负频率究竟有没有物理意义？.doc

论频谱中负频率成分的物理意义论频谱中负频率成分的物理意义 陈怀琛 方海燕 西安电子科技大学 西安 陕西 710071 电子邮址 hchchen hyfang 电话 029 88202988 摘要摘要 本文讨论了信号经过傅立叶变换所得频谱的物理意义 其中着重于负频率成分 因为许多信号与系 统的教材中都提出负频率成分没有物理意义 本文以多方面的实例证明了负频率成分不但具有明确的物理意义 而且有重要的工程应用价值 文章还用 MATLAB 程序演示了如何用几何方法求傅立叶反变换 把集总频谱合 成为时域信号 从中也可鲜明地看出负频率成分的意义 关键词关键词 傅立叶变换 频谱 负频率 集总频谱 多普勒频率 On The Physical Meaning of Negative Frequency in Spectrum Chen Huaichen Fang Haiyan Xidian University Xi an Shaanxi Zipcode 710071 Abstract The physical meaning of the frequency spectrum especially the negative frequency components obtained from Fourier Transform of signals was discussed Since some textbooks explained the negative frequency as a pure mathematical expression with no physical meaning many examples were given in this paper to show that negative frequency not only contains physical meaning but also has its real applications A MATLAB demo program was developed to show that the IFT is equivalent to the geometrical composition of several rotating vectors representing lumped frequency spectrums The geometrical meaning of the negative frequency can be clearly recognized from the rotating vectors Keywords Fourier Transform Frequency Spectrum Negative Frequency Lumped spectrum Doppler Frequency 0 引言 在对任何信号进行傅立叶分析时 得出的频谱为复数 且其频率范围将从 对于负频 率以及该范围的频谱 应当如何理解 它有没有物理意义 是一个还缺乏讨论 因而没有统一看 法的问题 本文将对此进行讨论 1 负频率与复信号 频率 f 的原始定义 是每秒出现 的次数 可 用以衡量机 械运动 电 信号 乃至 任何事件重 复出现的频 陈怀琛 生于 1934 年 男 上海市人 大学程度 教授 从事大学教学工作 50 余年 联系电话 029 88202988 方海燕 生于 1974 年 女 山东济宁人 博士 讲师 从事方向 精密测试 联系电话 029 88203117 a 三维图形 b x y 平面的二维图形 图 1 复信号 0 jt e 度 这当然不存在有 负 的概念 当用频率描述圆周运动时 即进入了二维信号平面 产生了 角频率 的概念 从机械旋转运动出发 定义为角速度 对于周期运动 角速度也 d dt 就是角频率 通常 以反时针为正 因此转动的正频率是反时针旋转角速度 负频率就是顺时 针旋转角速度 正 负号是非常自然形成的 没有物理意义的有无问题 电的单位向量 电压或电流 围绕原点的转动 可以用表示 这是在电 0 jtj uee 路中都清楚的 的正负所代表的物理意义从未有什么争议 它的导数的物理意义不言 d dt 自 明 取正取负都不影响定义 