【金版教程】高考数学总复习 5.3平面向量的数量积课件 文 新人教版B版.pptVIP

最新考纲解读1 掌握平面向量的数量积及其几何意义 2 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度 角度和垂直的问题 3 掌握向量垂直的条件 高考考查命题趋势1 向量的数量积及运算律一直是高考数学的热点内容之一 是高考命题的必选素材 考查形式多为小题 考查内容主要是向量的数量积 几何意义 模以及夹角 共线和垂直问题 2 作为工具在考查三角函数 立体几何 平面解析几何等内容时经常用到 在2009年高考中有10套试卷在此知识点命题多以选择题 填空题出现 如2009全国 6 2009全国 6 2009湖北 17 3 估计在2011年高考中仍是考查热点 若单独命题则以选择题或填空题出现 注意 当且仅当两个非零向量a b同方向量时 0 当且仅当a b反方向时 180 当且仅当a与b垂直时 90 记作a b 2 已知两个非零向量a与b 它们的夹角为 则a b a b cos 叫做a与b的数量积 或内积 规定 0 a 0 注意 投影的绝对值称为射影 投影是实数 不是向量 而射影是非负实数 数量积的几何意义 a b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积 3 平面向量数量积的运算律 1 交换律成立 a b b a 2 对实数的结合律成立 a b a b a b r 3 分配律成立 a b c a c b c c a b 注意 1 结合律不成立 a b c a b c 2 消去律不成立a b a c不能得到b c 3 a b 0不能得到a 0或b 0 4 两个非零向量垂直的充要条件a b a b 0 x1x2 y1y2 0 1 两个向量的数量积是一个实数 向量加 减 数乘运算的运算结果是向量 2 数量积的记号是a b不能写成a b也不能写成ab 3 若a b为实数 且a b 0 则有a 0或b 0 但a b 0却不能得出a 0或b 0 若a b c r 且a 0 则由ab ac可得b c 但由a b a c及a 0却不能推出b c 4 若a b c r 则a bc ab c 结合律 成立 但对于向量a b c a b c a b c 这是因为数量a b与c相乘是与c共线的向量 而数量b c与a相乘则是与a共线的向量 所以一般二者是不等的 5 若a b r 则 a b a b 但对于向量a b 却有 a b a b 等号当且仅当a b时成立 这是因为 a b a b cos 而 cos 1 一 选择题1 2009年福建卷理9文12 设a b c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量 且满足a与b不共线 a c a c 则 b c 的值一定等于 a 以a b为两边的 的面积b 以b c为两边的 面积c 以a b为邻边的 的面积d 以b c为邻边的 的面积 答案 c 答案 c 答案 b 二 填空题4 向量a b满足 a b 2a b 4 且 a 2 b 4 则a b夹角的余弦值等于 6 已知a 2 3 b 4 7 则a在b方向上的投影为 7 已知 a 3 b 5 如果a b 则a b 错误分析 忽视平行向量的概念 a b的夹角为0 180 解析 a b a与b夹角是0 或180 即 0 或180 a b a b cos 15 答案 15 例1判断下列各命题正确与否 1 0 a 0 2 0 a 0 3 若a 0 a b a c 则b c 4 若a b a c 则b c当且仅当a 0时成立 5 对任意向量a 有a2 a 2 6 a b c a b c 对任意a b c向量都成立 7 a b 0 a 0或b 0 8 a b a b 9 若a b的夹角为 则b在a上的投影为 b cos 解 1 错 因为实数与向量的积还是向量 所以是错的 2 对 因为向量的积是数量积 所以是实数故正确 3 错 因为a b a b cos a c a c cos 所以由a 0 a b a c得 b cos c cos 因此原结论是错的 4 错 反例 当a b a c时满足a b a c且b c 但此时a不一定是零向量所以原结论是错的 5 对 由向量的数量积定义式知是正确的 6 错 因为 a b 和 b c 均是实数 所以 a b c与c平行 而a b c 与a平行 a与c不一定平行 所以等式不成立 7 错 因为a b a b cos 0 a 0或 b 0或cos 0 所以原结论是错的 8 错 因为a b a b cos 1 cos 1 a b a b a b 故原结论是错的 9 错 若a b的夹角为 则b在a上的投影应为 b cos 所以原结论是错的 1 通过该题我们清楚了实数与向量的乘积和向量的数量积之间的区别与联系 重点清楚0 a为零向量 而0 a为零实数 2 通过该题我们应该清楚 向量的数量积与实数间的乘积运算是不一样的 不能直接照搬实数的乘法规律 3 向量的数量积公式较多 且容易混淆 在学习中要分清 理解其实质 注意区分平行向量 同向向量 反向向量 单位向量等概念 思考探究1若a b c为任意向量 m r 则下列等式不一定成立的是 a a b c a b c b a b c a c b cc m a b ma mbd a b c a b c 解析 因为a b c均是公式 所以都正确 应用排除法知只有d选项是错的 因为 a b 和 b c 均是实数 所以 a b c与c平行 而a b c 与a平行 a与c不一定平行 所以选项d不一定成立 答案 d 例2已知 a 1 b 5 且a b的夹角为60 求下列各式子的值 1 a 2b 2 3a2 b2 3 5a b 3a 2b 4 4a b 分析 直接根据定义或性质计算即可 解 1 a 2b a 2b cos60 5 2 3a2 b2 3 a 2 b 2 3 25 28 例3已知向量a m 2 m 3 b 2m 1 m 2 的夹角为钝角 求m的取值范围 分析 根据向量的数量积公式知 只需让a b 0且a与b不共线即可 1 本题易错点 1 两个向量的数量积a b易错为a b 书写时要严格区分 符合 在向量运算中不是乘号 既不能省略 也不能用 代替 2 把a b a b cos 与 a b a b 混淆 3 两个向量的夹角为钝角时 忽视平角的情况 思考探究2 1 已知两单位向量a与b的夹角为120 若c 2a b d 3b a 试求c与d的夹角 分析 要求两向量夹角 的取值范围 可先求cos 的取值范围 2 设非零向量a x 2x b 3x 2 且a b的夹角为钝角 求x的取值范围 分析 解题思维的入手点是在 rt abc中 据此进行翻译和转化 1 向量作为高考的必考内容 它可以与三角函数 解析几何等知识综合 如本题 是2004年湖北高考卷第19题 2 利用向量处理几何问题的方法步骤为 建立平面直角坐标系 设点的坐标 求出有关向量的坐标 利用向量的运算计算结果 得到结论 思考探究3已知 如图所示 abcd是菱形 ac和bd是它的两条对角线 求证 ac bd 思路点拨 对于线段的垂直 可以联想到两个向量垂直的充要条件 而对于这一条件的应用 可以考虑向量式的形式 也可以考虑坐标形式的充要条件 点评 如能熟练应用向量的坐标表示及运算 则将给解题带来一定的方便 通过向量的坐标表示 可以把几何问题的证明转化成代数式的运算 体现了向量的数与形的桥梁作用 注重数学思想方法的数学1 数形结合的思想方法 由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份 所以在向量知识的整个学习过程中 都体现了数形结合的思想方法 在解决问题过程中要形成见数思形 以形助数的思维习惯 以加深理解知识要点 增强应用意识 2 化归转化的思想方法 向量的夹角 平行 垂直等