 应用于证明不等式例5 设c是直角三角形的斜边长 a b是两条直角边边长 求证证明 由直角三角形 知a2 b2 c2 取圆c x2 y2 c2 直线x y a b 则点 a b 必为圆c与直线的公共点 由点到直线的距离公式 得 c 整理即得到 3 应用于求最值例6 已知a2 9b2 4a 12b 3 0 a b r 求k a 6b的最值 解 由已知整理得 a 2 2 3b 2 2 5 显然 点 a 3b 是圆 x 2 2 y 2 2 5与直线x 2y k的公共点 由直线与圆的位置关系 有 解之得1 k 11 因此 k a 6b的最大值为11 最小值为1 二 圆的几何性质的应用在解析几何中 若能抓住图形的特征 充分利用平面几何知识 常会得到事半功倍的效果 例7 以原点为圆心 且截直线3x 4y 15 0所得弦长为8的圆的方程 分析 充分利用圆的几何性质 半径 半弦长及弦心距构成直角三角形 由勾股定理求解 解 设圆的方程为x2 y2 r2 圆心o到直线3x 4y 15 0的距离由题意得d2 42 r2 r2 16 9 25 故所求圆的方程为x2 y2 25 例8 已知圆m x 1 2 y 1 2 4 直线l过点p 2 3 且与圆m交于a b两点 且求直线l的方程 分析 画出示意图 注意直线l的斜率存在与不存在的情形 解 1 当直线l的斜率存在时 设直线l的方程为y 3 k x 2 即kx y 2k 3 0 作出示意图 如图