为什么取负就会失去物理意义了呢 在信号与系统课程中 为了简化问题 便于初学者掌握概念 开宗明义地把研究范围限定 于实信号 f t 也就是在电压旋转向量 中 只研究它在实平面cos sin j t uetjt 或虚平面上的一个投影 sin t 或 cos t 研究复信号 的特性与只研究实信号 sin t 或 cos t 是两个 j t e 不同的层次 前者是反映信号在空间的全面特性 如 图 1 所示 后者只研究了信号在一个平面 x t 或 y t 组成的平面 上投影的特性 这就必然要丢掉一 些重要的信息 以致 x sin t 与 sin t 在 x t 平 面中的波形没有任何差别 这是人们对负频 率的意义产生疑问的直接原因之一 很显然 在 x t 或 y t 的平面内 是不可能看出旋转 的 既看不到 更看不到 只有在 x y 平面上才能看到这两个旋转参数 2 复信号与实信号的频谱 同样 用或 sin t 或 cos t 作为核 j t e 来做傅立叶变换所得的结果也是前者全面 后者片面 对实信号做傅立叶变换时 如果 用指数为核 将得到双边频谱 以角频 j t e 率为 的余弦信号为例 它有具有位于 两 处的 幅度各为 0 5 相角为零的频率特性 它的几何关系可以用图 2 表示 两个长度为 0 5 的向量 分别以 等速转动 它们的合成向 量就是沿实轴方向的余弦向量 而沿虚轴方 向的信号为零 可见必须有负频率的向量存 在 才可能构成纯粹的实信号 所以欧拉公 式是有其明确的几何cos 0 5 j tj t tee 图 2 实数信号由正负频率复向量合成 图 3 a 正余弦信号的双边频谱 图 3 b 仅含负频率成分的信号 意义 即物理意义 的 在文献 1 中给出了动画 并给出了正 负数字频率的几何解释 3 双边频谱的工程应用 正余弦信号中包括正负双边频谱 不仅有物理意义 而且具有重要的工程价值 1 二相异步电机的设计 根据这个概念 可以用两路在空间正交的实信号来构成旋转电磁场 设计电动机 上面给 出了单位余弦波在正负两个频率上有幅度相等 相角均为零的两根谱线 同样 单位正弦波在 同样正负两个频率上也有幅度相等的谱线 不过它们的相角分别为 2 用立体图表示如图 3 a 如果把正弦和余弦两个信号的正频率成分设计得相等相反 则把它们合成以后 就只剩下 负频率成分 它就构成一个单纯负向旋转的电信号 为此可以把正弦信号在空间上转动 2 使 它的正频率谱线恰好与余弦信号的正频率谱线反向 这样两个信号的合成 见图 3 b 就成为 一个只有负频率谱线的信号 当然它在时域必然是复数信号 常用的二相异步电机就是这样负 向转动的 而要使该电机正转 则要使两者的负频率成分互相抵消 只保留其正频率成分 2 通信领域中的 Hilbert 变换 实信号的双边频谱是对称的 如果它的单边频带宽 W 考虑到负频率成分 实际占的频谱 区域就是 W 所以通信中要传输这样的信号就需要占用 2W 的频带宽度 为了节省频带 人们 就发明了 Hilbert 变换 它可以把信号的正频率频谱移相 90 把负频率频谱移相 90 然后 再将这个信号移相 90 与原信号相加 使两者的负频率成分互相抵消 正频率成分加倍 构成 一个没有负频率频谱的复信号 如同上面所说的二相异步电机那样 这个复信号的带宽就只 占 W 了 用这个方法 使频带节约了一半 在这里 可以看到负频率成分的重要性 在传送信 号时 它是不可或缺的部分 另外 也看到负频率成分与复信号的密切关系 3 产生任意的平面运动轨迹 文献 5 曾提出根据傅立叶反变换原理产生平面运动轨迹的方法 从上面欧拉公式的几何意 义不难得知 傅立叶反变换公式其实表示了多个频谱旋转向量的合成 这些向量的频率规定了 它旋转的方向和角速度 它的幅度决定 了该向量的大小 向量的合成可以用首 尾相接的多节连杆表示 连杆的末端就 是时域信号的空间轨迹 它在 x 轴上的 投影是信号的实部 在 y 轴上的投影是 信号的虚部 不难设计出一个程序来演示这个过 程 在 2 3 中编写了一个 MATLAB 程序 程序名为 exn941 它把四个集总频谱合成 起来 假如给出这些频谱分量如下 a 1 1 1 1 a 2 1 2 1 a 3 0 5 3 3 a 4 0 5 4 4 在此处 为了显示复信号 有意把输 入频谱设成不对称的 见图 5 d 于是读 者将看到四节杆的运动动画 并得到杆系 及其末端在复平面上的轨迹 图 4 改变 d 复信号 双边 频谱 图 5 频谱分量合成的复信号 实信号和虚信号 图 4 四个频谱向量组成的多节杆及其端点轨迹 了比例尺后为图 5 a 将它在 x y 两方向的投影与时间轴的关系画在图 5 b 和 c 中 就得到 信号与系统课程中常见的实信号曲线 输入频谱的幅度可以是负数 也可以是虚数 甚至可以是复数 它不仅反映了频谱的大小 还反映了该向量的起始相位 频谱的频率则只能是有正负号的实数 正频率和负频率以及在该 频率上频谱的意义在此不言自明 读者可以做各种各样的试验 例如当两组频率具有倍频关系 时 得到的是周期信号 如果频率比是无理数 那将得出非周期的信号 另外 这样的演示只 适用于集总频谱 对于分布的频谱密度 就要把它想象为若干小的集总频谱的叠合 总之有了这样的形象演示 可以大大扩展时域信号与频域谱之间关系的思维空间 4 多普勒频率 多普勒频率又是一个负频率的实例 如果信号的发射源向我们运动而来 那么多普勒频率 就是正频率 如果信号的发射源向我们远离而去 那么多普勒频率就是负频率 在这里正负频 率都是有明确物理意义的 多普勒频率虽是一种差频 它表现为合成信号的包络频率 因此仍 然符合上述的原理 在实信号域只能求出多普勒频率的大小 但检测不出它的正负 要得到负 频率 必须从复信号域考虑 可见 不懂得这一点 就无法找到多普勒测速的原理框图 5 机械工程领域的应用 关于二维信号的傅立叶变换 国内早已有学者将其应用于工程领域 参见文献 4 5 这些都是说明频谱中负频率物理意义的实际例证 4 在对负频率认识中存在的问题 频谱中负频率成分的物理意义往往不为某些人们理解 其主要原因是他们忘记了实信号平 面内研究问题的局限性 因为在信号与系统课程中研究的信号通常只限于实信号 从实信号的 x t 的波形图上根本看不出频率的转向和正负 频率只能表现为每秒信号重复的次数 分不清正 负就以为是正频率 只是一种习惯性的思维方法而已 归根到底 转角和频率的正负 必须在 x y 平面或二维信号中才能观察到 因为观察的方 法不对 看不到其意义 从而否认它的存在 这是认识论上的错误 不是科学的方法 这就和 瞎子摸象 的故事所说的那样 摸象腿的人否认象有鼻子 毛病出在他的验证方法 他老想 在象腿 实信号域 上找到象鼻子 负频率 当然也永远找不到 正确的方法是必须换一个角 度 摸别的部位 复信号域 才能得到全面的知识 某些学者不承认负频率是由于把 频率是每秒钟循环的次数 的陈旧概念绝对化 其实频 率的概念是不断发展充实的 每秒次数的概念只能粗糙地研究信号外部形态 无法涉及信号每 周期内部的细微波形特征 而这恰好是傅立叶变换的任务 从它的核已经可以清楚地看到 j t e 正是它摒弃 或发展 了原始的频率定义 采用了角频率的概念 单位是弧度 秒 而且具有明 确的方向和正负号 其实频率的概念还在继续发展 进入到数字信号处理时又进一步出现了数 字频率 它的单位是弧度 去掉了分母上的 秒 取值范围是 它的物理意义已变为 两次采样时刻之间向量转过的角度 在文献 1 中对此有详细的说明 如果停留在 每秒次数 的旧概念上 那 数字信号处理 也就无法发展了 5 从认识论角度纠正对负频率的错误说法 这个问题是从教学中提出的 作者在旁听 信号与系统 课程时 在老师的幻灯片上看到 了 关于双边谱 负频率只有数学意义 没有物理意义 的提法 我们觉得这是个错误 而且 恐怕不是个别老师的想法 回来一查 果然如此 很多相当权威的主流教材上都这么写 其实 只有数学意义 没有物理意义 这样的 命题 谁也没有证明过 也是无法 证明的 它最多只能算是猜想 只要有一个反例就可被推翻 本文已经举出了多个反例 说明 它是完全错误的 教师绝不该把错误的猜想说成真理 更不能写在书上和幻灯片上去误导学生 数学是更抽象 更深刻地描述物理现象的工具 而物理是实证的科学 限于条件 人们往往暂 时还认识不到数学定理的物理意义 数学超前物理是科学史上多次出现的现象 比如虚数 非 欧氏几何等 这时应该努力去理解它 认识它 而不是轻易地放弃它 否定它 自己没想通 没找到的事物 不能说它不存在 给学生讲课时 只能说 我